schoolМатематика
verifiedРешено AI
Решение задачи: Угол BAC = 30°, площадь треугольника ABE
help_outlineУсловие задачи
Реши задачу: Угол BAC равен 130 ° 30 ° . Из точки B на сторону АС опущен перпендикуляр BE, из точки E на сторону AB опущен перпендикуляр EF, из точки F на сторону АС опущен перпендикуляр FK, из точки K на сторону AB опущен перпендикуляр KM. Найдите площадь треугольника ABE, если площадь треугольника AMK равна 54.
lightbulbКраткий ответ
Для решения необходимо использовать свойства прямоугольных треугольников и тригонометрические функции. Площадь треугольника ABE может быть найдена через соотношение площадей с треугольником AMK.
Подробное решение
Решение:
Дано:
Угол BAC = 30°
BE ⊥ AC
EF ⊥ AB
FK ⊥ AC
KM ⊥ AB
Площадь треугольника AMK = 54
Найти:
Площадь треугольника ABE
1. Рассмотрим треугольник ABE. Он прямоугольный, так как BE ⊥ AC.
Угол BAE = 30°.
Тогда \( \sin(\angle BAE) = \frac{BE}{AB} \) и \( \cos(\angle BAE) = \frac{AE}{AB} \).
Площадь треугольника ABE = \( \frac{1}{2} \cdot AE \cdot BE \).
2. Рассмотрим треугольник AEF. Он прямоугольный, так как EF ⊥ AB.
Угол FAE = 30°.
Тогда \( \cos(\angle FAE) = \frac{AF}{AE} \).
Значит, \( AF = AE \cdot \cos(30^\circ) \).
3. Рассмотрим треугольник AFK. Он прямоугольный, так как FK ⊥ AC.
Угол FAK = 30°.
Тогда \( \cos(\angle FAK) = \frac{AK}{AF} \).
Значит, \( AK = AF \cdot \cos(30^\circ) \).
Подставим выражение для AF: \( AK = (AE \cdot \cos(30^\circ)) \cdot \cos(30^\circ) = AE \cdot \cos^2(30^\circ) \).
4. Рассмотрим треугольник AKM. Он прямоугольный, так как KM ⊥ AB.
Угол KAM = 30°.
Тогда \( \cos(\angle KAM) = \frac{AM}{AK} \).
Значит, \( AM = AK \cdot \cos(30^\circ) \).
Подставим выражение для AK: \( AM = (AE \cdot \cos^2(30^\circ)) \cdot \cos(30^\circ) = AE \cdot \cos^3(30^\circ) \).
5. Площадь треугольника AMK.
Треугольник AMK прямоугольный (KM ⊥ AB).
Площадь треугольника AMK = \( \frac{1}{2} \cdot AM \cdot KM \).
Также, \( KM = AK \cdot \sin(30^\circ) \).
Площадь треугольника AMK = \( \frac{1}{2} \cdot AM \cdot AK \cdot \sin(30^\circ) \).
Подставим выражения для AM и AK:
Площадь AMK = \( \frac{1}{2} \cdot (AE \cdot \cos^3(30^\circ)) \cdot (AE \cdot \cos^2(30^\circ)) \cdot \sin(30^\circ) \)
Площадь AMK = \( \frac{1}{2} \cdot AE^2 \cdot \cos^5(30^\circ) \cdot \sin(30^\circ) \).
6. Мы знаем, что \( \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \) и \( \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} \).
\( \cos^5(30^\circ) = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^5 = \frac{9\sqrt{3}}{32} \).
Площадь AMK = \( \frac{1}{2} \cdot AE^2 \cdot \frac{9\sqrt{3}}{32} \cdot \frac{1}{2} = \frac{9\sqrt{3}}{128} \cdot AE^2 \).
7. Нам дано, что площадь AMK = 54.
\( 54 = \frac{9\sqrt{3}}{128} \cdot AE^2 \).
Выразим \( AE^2 \):
\( AE^2 = \frac{54 \cdot 128}{9\sqrt{3}} = \frac{6 \cdot 128}{\sqrt{3}} = \frac{768}{\sqrt{3}} = \frac{768\sqrt{3}}{3} = 256\sqrt{3} \).
8. Теперь найдем площадь треугольника ABE.
Площадь ABE = \( \frac{1}{2} \cdot AE \cdot BE \).
В прямоугольном треугольнике ABE:
\( BE = AE \cdot \tan(30^\circ) \) или \( BE = AB \cdot \sin(30^\circ) \).
\( AE = AB \cdot \cos(30^\circ) \).
Значит, \( AB = \frac{AE}{\cos(30^\circ)} \).
Тогда \( BE = \frac{AE}{\cos(30^\circ)} \cdot \sin(30^\circ) = AE \cdot \tan(30^\circ) \).
Площадь ABE = \( \frac{1}{2} \cdot AE \cdot (AE \cdot \tan(30^\circ)) = \frac{1}{2} \cdot AE^2 \cdot \tan(30^\circ) \).
9. Мы знаем, что \( \tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} \).
Площадь ABE = \( \frac{1}{2} \cdot (256\sqrt{3}) \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} \).
Площадь ABE = \( \frac{1}{2} \cdot 256 \cdot \frac{3}{3} = \frac{1}{2} \cdot 256 = 128 \).
Ответ:
Площадь треугольника ABE равна 128.