Решение задачи №27: Доказательство параллельности NQ и MP

Задача №27 Дано: На чертеже изображены прямые и треугольник \(MNQ\). Известно, что \(MN = NQ\) (отмечено равными штрихами на чертеже). Угол \(RNQ = 40^\circ\) (внешний угол треугольника при вершине \(N\)). Угол \(QMP = 20^\circ\). Доказать: Параллельность прямых \(NQ\) и \(MP\). Решение: 1. Рассмотрим треугольник \(MNQ\). По условию \(MN = NQ\), следовательно, треугольник \(MNQ\) — равнобедренный с основанием \(MQ\). 2. По свойству равнобедренного треугольника, углы при основании равны: \[ \angle NMQ = \angle NQM \] 3. Угол \(RNQ\) является внешним углом треугольника \(MNQ\) при вершине \(N\). По теореме о внешнем угле треугольника, он равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним: \[ \angle RNQ = \angle NMQ + \angle NQM \] 4. Так как \(\angle NMQ = \angle NQM\), подставим это в уравнение: \[ 40^\circ = 2 \cdot \angle NMQ \] \[ \angle NMQ = 40^\circ : 2 = 20^\circ \] 5. Теперь рассмотрим прямые \(NQ\) и \(MP\) и секущую \(MQ\). Мы нашли, что \(\angle NMQ = 20^\circ\). По условию \(\angle QMP = 20^\circ\). Следовательно: \[ \angle NMQ = \angle QMP = 20^\circ \] 6. Углы \(\angle NMQ\) и \(\angle QMP\) являются накрест лежащими при прямых \(NQ\), \(MP\) и секущей \(MQ\). Согласно признаку параллельности прямых, если накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Ответ: \(NQ \parallel MP\).