Решение задачи: Упростить выражение

Вот решения для каждого выражения, оформленные так, чтобы их было удобно переписать в тетрадь.
А-8 ДЗ-15.12... Упростите выражение:
1. Найдите значение выражения \[ \frac{4(a^2b)^2}{a^4b^3} \] Решение: \[ \frac{4(a^2b)^2}{a^4b^3} = \frac{4 \cdot (a^2)^2 \cdot b^2}{a^4b^3} = \frac{4a^4b^2}{a^4b^3} \] Сокращаем \(a^4\) в числителе и знаменателе: \[ \frac{4a^4b^2}{a^4b^3} = \frac{4b^2}{b^3} \] Сокращаем \(b^2\) в числителе и знаменателе: \[ \frac{4b^2}{b^3} = \frac{4}{b} \] Ответ: \( \frac{4}{b} \)
2. Найдите значение выражения \[ \frac{7(3a^4)^2}{a^6a^4} \] Решение: \[ \frac{7(3a^4)^2}{a^6a^4} = \frac{7 \cdot 3^2 \cdot (a^4)^2}{a^{6+4}} = \frac{7 \cdot 9 \cdot a^8}{a^{10}} = \frac{63a^8}{a^{10}} \] Сокращаем \(a^8\) в числителе и знаменателе: \[ \frac{63a^8}{a^{10}} = \frac{63}{a^{10-8}} = \frac{63}{a^2} \] Ответ: \( \frac{63}{a^2} \)
3. Найдите значение выражения \[ \left( \frac{1}{4a} - \frac{1}{5b} \right) : \left( \frac{b}{4} - \frac{a}{5} \right) \] Решение: Сначала упростим выражение в первой скобке: \[ \frac{1}{4a} - \frac{1}{5b} = \frac{5b}{20ab} - \frac{4a}{20ab} = \frac{5b - 4a}{20ab} \] Затем упростим выражение во второй скобке: \[ \frac{b}{4} - \frac{a}{5} = \frac{5b}{20} - \frac{4a}{20} = \frac{5b - 4a}{20} \] Теперь выполним деление: \[ \left( \frac{5b - 4a}{20ab} \right) : \left( \frac{5b - 4a}{20} \right) = \frac{5b - 4a}{20ab} \cdot \frac{20}{5b - 4a} \] Сокращаем \( (5b - 4a) \) и \( 20 \): \[ \frac{1}{ab} \cdot \frac{1}{1} = \frac{1}{ab} \] Ответ: \( \frac{1}{ab} \)
4. Найдите значение выражения \[ \frac{2(3a^2)^3}{a^6a^2} \] Решение: \[ \frac{2(3a^2)^3}{a^6a^2} = \frac{2 \cdot 3^3 \cdot (a^2)^3}{a^{6+2}} = \frac{2 \cdot 27 \cdot a^6}{a^8} = \frac{54a^6}{a^8} \] Сокращаем \(a^6\) в числителе и знаменателе: \[ \frac{54a^6}{a^8} = \frac{54}{a^{8-6}} = \frac{54}{a^2} \] Ответ: \( \frac{54}{a^2} \)
5. Найдите значение выражения \[ \frac{(a-2)^2 - 2(a-2) + 1}{a-3} \] Решение: Заметим, что числитель является квадратом разности: \( x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2 \). В нашем случае \( x = (a-2) \). Значит, числитель равен: \[ ((a-2) - 1)^2 = (a-2-1)^2 = (a-3)^2 \] Теперь подставим это обратно в выражение: \[ \frac{(a-3)^2}{a-3} \] Сокращаем \( (a-3) \) в числителе и знаменателе: \[ \frac{(a-3)^2}{a-3} = a-3 \] Ответ: \( a-3 \)
6. Найдите значение выражения \[ \frac{9b^2}{a^2-16} : \frac{9b}{a-4} \] Решение: Разложим знаменатель первой дроби как разность квадратов: \( a^2 - 16 = (a-4)(a+4) \). Перепишем выражение: \[ \frac{9b^2}{(a-4)(a+4)} : \frac{9b}{a-4} \] Чтобы разделить дроби, нужно умножить первую дробь на обратную второй: \[ \frac{9b^2}{(a-4)(a+4)} \cdot \frac{a-4}{9b} \] Сокращаем \( (a-4) \) и \( 9b \): \[ \frac{b}{a+4} \] Ответ: \( \frac{b}{a+4} \)
7. Найдите значение выражения \[ \left( 9a^2 - \frac{1}{49b^2} \right) : \left( 3a - \frac{1}{7b} \right) \] Решение: Заметим, что выражение в первой скобке является разностью квадратов: \( x^2 - y^2 = (x-y)(x+y) \). Здесь \( x = 3a \) и \( y = \frac{1}{7b} \). Значит, \( 9a^2 - \frac{1}{49b^2} = (3a)^2 - \left( \frac{1}{7b} \right)^2 = \left( 3a - \frac{1}{7b} \right) \left( 3a + \frac{1}{7b} \right) \). Теперь подставим это обратно в выражение: \[ \left( \left( 3a - \frac{1}{7b} \right) \left( 3a + \frac{1}{7b} \right) \right) : \left( 3a - \frac{1}{7b} \right) \] Сокращаем \( \left( 3a - \frac{1}{7b} \right) \): \[ 3a + \frac{1}{7b} \] Ответ: \( 3a + \frac{1}{7b} \)
8. Найдите значение выражения \[ b^{25} \cdot \left( \frac{5}{b^6} \right)^4 \] Решение: \[ b^{25} \cdot \left( \frac{5}{b^6} \right)^4 = b^{25} \cdot \frac{5^4}{(b^6)^4} = b^{25} \cdot \frac{625}{b^{24}} \] \[ = \frac{625b^{25}}{b^{24}} \] Сокращаем \(b^{24}\): \[ = 625b^{25-24} = 625b \] Ответ: \( 625b \)
9. Найдите значение выражения \[ \left( \frac{25a^2}{16b^2} - 1 \right) : \left( 5a - \frac{1}{4b} \right) \] Решение: Заметим, что выражение в первой скобке является разностью квадратов: \( x^2 - y^2 = (x-y)(x+y) \). Здесь \( x = \frac{5a}{4b} \) и \( y = 1 \). Значит, \( \frac{25a^2}{16b^2} - 1 = \left( \frac{5a}{4b} \right)^2 - 1^2 = \left( \frac{5a}{4b} - 1 \right) \left( \frac{5a}{4b} + 1 \right) \). Теперь подставим это обратно в выражение: \[ \left( \left( \frac{5a}{4b} - 1 \right) \left( \frac{5a}{4b} + 1 \right) \right) : \left( 5a - \frac{1}{4b} \right) \] Обратите внимание, что \( \left( 5a - \frac{1}{4b} \right) \) не совпадает с \( \left( \frac{5a}{4b} - 1 \right) \). Давайте перепишем \( \left( \frac{5a}{4b} - 1 \right) \) к общему знаменателю: \[ \frac{5a - 4b}{4b} \] И \( \left( 5a - \frac{1}{4b} \right) \) к общему знаменателю: \[ \frac{20ab - 1}{4b} \] Это не упрощается так, как предыдущие задачи. Давайте перепроверим условие. Возможно, в условии опечатка, и должно быть \( \left( \frac{5a}{4b} - 1 \right) \) или \( \left( \frac{5a}{4b} + 1 \right) \) во второй скобке. Если условие точно такое, то: \[ \left( \frac{25a^2 - 16b^2}{16b^2} \right) : \left( \frac{20ab - 1}{4b} \right) \] \[ = \frac{(5a - 4b)(5a + 4b)}{16b^2} \cdot \frac{4b}{20ab - 1} \] \[ = \frac{(5a - 4b)(5a + 4b)}{4b(20ab - 1)} \] Если же во второй скобке должно быть \( \left( \frac{5a}{4b} - 1 \right) \), то решение было бы: \[ \left( \left( \frac{5a}{4b} - 1 \right) \left( \frac{5a}{4b} + 1 \right) \right) : \left( \frac{5a}{4b} - 1 \right) = \frac{5a}{4b} + 1 \] Или если во второй скобке должно быть \( \left( \frac{5a}{4b} + 1 \right) \), то решение было бы: \[ \left( \left( \frac{5a}{4b} - 1 \right) \left( \frac{5a}{4b} + 1 \right) \right) : \left( \frac{5a}{4b} + 1 \right) = \frac{5a}{4b} - 1 \] Предположим, что во второй скобке должно быть \( \left( \frac{5a}{4b} - 1 \right) \). Тогда: \[ \left( \frac{25a^2}{16b^2} - 1 \right) : \left( \frac{5a}{4b} - 1 \right) \] \[ = \left( \left( \frac{5a}{4b} - 1 \right) \left( \frac{5a}{4b} + 1 \right) \right) : \left( \frac{5a}{4b} - 1 \right) \] \[ = \frac{5a}{4b} + 1 \] Ответ (при условии опечатки в задании): \( \frac{5a}{4b} + 1 \) Если опечатки нет, то ответ: \( \frac{(5a - 4b)(5a + 4b)}{4b(20ab - 1)} \)
10. Найдите значение выражения \[ b^{-14} \cdot (4b^8)^2 \] Решение: \[ b^{-14} \cdot (4b^8)^2 = b^{-14} \cdot 4^2 \cdot (b^8)^2 = b^{-14} \cdot 16 \cdot b^{16} \] \[ = 16 \cdot b^{-14+16} = 16b^2 \] Ответ: \( 16b^2 \)
11. Найдите значение выражения \[ \frac{x^3y - xy^3}{2(y-x)} \cdot \frac{3(x-y)}{x^2-y^2} \] Решение: Разложим числитель первой дроби: \[ x^3y - xy^3 = xy(x^2 - y^2) \] Разложим знаменатель второй дроби: \[ x^2 - y^2 = (x-y)(x+y) \] Перепишем выражение: \[ \frac{xy(x^2 - y^2)}{2(y-x)} \cdot \frac{3(x-y)}{(x-y)(x+y)} \] Заметим, что \( (y-x) = -(x-y) \). \[ \frac{xy(x-y)(x+y)}{2(-(x-y))} \cdot \frac{3(x-y)}{(x-y)(x+y)} \] Сокращаем \( (x-y) \) и \( (x+y) \): \[ \frac{xy}{2(-1)} \cdot \frac{3}{1} = \frac{xy}{-2} \cdot 3 = -\frac{3xy}{2} \] Ответ: \( -\frac{3xy}{2} \)
12. Найдите значение выражения \[ b^{-19} \cdot (4b^7)^3 \] Решение: \[ b^{-19} \cdot (4b^7)^3 = b^{-19} \cdot 4^3 \cdot (b^7)^3 = b^{-19} \cdot 64 \cdot b^{21} \] \[ = 64 \cdot b^{-19+21} = 64b^2 \] Ответ: \( 64b^2 \)
13. Найдите значение выражения \[ \frac{k^2-l^2}{(k-l)^2} \cdot \frac{k^2+l^2}{(k+l)^2} \] Решение: Разложим числитель первой дроби как разность квадратов: \( k^2 - l^2 = (k-l)(k+l) \). Перепишем выражение: \[ \frac{(k-l)(k+l)}{(k-l)^2} \cdot \frac{k^2+l^2}{(k+l)^2} \] Сокращаем \( (k-l) \) в первой дроби: \[ \frac{k+l}{k-l} \cdot \frac{k^2+l^2}{(k+l)^2} \] Сокращаем \( (k+l) \): \[ \frac{1}{k-l} \cdot \frac{k^2+l^2}{k+l} \] Перемножаем дроби: \[ \frac{k^2+l^2}{(k-l)(k+l)} \] Заметим, что \( (k-l)(k+l) = k^2 - l^2 \). \[ \frac{k^2+l^2}{k^2-l^2} \] Ответ: \( \frac{k^2+l^2}{k^2-l^2} \)