Упрощение выражений: решение с объяснениями

Хорошо, давайте упростим каждое выражение по порядку. 1. Найти значение выражения: \[ \frac{4(a^2b)^2}{a^4b^3} \] Решение: Сначала возведем в квадрат выражение в скобках в числителе: \[ (a^2b)^2 = (a^2)^2 \cdot b^2 = a^{2 \cdot 2} \cdot b^2 = a^4b^2 \] Теперь подставим это обратно в исходное выражение: \[ \frac{4a^4b^2}{a^4b^3} \] Сократим одинаковые степени \(a\) и \(b\): \[ 4 \cdot \frac{a^4}{a^4} \cdot \frac{b^2}{b^3} = 4 \cdot 1 \cdot b^{2-3} = 4b^{-1} = \frac{4}{b} \] Ответ: \[ \frac{4}{b} \] 2. Найти значение выражения: \[ \frac{7(3a^4)^2}{a^6a^2} \] Решение: Сначала возведем в квадрат выражение в скобках в числителе: \[ (3a^4)^2 = 3^2 \cdot (a^4)^2 = 9a^{4 \cdot 2} = 9a^8 \] Теперь подставим это обратно в исходное выражение: \[ \frac{7 \cdot 9a^8}{a^6a^2} \] Умножим числа в числителе и сложим степени \(a\) в знаменателе: \[ \frac{63a^8}{a^{6+2}} = \frac{63a^8}{a^8} \] Сократим \(a^8\): \[ 63 \cdot \frac{a^8}{a^8} = 63 \cdot 1 = 63 \] Ответ: \[ 63 \] 3. Найти значение выражения: \[ \left( \frac{1}{4a} - \frac{1}{5b} \right) : \left( \frac{b}{4} - \frac{a}{5} \right) \] Решение: Сначала упростим выражение в первой скобке, приведя к общему знаменателю: \[ \frac{1}{4a} - \frac{1}{5b} = \frac{1 \cdot 5b}{4a \cdot 5b} - \frac{1 \cdot 4a}{5b \cdot 4a} = \frac{5b - 4a}{20ab} \] Теперь упростим выражение во второй скобке, приведя к общему знаменателю: \[ \frac{b}{4} - \frac{a}{5} = \frac{b \cdot 5}{4 \cdot 5} - \frac{a \cdot 4}{5 \cdot 4} = \frac{5b - 4a}{20} \] Теперь подставим упрощенные выражения обратно в исходное: \[ \frac{5b - 4a}{20ab} : \frac{5b - 4a}{20} \] Деление дробей заменяем умножением на обратную дробь: \[ \frac{5b - 4a}{20ab} \cdot \frac{20}{5b - 4a} \] Сократим одинаковые множители \( (5b - 4a) \) и \( 20 \): \[ \frac{1}{ab} \cdot \frac{1}{1} = \frac{1}{ab} \] Ответ: \[ \frac{1}{ab} \] 4. Найти значение выражения: \[ \frac{2(3a^2)^3}{a^6a^2} \] Решение: Сначала возведем в куб выражение в скобках в числителе: \[ (3a^2)^3 = 3^3 \cdot (a^2)^3 = 27a^{2 \cdot 3} = 27a^6 \] Теперь подставим это обратно в исходное выражение: \[ \frac{2 \cdot 27a^6}{a^6a^2} \] Умножим числа в числителе и сложим степени \(a\) в знаменателе: \[ \frac{54a^6}{a^{6+2}} = \frac{54a^6}{a^8} \] Сократим степени \(a\): \[ 54 \cdot a^{6-8} = 54a^{-2} = \frac{54}{a^2} \] Ответ: \[ \frac{54}{a^2} \] 5. Найти значение выражения: \[ \frac{(a-2)^2 - 2(a-2) + 1}{a-3} \] Решение: Заметим, что числитель является квадратом разности. Пусть \(x = a-2\). Тогда числитель примет вид: \[ x^2 - 2x + 1 \] Это формула квадрата разности: \( (x-1)^2 \). Подставим обратно \(x = a-2\): \[ ((a-2)-1)^2 = (a-3)^2 \] Теперь подставим это обратно в исходное выражение: \[ \frac{(a-3)^2}{a-3} \] Сократим \( (a-3) \): \[ a-3 \] Ответ: \[ a-3 \] 6. Найти значение выражения: \[ \frac{9b^2}{a^2-16} : \frac{9b}{a-4} \] Решение: Заметим, что знаменатель первой дроби \(a^2-16\) является разностью квадратов: \(a^2-4^2 = (a-4)(a+4)\). Перепишем выражение: \[ \frac{9b^2}{(a-4)(a+4)} : \frac{9b}{a-4} \] Деление дробей заменяем умножением на обратную дробь: \[ \frac{9b^2}{(a-4)(a+4)} \cdot \frac{a-4}{9b} \] Сократим одинаковые множители \( (a-4) \) и \( 9b \): \[ \frac{b}{a+4} \] Ответ: \[ \frac{b}{a+4} \] 7. Найти значение выражения: \[ \left( 9a^2 - \frac{1}{49b^2} \right) : \left( 3a - \frac{1}{7b} \right) \] Решение: Заметим, что выражение в первой скобке является разностью квадратов: \[ 9a^2 - \frac{1}{49b^2} = (3a)^2 - \left( \frac{1}{7b} \right)^2 = \left( 3a - \frac{1}{7b} \right) \left( 3a + \frac{1}{7b} \right) \] Теперь подставим это обратно в исходное выражение: \[ \left( \left( 3a - \frac{1}{7b} \right) \left( 3a + \frac{1}{7b} \right) \right) : \left( 3a - \frac{1}{7b} \right) \] Сократим одинаковый множитель \( \left( 3a - \frac{1}{7b} \right) \): \[ 3a + \frac{1}{7b} \] Ответ: \[ 3a + \frac{1}{7b} \] 8. Найти значение выражения: \[ b^{25} \cdot \left( \frac{5}{b^6} \right)^4 \] Решение: Сначала возведем в степень 4 выражение в скобках: \[ \left( \frac{5}{b^6} \right)^4 = \frac{5^4}{(b^6)^4} = \frac{625}{b^{6 \cdot 4}} = \frac{625}{b^{24}} \] Теперь подставим это обратно в исходное выражение: \[ b^{25} \cdot \frac{625}{b^{24}} \] Умножим и сократим степени \(b\): \[ 625 \cdot \frac{b^{25}}{b^{24}} = 625 \cdot b^{25-24} = 625b^1 = 625b \] Ответ: \[ 625b \] 9. Найти значение выражения: \[ \left( 25a^2 - \frac{1}{16b^2} \right) : \left( 5a - \frac{1}{4b} \right) \] Решение: Заметим, что выражение в первой скобке является разностью квадратов: \[ 25a^2 - \frac{1}{16b^2} = (5a)^2 - \left( \frac{1}{4b} \right)^2 = \left( 5a - \frac{1}{4b} \right) \left( 5a + \frac{1}{4b} \right) \] Теперь подставим это обратно в исходное выражение: \[ \left( \left( 5a - \frac{1}{4b} \right) \left( 5a + \frac{1}{4b} \right) \right) : \left( 5a - \frac{1}{4b} \right) \] Сократим одинаковый множитель \( \left( 5a - \frac{1}{4b} \right) \): \[ 5a + \frac{1}{4b} \] Ответ: \[ 5a + \frac{1}{4b} \] 10. Найти значение выражения: \[ b^{-14} \cdot (4b^8)^2 \] Решение: Сначала возведем в квадрат выражение в скобках: \[ (4b^8)^2 = 4^2 \cdot (b^8)^2 = 16b^{8 \cdot 2} = 16b^{16} \] Теперь подставим это обратно в исходное выражение: \[ b^{-14} \cdot 16b^{16} \] Умножим и сложим степени \(b\): \[ 16 \cdot b^{-14+16} = 16b^2 \] Ответ: \[ 16b^2 \] 11. Найти значение выражения: \[ \frac{x^3y - xy^3}{2(y-x)} \cdot \frac{3(x-y)}{x^2-y^2} \] Решение: Сначала упростим числитель первой дроби, вынеся общий множитель \(xy\): \[ x^3y - xy^3 = xy(x^2 - y^2) \] Заметим, что \(x^2 - y^2\) - это разность квадратов: \( (x-y)(x+y) \). Значит, числитель первой дроби: \( xy(x-y)(x+y) \). Теперь перепишем первую дробь: \[ \frac{xy(x-y)(x+y)}{2(y-x)} \] Заметим, что \(y-x = -(x-y)\). Подставим это: \[ \frac{xy(x-y)(x+y)}{-2(x-y)} \] Сократим \( (x-y) \): \[ \frac{xy(x+y)}{-2} = -\frac{xy(x+y)}{2} \] Теперь рассмотрим вторую дробь: \[ \frac{3(x-y)}{x^2-y^2} \] Заменим знаменатель на разность квадратов: \[ \frac{3(x-y)}{(x-y)(x+y)} \] Сократим \( (x-y) \): \[ \frac{3}{x+y} \] Теперь умножим упрощенные дроби: \[ -\frac{xy(x+y)}{2} \cdot \frac{3}{x+y} \] Сократим \( (x+y) \): \[ -\frac{xy}{2} \cdot 3 = -\frac{3xy}{2} \] Ответ: \[ -\frac{3xy}{2} \] 12. Найти значение выражения: \[ b^{-19} \cdot (4b^7)^3 \] Решение: Сначала возведем в куб выражение в скобках: \[ (4b^7)^3 = 4^3 \cdot (b^7)^3 = 64b^{7 \cdot 3} = 64b^{21} \] Теперь подставим это обратно в исходное выражение: \[ b^{-19} \cdot 64b^{21} \] Умножим и сложим степени \(b\): \[ 64 \cdot b^{-19+21} = 64b^2 \] Ответ: \[ 64b^2 \] 13. Найти значение выражения: \[ \frac{k^2-l^2}{(k-l)^2} \cdot \frac{k^2+l^2}{(k+l)^2} \] Решение: Заметим, что числитель первой дроби \(k^2-l^2\) - это разность квадратов: \( (k-l)(k+l) \). Перепишем первую дробь: \[ \frac{(k-l)(k+l)}{(k-l)^2} = \frac{(k-l)(k+l)}{(k-l)(k-l)} = \frac{k+l}{k-l} \] Вторая дробь: \[ \frac{k^2+l^2}{(k+l)^2} \] Здесь ничего сократить нельзя, так как \(k^2+l^2\) не раскладывается на множители в действительных числах, а \( (k+l)^2 = (k+l)(k+l) \). Теперь умножим упрощенные дроби: \[ \frac{k+l}{k-l} \cdot \frac{k^2+l^2}{(k+l)^2} \] Сократим \( (k+l) \): \[ \frac{1}{k-l} \cdot \frac{k^2+l^2}{k+l} = \frac{k^2+l^2}{(k-l)(k+l)} \] Заметим, что \( (k-l)(k+l) = k^2-l^2 \). Значит, окончательный ответ: \[ \frac{k^2+l^2}{k^2-l^2} \] Ответ: \[ \frac{k^2+l^2}{k^2-l^2} \]