Решение задач: Уравнения, Делимость, Тригонометрия

Ниже представлены основные темы школьного курса математики, оформленные для удобного переписывания в тетрадь. 1. Уравнения и способы их решения Линейное уравнение: Уравнение вида \(ax + b = 0\). Решение: \(x = -\frac{b}{a}\) (при \(a \neq 0\)). Квадратное уравнение: Уравнение вида \(ax^2 + bx + c = 0\). Алгоритм решения: 1. Находим дискриминант: \[D = b^2 - 4ac\] 2. Находим корни: Если \(D > 0\): \(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\) Если \(D = 0\): \(x = -\frac{b}{2a}\) Если \(D < 0\): корней нет. 2. Признаки делимости На 2: число оканчивается на четную цифру (0, 2, 4, 6, 8). На 3: сумма цифр числа делится на 3. На 4: две последние цифры образуют число, которое делится на 4. На 5: число оканчивается на 0 или 5. На 9: сумма цифр числа делится на 9. На 10: число оканчивается на 0. 3. Формулы сокращенного умножения Квадрат суммы: \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) Квадрат разности: \((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\) Разность квадратов: \(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)\) Куб суммы: \((a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\) Куб разности: \((a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3\) Сумма кубов: \(a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)\) Разность кубов: \(a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)\) 4. Декартовы координаты Расстояние между точками \(A(x_1; y_1)\) и \(B(x_2; y_2)\): \[d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\] Координаты середины отрезка \(M(x_c; y_c)\): \[x_c = \frac{x_1 + x_2}{2}, \quad y_c = \frac{y_1 + y_2}{2}\] 5. Тригонометрия: основные функции В прямоугольном треугольнике: \(\sin \alpha\) — отношение противолежащего катета к гипотенузе. \(\cos \alpha\) — отношение прилежащего катета к гипотенузе. \(\text{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\) — отношение противолежащего катета к прилежащему. \(\text{ctg} \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}\) — отношение прилежащего катета к противолежащему. Основное тождество: \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\) 6. Формулы двойного угла \[\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha\] \[\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha = 2\cos^2 \alpha - 1 = 1 - 2\sin^2 \alpha\] \[\text{tg} 2\alpha = \frac{2\text{tg} \alpha}{1 - \text{tg}^2 \alpha}\] 7. Сумма и разность функций \[\sin \alpha + \sin \beta = 2\sin \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2}\] \[\sin \alpha - \sin \beta = 2\sin \frac{\alpha - \beta}{2} \cos \frac{\alpha + \beta}{2}\] \[\cos \alpha + \cos \beta = 2\cos \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2}\] \[\cos \alpha - \cos \beta = -2\sin \frac{\alpha + \beta}{2} \sin \frac{\alpha - \beta}{2}\] 8. Синус, косинус, тангенс суммы и разности аргументов \[\sin(\alpha \pm \beta) = \sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta\] \[\cos(\alpha \pm \beta) = \cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta\] \[\text{tg}(\alpha \pm \beta) = \frac{\text{tg} \alpha \pm \text{tg} \beta}{1 \mp \text{tg} \alpha \text{tg} \beta}\] 9. Тригонометрические уравнения Виды: 1. Простейшие (вида \(\sin x = a\)). 2. Сводимые к квадратным (замена переменной). 3. Однородные (деление на \(\cos x\) или \(\cos^2 x\)). Пример (замена): \(2\sin^2 x + \sin x - 1 = 0\). Пусть \(\sin x = t\), тогда \(2t^2 + t - 1 = 0\). 10. Решение простейших уравнений Для \(\sin x = a\) (\(|a| \leq 1\)): \[x = (-1)^k \arcsin a + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}\] Для \(\cos x = a\) (\(|a| \leq 1\)): \[x = \pm \arccos a + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}\] 11. Геометрический смысл производной Производная функции в точке \(x_0\) равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции в этой точке (угловому коэффициенту касательной): \[f'(x_0) = k = \text{tg} \alpha\] Уравнение касательной: \[y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)\] 12. Формулы дифференцирования \[(c)' = 0\] \[(x^n)' = n \cdot x^{n-1}\] \[(\sin x)' = \cos x\] \[(\cos x)' = -\sin x\] \[(e^x)' = e^x\] \[(\ln x)' = \frac{1}{x}\] \[(u \pm v)' = u' \pm v'\] \[(u \cdot v)' = u'v + uv'\] \[\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}\]