Решение задачи: Функция распределения

Давайте разберем этот вопрос. Нам дано, что \(F(x)\) - это функция распределения (или кумулятивная функция распределения, КФР). Нужно указать, что из перечисленного равно 0. Вспомним основные свойства функции распределения \(F(x)\) для случайной величины \(X\): 1. **Определение:** \(F(x) = P(X \le x)\), то есть вероятность того, что случайная величина \(X\) примет значение, меньшее или равное \(x\). 2. **Неубывающая функция:** \(F(x)\) является неубывающей функцией, то есть если \(x_1 < x_2\), то \(F(x_1) \le F(x_2)\). 3. **Предельные значения:** * \(\lim_{x \to -\infty} F(x) = 0\) * \(\lim_{x \to +\infty} F(x) = 1\) 4. **Связь с функцией плотности вероятности (для непрерывных случайных величин):** Если \(F(x)\) дифференцируема, то ее производная \(F'(x) = f(x)\), где \(f(x)\) - это функция плотности вероятности. Функция плотности вероятности \(f(x)\) всегда неотрицательна, то есть \(f(x) \ge 0\). 5. **Вероятность попадания в интервал:** \(P(a < X \le b) = F(b) - F(a)\). Эта вероятность всегда неотрицательна, то есть \(F(b) - F(a) \ge 0\) при \(a < b\). Теперь рассмотрим предложенные варианты: 1. **\(F'(x)\)** Как мы знаем, \(F'(x) = f(x)\), где \(f(x)\) - это функция плотности вероятности. Функция плотности вероятности всегда неотрицательна (\(f(x) \ge 0\)), но она не обязательно равна 0. Например, для равномерного распределения на \([0, 1]\), \(f(x) = 1\) на этом интервале. Поэтому \(F'(x)\) не всегда равно 0. 2. **\(\lim_{x \to +\infty} F(x)\)** Согласно свойствам функции распределения, \(\lim_{x \to +\infty} F(x) = 1\). Это не равно 0. 3. **\(F(b) - F(a)\), если \(a < b\)** Это вероятность \(P(a < X \le b)\). Вероятность всегда неотрицательна. Она может быть равна 0, если, например, случайная величина дискретна и в интервале \((a, b]\) нет возможных значений, или если для непрерывной случайной величины интервал \((a, b]\) имеет нулевую меру вероятности (например, если \(a=b\), но в условии сказано \(a < b\)). Однако в общем случае \(F(b) - F(a)\) не обязательно равно 0. Например, для равномерного распределения на \([0, 1]\), если \(a=0.1\) и \(b=0.2\), то \(F(0.2) - F(0.1) = 0.2 - 0.1 = 0.1 \ne 0\). 4. **\(\lim_{x \to -\infty} F(x)\)** Согласно свойствам функции распределения, \(\lim_{x \to -\infty} F(x) = 0\). Это всегда верно для любой функции распределения. Таким образом, правильный ответ - вариант 4. **Ответ:** 4. \(\lim_{x \to -\infty} F(x)\)