Решение задачи: оценка генерального среднего и дисперсии

Давайте решим эту задачу по статистике. Нам даны доходы 10 человек (выборка): 505, 705, 935, 505, 605, 705, 1005, 805, 705, 605. Объем выборки \(n = 10\). Нужно найти несмещенные оценки генерального среднего и генеральной дисперсии.

1. Несмещенная оценка генерального среднего (выборочное среднее)

Несмещенной оценкой генерального среднего \(\mu\) является выборочное среднее \(\bar{x}\). Формула для выборочного среднего: \[ \bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i \] Сначала просуммируем все значения: \(505 + 705 + 935 + 505 + 605 + 705 + 1005 + 805 + 705 + 605 = 7180\) Теперь найдем выборочное среднее: \[ \bar{x} = \frac{7180}{10} = 718 \] **Несмещенная оценка генерального среднего = 718.0** (с точностью до одного знака после запятой).

2. Несмещенная оценка генеральной дисперсии (выборочная дисперсия с поправкой Бесселя)

Несмещенной оценкой генеральной дисперсии \(\sigma^2\) является выборочная дисперсия \(s^2\), рассчитанная с поправкой Бесселя. Формула для несмещенной выборочной дисперсии: \[ s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2 \] Сначала вычислим разности \((x_i - \bar{x})\) и их квадраты \((x_i - \bar{x})^2\): \(\bar{x} = 718\) * \(505 - 718 = -213 \implies (-213)^2 = 45369\) * \(705 - 718 = -13 \implies (-13)^2 = 169\) * \(935 - 718 = 217 \implies (217)^2 = 47089\) * \(505 - 718 = -213 \implies (-213)^2 = 45369\) * \(605 - 718 = -113 \implies (-113)^2 = 12769\) * \(705 - 718 = -13 \implies (-13)^2 = 169\) * \(1005 - 718 = 287 \implies (287)^2 = 82369\) * \(805 - 718 = 87 \implies (87)^2 = 7569\) * \(705 - 718 = -13 \implies (-13)^2 = 169\) * \(605 - 718 = -113 \implies (-113)^2 = 12769\) Теперь просуммируем квадраты разностей: \(45369 + 169 + 47089 + 45369 + 12769 + 169 + 82369 + 7569 + 169 + 12769 = 253800\) Теперь вычислим несмещенную выборочную дисперсию: \(n-1 = 10-1 = 9\) \[ s^2 = \frac{253800}{9} = 28200 \] **Несмещенная оценка генеральной дисперсии = 28200.0** (с точностью до одного знака после запятой). **Окончательные ответы:** Несмещенная оценка генерального среднего = **718.0** Несмещенная оценка генеральной дисперсии = **28200.0**