Решение задачи: Вероятность солнца 5 мая

Дано: 1 мая — дождь. Вероятность сохранения погоды \( P(S \to S) = 0,9 \) и \( P(R \to R) = 0,9 \). Вероятность смены погоды \( P(S \to R) = 0,1 \) и \( P(R \to S) = 0,1 \). Найти вероятность того, что 5 мая будет солнце. Решение: Обозначим состояние погоды: \( R \) — дождь, \( S \) — солнце. Нам нужно найти вероятность перехода из состояния \( R \) (1 мая) в состояние \( S \) через 4 дня (5 мая). Пусть \( P_n \) — вероятность того, что на \( n \)-й день после 1 мая будет солнце. 1 мая (0-й день): \( P_0 = 0 \) (так как был дождь). Составим рекуррентную формулу. Чтобы на следующий день было солнце, нужно либо чтобы сегодня было солнце и оно сохранилось, либо чтобы сегодня был дождь и погода изменилась: \[ P_{n+1} = P_n \cdot 0,9 + (1 - P_n) \cdot 0,1 \] \[ P_{n+1} = 0,9P_n + 0,1 - 0,1P_n \] \[ P_{n+1} = 0,8P_n + 0,1 \] Вычислим вероятности по дням: 2 мая (1-й день): \[ P_1 = 0,8 \cdot 0 + 0,1 = 0,1 \] 3 мая (2-й день): \[ P_2 = 0,8 \cdot 0,1 + 0,1 = 0,08 + 0,1 = 0,18 \] 4 мая (3-й день): \[ P_3 = 0,8 \cdot 0,18 + 0,1 = 0,144 + 0,1 = 0,244 \] 5 мая (4-й день): \[ P_4 = 0,8 \cdot 0,244 + 0,1 = 0,1952 + 0,1 = 0,2952 \] Ответ: Вероятность того, что 5 мая будет солнце, составляет 0,2952.