Решение задач по графам и алгебре

Дано условие: \[ x^2 - yz = y^2 - xz = z^2 - xy \] Нужно найти возможные значения выражения: \[ A = \frac{x}{y + z} + \frac{4y}{x + z} + \frac{6z}{x + y} \] Решение: 1. Рассмотрим равенство первых двух частей: \[ x^2 - yz = y^2 - xz \] \[ x^2 - y^2 + xz - yz = 0 \] \[ (x - y)(x + y) + z(x - y) = 0 \] \[ (x - y)(x + y + z) = 0 \] Отсюда следует два возможных случая: либо \( x = y \), либо \( x + y + z = 0 \). 2. Аналогично, рассматривая равенство \( y^2 - xz = z^2 - xy \), получим: \[ (y - z)(x + y + z) = 0 \] То есть либо \( y = z \), либо \( x + y + z = 0 \). 3. Рассмотрим Случай 1: \( x + y + z = 0 \). В этом случае \( y + z = -x \), \( x + z = -y \), \( x + y = -z \). Подставим эти значения в искомое выражение \( A \): \[ A = \frac{x}{-x} + \frac{4y}{-y} + \frac{6z}{-z} \] \[ A = -1 - 4 - 6 = -11 \] 4. Рассмотрим Случай 2: \( x + y + z \neq 0 \). Тогда из уравнений в пунктах 1 и 2 обязательно следует, что \( x - y = 0 \) и \( y - z = 0 \), то есть \( x = y = z \). Подставим \( x = y = z \) в выражение \( A \): \[ A = \frac{x}{x + x} + \frac{4x}{x + x} + \frac{6x}{x + x} \] \[ A = \frac{x}{2x} + \frac{4x}{2x} + \frac{6x}{2x} \] \[ A = \frac{1}{2} + \frac{4}{2} + \frac{6}{2} = \frac{11}{2} = 5,5 \] 5. Таким образом, выражение может принимать два значения: \( -11 \) и \( 5,5 \). В задаче просят записать сумму получившихся чисел: \[ S = -11 + 5,5 = -5,5 \] Ответ: -5,5.