Для решения задачи проанализируем четность сумм троек чисел.
1. Всего в ряду \( n = 2047 \) чисел. Среди них:
Количество нечетных чисел: \( \frac{2047 + 1}{2} = 1024 \).
Количество четных чисел: \( 2047 - 1024 = 1023 \).
2. Пусть последовательность чисел будет \( a_1, a_2, \dots, a_{2047} \). Петя вычисляет суммы:
\( S_1 = a_1 + a_2 + a_3 \)
\( S_2 = a_2 + a_3 + a_4 \)
...
\( S_{2045} = a_{2045} + a_{2046} + a_{2047} \)
Всего 2045 сумм.
3. Сумма трех чисел нечетна в двух случаях:
- Все три числа нечетные (Н + Н + Н = Н).
- Одно число нечетное и два четных (Н + Ч + Ч = Н).
4. Рассмотрим чередование четности. Чтобы максимизировать количество нечетных сумм, нужно избегать комбинаций, дающих четную сумму (Н + Н + Ч или Ч + Ч + Ч).
Заметим, что \( S_i + S_{i+1} = (a_i + a_{i+1} + a_{i+2}) + (a_{i+1} + a_{i+2} + a_{i+3}) \).
По четности это эквивалентно \( a_i + a_{i+3} \).
Если мы хотим, чтобы все суммы были нечетными, то \( a_i \) и \( a_{i+3} \) должны иметь разную четность для любого \( i \). Это создаст цикл четности с периодом 6 (например: Н, Н, Н, Ч, Ч, Ч, ...).
5. Попробуем расставить числа в порядке: Н, Ч, Ч, Н, Ч, Ч, ...
В такой последовательности каждая тройка содержит ровно одно нечетное число (Н+Ч+Ч), что дает нечетную сумму.
Посчитаем, сколько нечетных чисел потребуется для такой расстановки в ряду из 2047 чисел:
Группы (Н, Ч, Ч) занимают 3 позиции.
\( 2047 = 3 \cdot 682 + 1 \).
В 682 группах будет 682 нечетных числа и \( 682 \cdot 2 = 1364 \) четных. У нас всего 1023 четных числа, значит, этот вариант не подходит (не хватает четных).
6. Попробуем расставить числа в порядке: Н, Н, Н, Ч, Ч, Ч, ...
Здесь суммы:
(Н, Н, Н) — нечетная
(Н, Н, Ч) — четная (плохо)
7. Оптимальная стратегия — чередование двух нечетных и одного четного: Н, Н, Ч, Н, Н, Ч, ...
Суммы:
(Н, Н, Ч) — четная
(Н, Ч, Н) — четная
(Ч, Н, Н) — четная
Это тоже не подходит.
8. Самый эффективный способ — использовать структуру, где "плохие" суммы (четные) встречаются как можно реже. Рассмотрим последовательность: Н, Н, Н, Н, ..., Н (все нечетные в начале), но это даст много четных сумм при переходе к четным.
Вернемся к идее: Н, Ч, Ч, Н, Ч, Ч... Нам не хватило четных чисел. У нас 1023 четных. Каждое четное число может входить максимум в 3 нечетные суммы вида (Н, Ч, Ч).
Наилучший результат достигается при чередовании: Н, Н, Н, Ч, Н, Н, Н, Ч...
В блоке (Н, Н, Н, Ч) из 4 чисел:
\( S_1 = H+H+H = H \)
\( S_2 = H+H+Ч = Ч \)
\( S_3 = H+Ч+H = Ч \)
\( S_4 = Ч+H+H = Ч \)
Это не выгодно.
9. Правильная стратегия: поставим все четные числа через одно нечетное в середине, а оставшиеся нечетные по краям.
Рассмотрим блок: Ч, Н, Ч, Н, Ч, Н...
Сумма (Ч+Н+Ч) — нечетная.
Таких сумм будет столько, сколько у нас пар четных чисел.
Если мы расставим: Н, Н, Н, ..., Н (все лишние нечетные), а затем Ч, Н, Ч, Н, ..., Ч, Н, Ч.
Лишних нечетных чисел: \( 1024 - 1023 = 1 \).
Если ряд: \( Н_1, Н_2, \dots, Н_{1024}, Ч_1, Ч_2, \dots, Ч_{1023} \). Это плохо.
Если ряд: \( Ч, Н, Ч, Н, \dots, Ч, Н, Ч \) (использовано 1023 Ч и 1022 Н), и в начало и конец добавим по одному Н.
В последовательности \( Ч, Н, Ч, Н, \dots, Ч \) все суммы \( S_i \) нечетные.
Количество таких сумм в блоке длиной \( 1023 + 1022 = 2045 \) равно \( 2045 - 2 = 2043 \).
Добавление оставшихся двух нечетных чисел в концы не может сделать все 2045 сумм нечетными, так как возникнут стыки.
Максимально возможное количество нечетных сумм при данном количестве четных и нечетных чисел равно 2043.
Ответ: 2043.
