Решение задачи: Нахождение ранга матрицы методом Гаусса

Решим задачу по нахождению ранга матрицы. Задача: Найти ранг матрицы \(A\). Дана матрица: \[ A = \begin{pmatrix} 3 & 4 & -5 & 1 & 7 \\ 8 & 7 & -2 & -1 & 15 \\ 2 & -1 & 8 & -3 & 1 \end{pmatrix} \] Ранг матрицы - это максимальное число линейно независимых строк (или столбцов) в матрице. Также ранг матрицы равен наибольшему порядку ненулевого минора этой матрицы. Для нахождения ранга матрицы будем использовать метод Гаусса, приводя матрицу к ступенчатому виду. Исходная матрица \(A\): \[ \begin{pmatrix} 3 & 4 & -5 & 1 & 7 \\ 8 & 7 & -2 & -1 & 15 \\ 2 & -1 & 8 & -3 & 1 \end{pmatrix} \] Поменяем местами первую и третью строки, чтобы получить более удобный ведущий элемент (2 или -1): \(R_1 \leftrightarrow R_3\) \[ \begin{pmatrix} 2 & -1 & 8 & -3 & 1 \\ 8 & 7 & -2 & -1 & 15 \\ 3 & 4 & -5 & 1 & 7 \end{pmatrix} \] Теперь сделаем элементы под ведущим элементом первой строки равными нулю. Для второй строки: \(R_2 \leftarrow R_2 - 4R_1\) Для третьей строки: \(R_3 \leftarrow 2R_3 - 3R_1\) (умножим \(R_3\) на 2, чтобы избежать дробей) Вычисления для \(R_2\): \(8 - 4 \cdot 2 = 0\) \(7 - 4 \cdot (-1) = 7 + 4 = 11\) \(-2 - 4 \cdot 8 = -2 - 32 = -34\) \(-1 - 4 \cdot (-3) = -1 + 12 = 11\) \(15 - 4 \cdot 1 = 15 - 4 = 11\) Вычисления для \(R_3\): \(2 \cdot 3 - 3 \cdot 2 = 6 - 6 = 0\) \(2 \cdot 4 - 3 \cdot (-1) = 8 + 3 = 11\) \(2 \cdot (-5) - 3 \cdot 8 = -10 - 24 = -34\) \(2 \cdot 1 - 3 \cdot (-3) = 2 + 9 = 11\) \(2 \cdot 7 - 3 \cdot 1 = 14 - 3 = 11\) Матрица после преобразований: \[ \begin{pmatrix} 2 & -1 & 8 & -3 & 1 \\ 0 & 11 & -34 & 11 & 11 \\ 0 & 11 & -34 & 11 & 11 \end{pmatrix} \] Теперь видно, что вторая и третья строки абсолютно одинаковы. Это означает, что они линейно зависимы. Вычтем вторую строку из третьей: \(R_3 \leftarrow R_3 - R_2\) Вычисления для \(R_3\): \(0 - 0 = 0\) \(11 - 11 = 0\) \(-34 - (-34) = 0\) \(11 - 11 = 0\) \(11 - 11 = 0\) Матрица после преобразований: \[ \begin{pmatrix} 2 & -1 & 8 & -3 & 1 \\ 0 & 11 & -34 & 11 & 11 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \] Матрица приведена к ступенчатому виду. Количество ненулевых строк в ступенчатой матрице равно рангу исходной матрицы. В данном случае у нас две ненулевые строки. Следовательно, ранг матрицы \(A\) равен 2. Ответ: 2