Решение системы линейных уравнений методом Кронекера-Капелли

Решим задачу по определению типа системы линейных уравнений. Задача: Определить, является ли данная система линейных уравнений определенной, неопределенной, несовместной или совместной. Дана система линейных уравнений: \[ \begin{cases} x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 14 \\ 3x_1 + 2x_2 + x_3 = 10 \\ x_1 + x_2 + x_3 = 6 \\ 2x_1 + 3x_2 - x_3 = 5 \end{cases} \] Для определения типа системы воспользуемся теоремой Кронекера-Капелли. Для этого нам нужно найти ранг основной матрицы системы \(A\) и ранг расширенной матрицы системы \(\tilde{A}\). Основная матрица \(A\): \[ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & -1 \end{pmatrix} \] Расширенная матрица \(\tilde{A}\): \[ \tilde{A} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & | & 14 \\ 3 & 2 & 1 & | & 10 \\ 1 & 1 & 1 & | & 6 \\ 2 & 3 & -1 & | & 5 \end{pmatrix} \] Найдем ранг матрицы \(A\). Максимальный ранг может быть 3, так как у нас 3 столбца. Рассмотрим минор 3-го порядка, например, из первых трех строк: \[ M_3 = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} \] Вычислим определитель: \(M_3 = 1 \cdot (2 \cdot 1 - 1 \cdot 1) - 2 \cdot (3 \cdot 1 - 1 \cdot 1) + 3 \cdot (3 \cdot 1 - 2 \cdot 1)\) \(M_3 = 1 \cdot (2 - 1) - 2 \cdot (3 - 1) + 3 \cdot (3 - 2)\) \(M_3 = 1 \cdot 1 - 2 \cdot 2 + 3 \cdot 1\) \(M_3 = 1 - 4 + 3 = 0\) Так как этот минор равен нулю, попробуем другой минор 3-го порядка. Например, из первой, второй и четвертой строк: \[ M'_3 = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \\ 2 & 3 & -1 \end{vmatrix} \] Вычислим определитель: \(M'_3 = 1 \cdot (2 \cdot (-1) - 1 \cdot 3) - 2 \cdot (3 \cdot (-1) - 1 \cdot 2) + 3 \cdot (3 \cdot 3 - 2 \cdot 2)\) \(M'_3 = 1 \cdot (-2 - 3) - 2 \cdot (-3 - 2) + 3 \cdot (9 - 4)\) \(M'_3 = 1 \cdot (-5) - 2 \cdot (-5) + 3 \cdot 5\) \(M'_3 = -5 + 10 + 15 = 20\) Так как \(M'_3 = 20 \neq 0\), то ранг основной матрицы \(A\) равен 3. \(rank(A) = 3\). Теперь найдем ранг расширенной матрицы \(\tilde{A}\). Так как \(rank(A) = 3\), и это максимальный возможный ранг для матрицы \(A\), то \(rank(\tilde{A})\) не может быть меньше 3. Если \(rank(\tilde{A})\) также равен 3, то система совместна. Если \(rank(\tilde{A})\) больше 3 (что невозможно в данном случае, так как у нас всего 3 столбца коэффициентов), то система несовместна. Для проверки \(rank(\tilde{A})\) нам нужно рассмотреть все миноры 4-го порядка. Однако, поскольку у нас всего 3 переменных, максимальный ранг системы может быть 3. Если \(rank(A) = 3\), то система имеет единственное решение, если \(rank(\tilde{A})\) также равен 3. Давайте решим систему методом Гаусса, чтобы определить ее тип. \[ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & | & 14 \\ 3 & 2 & 1 & | & 10 \\ 1 & 1 & 1 & | & 6 \\ 2 & 3 & -1 & | & 5 \end{pmatrix} \] Выполним элементарные преобразования строк: \(R_2 \leftarrow R_2 - 3R_1\) \(R_3 \leftarrow R_3 - R_1\) \(R_4 \leftarrow R_4 - 2R_1\) \[ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & | & 14 \\ 0 & -4 & -8 & | & 10 - 3 \cdot 14 = 10 - 42 = -32 \\ 0 & -1 & -2 & | & 6 - 14 = -8 \\ 0 & -1 & -7 & | & 5 - 2 \cdot 14 = 5 - 28 = -23 \end{pmatrix} \] Упростим вторую и третью строки: \(R_2 \leftarrow R_2 / (-4)\) \(R_3 \leftarrow R_3 / (-1)\) \[ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & | & 14 \\ 0 & 1 & 2 & | & 8 \\ 0 & 1 & 2 & | & 8 \\ 0 & -1 & -7 & | & -23 \end{pmatrix} \] Теперь видно, что вторая и третья строки абсолютно одинаковы. Это означает, что одна из них является линейно зависимой. Вычтем вторую строку из третьей: \(R_3 \leftarrow R_3 - R_2\) \[ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & | & 14 \\ 0 & 1 & 2 & | & 8 \\ 0 & 0 & 0 & | & 0 \\ 0 & -1 & -7 & | & -23 \end{pmatrix} \] Теперь прибавим вторую строку к четвертой: \(R_4 \leftarrow R_4 + R_2\) \[ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & | & 14 \\ 0 & 1 & 2 & | & 8 \\ 0 & 0 & 0 & | & 0 \\ 0 & 0 & -5 & | & -15 \end{pmatrix} \] Поменяем местами третью и четвертую строки: \(R_3 \leftrightarrow R_4\) \[ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & | & 14 \\ 0 & 1 & 2 & | & 8 \\ 0 & 0 & -5 & | & -15 \\ 0 & 0 & 0 & | & 0 \end{pmatrix} \] Упростим третью строку: \(R_3 \leftarrow R_3 / (-5)\) \[ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & | & 14 \\ 0 & 1 & 2 & | & 8 \\ 0 & 0 & 1 & | & 3 \\ 0 & 0 & 0 & | & 0 \end{pmatrix} \] Из полученной ступенчатой матрицы видно, что: Ранг основной матрицы \(A\) (количество ненулевых строк в левой части) равен 3. Ранг расширенной матрицы \(\tilde{A}\) (количество ненулевых строк во всей матрице) также равен 3. Количество переменных \(n = 3\). По теореме Кронекера-Капелли: 1. Если \(rank(A) \neq rank(\tilde{A})\), то система несовместна (не имеет решений). 2. Если \(rank(A) = rank(\tilde{A}) = n\) (где \(n\) - количество переменных), то система совместна и определенна (имеет единственное решение). 3. Если \(rank(A) = rank(\tilde{A}) < n\), то система совместна и неопределенна (имеет бесконечно много решений). В нашем случае \(rank(A) = 3\), \(rank(\tilde{A}) = 3\), и количество переменных \(n = 3\). Так как \(rank(A) = rank(\tilde{A}) = n\), система является совместной и определенной. Найдем решение для полноты картины: Из третьей строки: \(x_3 = 3\) Подставим \(x_3\) во вторую строку: \(x_2 + 2x_3 = 8 \Rightarrow x_2 + 2 \cdot 3 = 8 \Rightarrow x_2 + 6 = 8 \Rightarrow x_2 = 2\) Подставим \(x_2\) и \(x_3\) в первую строку: \(x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 14 \Rightarrow x_1 + 2 \cdot 2 + 3 \cdot 3 = 14 \Rightarrow x_1 + 4 + 9 = 14 \Rightarrow x_1 + 13 = 14 \Rightarrow x_1 = 1\) Решение системы: \(x_1 = 1, x_2 = 2, x_3 = 3\). Это единственное решение, что подтверждает, что система определенная. Выводы: Система совместна (имеет решения). Система определенна (имеет единственное решение). Ответы, которые нужно выбрать: * определенная * совместная