Решение системы линейных уравнений

Решим задачу по определению типа системы линейных уравнений. Задача: Определить, является ли данная система линейных уравнений определенной, неопределенной, несовместной или совместной. Дана система линейных уравнений: \[ \begin{cases} x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 14 \\ 3x_1 + 2x_2 + x_3 = 10 \\ x_1 + x_2 + x_3 = 6 \\ 2x_1 + 3x_2 - x_3 = 5 \end{cases} \] Для определения типа системы воспользуемся теоремой Кронекера-Капелли. Согласно этой теореме, система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг основной матрицы системы равен рангу расширенной матрицы системы. Если ранги равны: 1. Если ранг равен числу переменных, то система определенная (имеет единственное решение). 2. Если ранг меньше числа переменных, то система неопределенная (имеет бесконечно много решений). Если ранги не равны, то система несовместна (не имеет решений). Сначала запишем основную матрицу \(A\) и расширенную матрицу \(A|B\) системы. Число переменных \(n = 3\) (\(x_1, x_2, x_3\)). Основная матрица \(A\): \[ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & -1 \end{pmatrix} \] Расширенная матрица \(A|B\): \[ A|B = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & | & 14 \\ 3 & 2 & 1 & | & 10 \\ 1 & 1 & 1 & | & 6 \\ 2 & 3 & -1 & | & 5 \end{pmatrix} \] Найдем ранг матрицы \(A|B\) с помощью метода Гаусса. \[ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & | & 14 \\ 3 & 2 & 1 & | & 10 \\ 1 & 1 & 1 & | & 6 \\ 2 & 3 & -1 & | & 5 \end{pmatrix} \] Выполним элементарные преобразования строк: 1. \(R_2 \leftarrow R_2 - 3R_1\) 2. \(R_3 \leftarrow R_3 - R_1\) 3. \(R_4 \leftarrow R_4 - 2R_1\) Вычисления для \(R_2\): \(3 - 3 \cdot 1 = 0\) \(2 - 3 \cdot 2 = 2 - 6 = -4\) \(1 - 3 \cdot 3 = 1 - 9 = -8\) \(10 - 3 \cdot 14 = 10 - 42 = -32\) Вычисления для \(R_3\): \(1 - 1 \cdot 1 = 0\) \(1 - 1 \cdot 2 = 1 - 2 = -1\) \(1 - 1 \cdot 3 = 1 - 3 = -2\) \(6 - 1 \cdot 14 = 6 - 14 = -8\) Вычисления для \(R_4\): \(2 - 2 \cdot 1 = 0\) \(3 - 2 \cdot 2 = 3 - 4 = -1\) \(-1 - 2 \cdot 3 = -1 - 6 = -7\) \(5 - 2 \cdot 14 = 5 - 28 = -23\) Матрица после первого шага: \[ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & | & 14 \\ 0 & -4 & -8 & | & -32 \\ 0 & -1 & -2 & | & -8 \\ 0 & -1 & -7 & | & -23 \end{pmatrix} \] Упростим вторую и третью строки, разделив на общие множители: \(R_2 \leftarrow R_2 / (-4)\) \(R_3 \leftarrow R_3 / (-1)\) \[ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & | & 14 \\ 0 & 1 & 2 & | & 8 \\ 0 & 1 & 2 & | & 8 \\ 0 & -1 & -7 & | & -23 \end{pmatrix} \] Теперь видно, что вторая и третья строки абсолютно одинаковы. Выполним следующие преобразования: 1. \(R_3 \leftarrow R_3 - R_2\) 2. \(R_4 \leftarrow R_4 + R_2\) Вычисления для \(R_3\): \(0 - 0 = 0\) \(1 - 1 = 0\) \(2 - 2 = 0\) \(8 - 8 = 0\) Вычисления для \(R_4\): \(0 + 0 = 0\) \(-1 + 1 = 0\) \(-7 + 2 = -5\) \(-23 + 8 = -15\) Матрица после второго шага: \[ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & | & 14 \\ 0 & 1 & 2 & | & 8 \\ 0 & 0 & 0 & | & 0 \\ 0 & 0 & -5 & | & -15 \end{pmatrix} \] Поменяем местами третью и четвертую строки, чтобы получить ступенчатый вид: \(R_3 \leftrightarrow R_4\) \[ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & | & 14 \\ 0 & 1 & 2 & | & 8 \\ 0 & 0 & -5 & | & -15 \\ 0 & 0 & 0 & | & 0 \end{pmatrix} \] Упростим третью строку: \(R_3 \leftarrow R_3 / (-5)\) \[ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & | & 14 \\ 0 & 1 & 2 & | & 8 \\ 0 & 0 & 1 & | & 3 \\ 0 & 0 & 0 & | & 0 \end{pmatrix} \] Теперь матрица приведена к ступенчатому виду. Ранг расширенной матрицы \(A|B\) равен числу ненулевых строк, то есть \(rank(A|B) = 3\). Теперь найдем ранг основной матрицы \(A\). Для этого достаточно посмотреть на первые три столбца полученной ступенчатой матрицы: \[ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \] Ранг основной матрицы \(A\) также равен числу ненулевых строк, то есть \(rank(A) = 3\). Сравниваем ранги: \(rank(A) = 3\) \(rank(A|B) = 3\) Число переменных \(n = 3\). Так как \(rank(A) = rank(A|B) = n = 3\), система является совместной и определенной (имеет единственное решение). Найдем это единственное решение для полноты картины (хотя в задаче это не требуется). Из последней ненулевой строки: \(x_3 = 3\) Из второй строки: \(x_2 + 2x_3 = 8 \Rightarrow x_2 + 2 \cdot 3 = 8 \Rightarrow x_2 + 6 = 8 \Rightarrow x_2 = 2\) Из первой строки: \(x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 14 \Rightarrow x_1 + 2 \cdot 2 + 3 \cdot 3 = 14 \Rightarrow x_1 + 4 + 9 = 14 \Rightarrow x_1 + 13 = 14 \Rightarrow x_1 = 1\) Решение системы: \(x_1 = 1, x_2 = 2, x_3 = 3\). Выводы: 1. Система совместна (потому что \(rank(A) = rank(A|B)\)). 2. Система определенная (потому что \(rank(A) = rank(A|B) = n\)). Таким образом, нужно выбрать варианты "определенная" и "совместная". Ответ: * определенная * совместная