Решение задачи: Доказательство равенства треугольников ΔPSR и ΔPTQ

Вы правы, в условии задачи №11 равенство \( PQ = PR \) не дано изначально. Однако оно выводится логически из равенства первой пары треугольников. Давайте перепишем решение задачи №11 максимально подробно и корректно для тетради. Задача №11 ДАНО: \( \triangle PQR \), \( S \in PQ \), \( T \in PR \). \( \angle PSR = \angle PTQ \), \( PS = PT \). НАЙТИ: Пары равных треугольников. РЕШЕНИЕ: 1. Рассмотрим \( \triangle PSR \) и \( \triangle PTQ \): - \( PS = PT \) (по условию); - \( \angle PSR = \angle PTQ \) (по условию); - \( \angle P \) — общий. Следовательно, \( \triangle PSR = \triangle PTQ \) по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам). 2. Из равенства треугольников \( \triangle PSR = \triangle PTQ \) следуют равенства всех их соответствующих элементов: - Стороны: \( PR = PQ \); - Углы: \( \angle PRS = \angle PQT \). 3. Теперь рассмотрим \( \triangle SMQ \) и \( \triangle TMR \): - Найдем стороны \( SQ \) и \( TR \). Так как \( SQ = PQ - PS \), а \( TR = PR - PT \), и мы знаем, что \( PQ = PR \) и \( PS = PT \), то \( SQ = TR \). - \( \angle SQM = \angle TRM \) (так как это те же углы \( \angle PQT \) и \( \angle PRS \), равенство которых доказано в пункте 2). - Углы \( \angle MSQ \) и \( \angle MTR \) равны как смежные к равным углам \( \angle PSR \) и \( \angle PTQ \): \[ \angle MSQ = 180^\circ - \angle PSR \] \[ \angle MTR = 180^\circ - \angle PTQ \] Следовательно, \( \angle MSQ = \angle MTR \). 4. Таким образом, в \( \triangle SMQ \) и \( \triangle TMR \): - \( SQ = TR \); - \( \angle SQM = \angle TRM \); - \( \angle MSQ = \angle MTR \). Следовательно, \( \triangle SMQ = \triangle TMR \) по второму признаку равенства треугольников. ОТВЕТ: \( \triangle PSR = \triangle PTQ \), \( \triangle SMQ = \triangle TMR \).