Решение задач по гидростатике графо-аналитическим методом

Графо-аналитический способ решения задачи основан на построении эпюр гидростатического давления. Это наглядный метод, который часто требуют в школьных и студенческих работах. Дано: \( h_1 = 3 \) м, \( h_2 = 1,2 \) м, \( b = 4 \) м, \( H = 3,5 \) м, \( t = 0,08 \) м, \( \gamma_{мат} = 11800 \) Н/м\(^3\), \( f = 0,5 \), \( \gamma_{в} = 9810 \) Н/м\(^3\). Решение: 1. Построение эпюр давления: Давление воды распределяется по линейному закону \( p = \gamma_{в} \cdot z \). Эпюра представляет собой треугольник. Максимальное давление у дна слева: \[ p_1 = \gamma_{в} \cdot h_1 = 9810 \cdot 3 = 29430 \text{ Па} \] Максимальное давление у дна справа: \[ p_2 = \gamma_{в} \cdot h_2 = 9810 \cdot 1,2 = 11772 \text{ Па} \] 2. Определение сил давления через площади эпюр: Сила давления \( P \) равна объему эпюры давления (площадь треугольника эпюры, умноженная на ширину затвора \( b \)). Слева: \[ P_1 = \omega_{э1} \cdot b = \left( \frac{1}{2} \cdot p_1 \cdot h_1 \right) \cdot b = \frac{1}{2} \cdot 29430 \cdot 3 \cdot 4 = 176580 \text{ Н} \] Справа: \[ P_2 = \omega_{э2} \cdot b = \left( \frac{1}{2} \cdot p_2 \cdot h_2 \right) \cdot b = \frac{1}{2} \cdot 11772 \cdot 1,2 \cdot 4 = 28252,8 \text{ Н} \] Равнодействующая сила: \[ P = P_1 - P_2 = 176580 - 28252,8 = 148327,2 \text{ Н} \] 3. Определение точек приложения сил (центров давления): Центр давления каждой силы совпадает с центром тяжести треугольной эпюры. Для треугольника центр тяжести лежит на расстоянии \( \frac{1}{3} \) высоты от основания (от дна). Для \( P_1 \): \( y_{D1} = \frac{1}{3} h_1 = \frac{1}{3} \cdot 3 = 1 \text{ м} \) (от дна). Для \( P_2 \): \( y_{D2} = \frac{1}{3} h_2 = \frac{1}{3} \cdot 1,2 = 0,4 \text{ м} \) (от дна). 4. Определение общей точки приложения \( y_D \) (от дна): Используем теорему Вариньона (момент равнодействующей равен сумме моментов составляющих сил): \[ P \cdot y_D = P_1 \cdot y_{D1} - P_2 \cdot y_{D2} \] \[ 148327,2 \cdot y_D = 176580 \cdot 1 - 28252,8 \cdot 0,4 \] \[ 148327,2 \cdot y_D = 176580 - 11301,12 \] \[ y_D = \frac{165278,88}{148327,2} \approx 1,114 \text{ м} \] 5. Пересчет координаты центра давления относительно точки \( O \) (верхней кромки): Точка \( O \) находится на уровне воды верхнего бьефа (так как \( h_1 = 3 \) м, а затвор погружен на эту глубину). \[ l_D = h_1 - y_D = 3 - 1,114 = 1,886 \text{ м} \] 6. Определение подъемного усилия \( T \): Вес затвора: \[ G = \gamma_{мат} \cdot (H \cdot b \cdot t) = 11800 \cdot (3,5 \cdot 4 \cdot 0,08) = 13216 \text{ Н} \] Сила трения в опорах: \[ F_{тр} = f \cdot P = 0,5 \cdot 148327,2 = 74163,6 \text{ Н} \] Полное подъемное усилие: \[ T = G + F_{тр} = 13216 + 74163,6 = 87379,6 \text{ Н} \] Ответ: \( P \approx 148,33 \) кН; \( l_D \approx 1,89 \) м; \( T \approx 87,38 \) кН.