Решение задачи: равнобедренный треугольник, угол и биссектриса

Решение: Дано: Треугольник АВС – равнобедренный, АВ = ВС. Точка М на основании АС. ВМ = 6. \(\angle BMC = 60^\circ\). Биссектриса угла ВМС параллельна стороне АВ. Найти: АС. 1. Пусть биссектриса угла ВМС – это МК. Так как МК – биссектриса \(\angle BMC\), то \(\angle CMK = \angle KMB = \frac{\angle BMC}{2} = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ\). 2. По условию, МК параллельна АВ. Так как МК || АВ, и АС – секущая, то \(\angle BAC = \angle CMK\) как соответственные углы. Следовательно, \(\angle BAC = 30^\circ\). 3. Треугольник АВС – равнобедренный с основанием АС, значит, углы при основании равны: \(\angle BCA = \angle BAC = 30^\circ\). 4. Рассмотрим треугольник ВМС. Нам известны: \(\angle BMC = 60^\circ\). \(\angle BCM = \angle BCA = 30^\circ\). Сумма углов в треугольнике равна \(180^\circ\). \(\angle MBC = 180^\circ - \angle BMC - \angle BCM = 180^\circ - 60^\circ - 30^\circ = 90^\circ\). 5. Таким образом, треугольник ВМС – прямоугольный с прямым углом при вершине М. В этом треугольнике ВМ = 6. Мы знаем, что катет, лежащий против угла в \(30^\circ\), равен половине гипотенузы. Катет ВМ лежит против угла \(\angle BCM = 30^\circ\). Значит, ВМ = \(\frac{1}{2}\) ВС. Отсюда, ВС = 2 * ВМ = 2 * 6 = 12. 6. Так как треугольник АВС – равнобедренный, то АВ = ВС = 12. 7. Теперь найдем длину стороны АС. Рассмотрим треугольник АВС. \(\angle BAC = 30^\circ\). \(\angle BCA = 30^\circ\). \(\angle ABC = 180^\circ - \angle BAC - \angle BCA = 180^\circ - 30^\circ - 30^\circ = 120^\circ\). 8. Применим теорему синусов для треугольника АВС: \[ \frac{AC}{\sin(\angle ABC)} = \frac{BC}{\sin(\angle BAC)} \] \[ \frac{AC}{\sin(120^\circ)} = \frac{12}{\sin(30^\circ)} \] Мы знаем, что \(\sin(120^\circ) = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}\). И \(\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}\). \[ \frac{AC}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{12}{\frac{1}{2}} \] \[ AC = \frac{12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} \] \[ AC = 12 \cdot \sqrt{3} \] Ответ: Длина стороны АС равна \(12\sqrt{3}\).