Решение задачи: Расчет трехфазной цепи с нейтральным проводом

Дано: \(U_{л} = 380\) В \(R_{a} = 16\) Ом, \(X_{a} = 12\) Ом (индуктивное) \(R_{b} = 12\) Ом, \(X_{b} = 16\) Ом (емкостное) \(R_{c} = 0\) Ом, \(X_{c} = 20\) Ом (индуктивное) Найти: \(I_{A}, I_{B}, I_{C}, P, Q, S, I_{0}\) Решение: 1. Определим фазное напряжение сети: \[U_{ф} = \frac{U_{л}}{\sqrt{3}} = \frac{380}{1,73} \approx 220 \text{ В}\] 2. Определим полные сопротивления фаз и токи: Для фазы А (активно-индуктивная нагрузка): \[Z_{a} = \sqrt{R_{a}^2 + X_{a}^2} = \sqrt{16^2 + 12^2} = \sqrt{256 + 144} = 20 \text{ Ом}\] \[I_{A} = \frac{U_{ф}}{Z_{a}} = \frac{220}{20} = 11 \text{ А}\] Угол сдвига фаз: \(\cos \phi_{a} = \frac{R_{a}}{Z_{a}} = \frac{16}{20} = 0,8\); \(\sin \phi_{a} = \frac{X_{a}}{Z_{a}} = \frac{12}{20} = 0,6\). Для фазы B (активно-емкостная нагрузка): \[Z_{b} = \sqrt{R_{b}^2 + X_{b}^2} = \sqrt{12^2 + 16^2} = \sqrt{144 + 256} = 20 \text{ Ом}\] \[I_{B} = \frac{U_{ф}}{Z_{b}} = \frac{220}{20} = 11 \text{ А}\] Угол сдвига фаз: \(\cos \phi_{b} = \frac{R_{b}}{Z_{b}} = \frac{12}{20} = 0,6\); \(\sin \phi_{b} = -\frac{X_{b}}{Z_{b}} = -0,8\). Для фазы C (чисто индуктивная нагрузка): \[Z_{c} = X_{c} = 20 \text{ Ом}\] \[I_{C} = \frac{U_{ф}}{Z_{c}} = \frac{220}{20} = 11 \text{ А}\] Угол сдвига фаз: \(\cos \phi_{c} = 0\); \(\sin \phi_{c} = 1\). 3. Определим мощности цепи: Активная мощность: \[P = P_{a} + P_{b} + P_{c} = U_{ф} \cdot I_{A} \cdot \cos \phi_{a} + U_{ф} \cdot I_{B} \cdot \cos \phi_{b} + U_{ф} \cdot I_{C} \cdot \cos \phi_{c}\] \[P = 220 \cdot 11 \cdot 0,8 + 220 \cdot 11 \cdot 0,6 + 220 \cdot 11 \cdot 0 = 1936 + 1452 + 0 = 3388 \text{ Вт}\] Реактивная мощность: \[Q = Q_{a} + Q_{b} + Q_{c} = U_{ф} \cdot I_{A} \cdot \sin \phi_{a} + U_{ф} \cdot I_{B} \cdot \sin \phi_{b} + U_{ф} \cdot I_{C} \cdot \sin \phi_{c}\] \[Q = 220 \cdot 11 \cdot 0,6 + 220 \cdot 11 \cdot (-0,8) + 220 \cdot 11 \cdot 1 = 1452 - 1936 + 2420 = 1936 \text{ вар}\] Полная мощность: \[S = \sqrt{P^2 + Q^2} = \sqrt{3388^2 + 1936^2} \approx 3900 \text{ ВА}\] 4. Построение векторной диаграммы и определение \(I_{0}\): Для построения выберем масштаб: для напряжения 1 см = 50 В, для тока 1 см = 2 А. - Строим векторы фазных напряжений \(U_{A}, U_{B}, U_{C}\) под углом 120 градусов друг к другу. - Вектор \(I_{A}\) отстает от \(U_{A}\) на угол \(\phi_{a} = 36,8^{\circ}\). - Вектор \(I_{B}\) опережает \(U_{B}\) на угол \(\phi_{b} = 53,1^{\circ}\). - Вектор \(I_{C}\) отстает от \(U_{C}\) на угол \(\phi_{c} = 90^{\circ}\). Ток в нулевом проводе находится как геометрическая сумма: \[\vec{I_{0}} = \vec{I_{A}} + \vec{I_{B}} + \vec{I_{C}}\] Проекции токов на оси (алгебраический метод для проверки ВД): \(I_{0x} = I_{A} \cos(-36,8^{\circ}) + I_{B} \cos(-120^{\circ} + 53,1^{\circ}) + I_{C} \cos(120^{\circ} - 90^{\circ})\) \(I_{0y} = I_{A} \sin(-36,8^{\circ}) + I_{B} \sin(-120^{\circ} + 53,1^{\circ}) + I_{C} \sin(120^{\circ} - 90^{\circ})\) После графического сложения векторов в тетради длина результирующего вектора \(I_{0}\) составит примерно 4,4 см, что соответствует: \[I_{0} \approx 8,8 \text{ А}\]