Решение задачи: Трехфазная цепь, соединение треугольником

Вот решение вашей задачи. Решение: Дано: Схема включения: треугольник Линейное напряжение: \(U_л = 380\) В Сопротивления фаз: \(Z_{AB} = 20 + j15\) Ом \(Z_{BC} = 20 - j15\) Ом \(Z_{CA} = 36 - j24\) Ом 1. Расчет фазных и линейных токов для заданных режимов работы. а) Нормальный режим. В схеме "треугольник" фазные напряжения равны линейным напряжениям. Примем фазное напряжение \(U_{AB}\) за базовое и равное \(U_л\). Тогда: \(U_{AB} = U_л = 380 \angle 0^\circ\) В \(U_{BC} = U_л \angle (-120^\circ) = 380 \angle (-120^\circ)\) В \(U_{CA} = U_л \angle (120^\circ) = 380 \angle (120^\circ)\) В Рассчитаем модули и углы сопротивлений: \(|Z_{AB}| = \sqrt{20^2 + 15^2} = \sqrt{400 + 225} = \sqrt{625} = 25\) Ом \(\varphi_{AB} = \arctan\left(\frac{15}{20}\right) = \arctan(0.75) \approx 36.87^\circ\) \(Z_{AB} = 25 \angle 36.87^\circ\) Ом \(|Z_{BC}| = \sqrt{20^2 + (-15)^2} = \sqrt{400 + 225} = \sqrt{625} = 25\) Ом \(\varphi_{BC} = \arctan\left(\frac{-15}{20}\right) = \arctan(-0.75) \approx -36.87^\circ\) \(Z_{BC} = 25 \angle (-36.87^\circ)\) Ом \(|Z_{CA}| = \sqrt{36^2 + (-24)^2} = \sqrt{1296 + 576} = \sqrt{1872} \approx 43.27\) Ом \(\varphi_{CA} = \arctan\left(\frac{-24}{36}\right) = \arctan(-0.6667) \approx -33.69^\circ\) \(Z_{CA} = 43.27 \angle (-33.69^\circ)\) Ом Рассчитаем фазные токи: \(I_{AB} = \frac{U_{AB}}{Z_{AB}} = \frac{380 \angle 0^\circ}{25 \angle 36.87^\circ} = \frac{380}{25} \angle (0^\circ - 36.87^\circ) = 15.2 \angle (-36.87^\circ)\) А \(I_{BC} = \frac{U_{BC}}{Z_{BC}} = \frac{380 \angle (-120^\circ)}{25 \angle (-36.87^\circ)} = \frac{380}{25} \angle (-120^\circ - (-36.87^\circ)) = 15.2 \angle (-83.13^\circ)\) А \(I_{CA} = \frac{U_{CA}}{Z_{CA}} = \frac{380 \angle (120^\circ)}{43.27 \angle (-33.69^\circ)} = \frac{380}{43.27} \angle (120^\circ - (-33.69^\circ)) \approx 8.78 \angle (153.69^\circ)\) А Рассчитаем линейные токи по первому закону Кирхгофа для узлов: \(I_A = I_{AB} - I_{CA}\) \(I_B = I_{BC} - I_{AB}\) \(I_C = I_{CA} - I_{BC}\) Переведем фазные токи в алгебраическую форму: \(I_{AB} = 15.2 \cos(-36.87^\circ) + j 15.2 \sin(-36.87^\circ) \approx 15.2 \cdot 0.8 - j 15.2 \cdot 0.6 = 12.16 - j9.12\) А \(I_{BC} = 15.2 \cos(-83.13^\circ) + j 15.2 \sin(-83.13^\circ) \approx 15.2 \cdot 0.119 - j 15.2 \cdot 0.993 = 1.81 - j15.09\) А \(I_{CA} = 8.78 \cos(153.69^\circ) + j 8.78 \sin(153.69^\circ) \approx 8.78 \cdot (-0.896) + j 8.78 \cdot 0.443 = -7.87 + j3.89\) А Теперь рассчитаем линейные токи: \(I_A = (12.16 - j9.12) - (-7.87 + j3.89) = 12.16 + 7.87 - j9.12 - j3.89 = 20.03 - j13.01\) А \(|I_A| = \sqrt{20.03^2 + (-13.01)^2} = \sqrt{401.2 + 169.26} = \sqrt{570.46} \approx 23.88\) А \(\varphi_A = \arctan\left(\frac{-13.01}{20.03}\right) \approx -33.01^\circ\) \(I_A = 23.88 \angle (-33.01^\circ)\) А \(I_B = (1.81 - j15.09) - (12.16 - j9.12) = 1.81 - 12.16 - j15.09 + j9.12 = -10.35 - j5.97\) А \(|I_B| = \sqrt{(-10.35)^2 + (-5.97)^2} = \sqrt{107.12 + 35.64} = \sqrt{142.76} \approx 11.95\) А \(\varphi_B = \arctan\left(\frac{-5.97}{-10.35}\right) + 180^\circ \approx 30.01^\circ + 180^\circ = 210.01^\circ\) (или \(-149.99^\circ\)) \(I_B = 11.95 \angle (-149.99^\circ)\) А \(I_C = (-7.87 + j3.89) - (1.81 - j15.09) = -7.87 - 1.81 + j3.89 + j15.09 = -9.68 + j18.98\) А \(|I_C| = \sqrt{(-9.68)^2 + 18.98^2} = \sqrt{93.7 + 360.24} = \sqrt{453.94} \approx 21.31\) А \(\varphi_C = \arctan\left(\frac{18.98}{-9.68}\right) + 180^\circ \approx -62.94^\circ + 180^\circ = 117.06^\circ\) \(I_C = 21.31 \angle (117.06^\circ)\) А Проверка баланса токов: \(I_A + I_B + I_C = (20.03 - j13.01) + (-10.35 - j5.97) + (-9.68 + j18.98) = (20.03 - 10.35 - 9.68) + j(-13.01 - 5.97 + 18.98) = 0 + j0\). Баланс сходится. Расчет активной, реактивной и полной мощностей приемника. Активная мощность: \(P = P_{AB} + P_{BC} + P_{CA}\) \(P_{AB} = |I_{AB}|^2 \cdot R_{AB} = 15.2^2 \cdot 20 = 231.04 \cdot 20 = 4620.8\) Вт \(P_{BC} = |I_{BC}|^2 \cdot R_{BC} = 15.2^2 \cdot 20 = 231.04 \cdot 20 = 4620.8\) Вт \(P_{CA} = |I_{CA}|^2 \cdot R_{CA} = 8.78^2 \cdot 36 = 77.09 \cdot 36 = 2775.24\) Вт \(P_{приемника} = 4620.8 + 4620.8 + 2775.24 = 12016.84\) Вт Реактивная мощность: \(Q = Q_{AB} + Q_{BC} + Q_{CA}\) \(Q_{AB} = |I_{AB}|^2 \cdot X_{AB} = 15.2^2 \cdot 15 = 231.04 \cdot 15 = 3465.6\) ВАр \(Q_{BC} = |I_{BC}|^2 \cdot X_{BC} = 15.2^2 \cdot (-15) = 231.04 \cdot (-15) = -3465.6\) ВАр \(Q_{CA} = |I_{CA}|^2 \cdot X_{CA} = 8.78^2 \cdot (-24) = 77.09 \cdot (-24) = -1849.92\) ВАр \(Q_{приемника} = 3465.6 - 3465.6 - 1849.92 = -1849.92\) ВАр Полная мощность приемника: \(S_{приемника} = P_{приемника} + j Q_{приемника} = 12016.84 - j1849.92\) ВА \(|S_{приемника}| = \sqrt{12016.84^2 + (-1849.92)^2} = \sqrt{144404420 + 3422200} = \sqrt{147826620} \approx 12158.3\) ВА Коэффициент мощности приемника: \(\cos \varphi_{приемника} = \frac{P_{приемника}}{|S_{приемника}|} = \frac{12016.84}{12158.3} \approx 0.988\) (емкостной, так как \(Q < 0\)) Мощности источников (при симметричном источнике и несимметричной нагрузке): Мощность источника равна мощности приемника. \(P_{источника} = P_{приемника} = 12016.84\) Вт \(Q_{источника} = Q_{приемника} = -1849.92\) ВАр \(S_{источника} = S_{приемника} = 12016.84 - j1849.92\) ВА Баланс мощностей: Активная мощность: \(P_{источника} = P_{приемника}\) (сходится) Реактивная мощность: \(Q_{источника} = Q_{приемника}\) (сходится) Полная мощность: \(S_{источника} = S_{приемника}\) (сходится) б) Обрыв фазы AB. При обрыве фазы AB, ток \(I_{AB} = 0\). Остальные фазные напряжения остаются прежними: \(U_{BC} = 380 \angle (-120^\circ)\) В \(U_{CA} = 380 \angle (120^\circ)\) В Фазные токи: \(I_{AB} = 0\) А \(I_{BC} = \frac{U_{BC}}{Z_{BC}} = \frac{380 \angle (-120^\circ)}{25 \angle (-36.87^\circ)} = 15.2 \angle (-83.13^\circ)\) А (как в нормальном режиме) \(I_{BC} = 1.81 - j15.09\) А \(I_{CA} = \frac{U_{CA}}{Z_{CA}} = \frac{380 \angle (120^\circ)}{43.27 \angle (-33.69^\circ)} = 8.78 \angle (153.69^\circ)\) А (как в нормальном режиме) \(I_{CA} = -7.87 + j3.89\) А Линейные токи: \(I_A = I_{AB} - I_{CA} = 0 - (-7.87 + j3.89) = 7.87 - j3.89\) А \(|I_A| = \sqrt{7.87^2 + (-3.89)^2} = \sqrt{61.94 + 15.13} = \sqrt{77.07} \approx 8.78\) А \(\varphi_A = \arctan\left(\frac{-3.89}{7.87}\right) \approx -26.29^\circ\) \(I_A = 8.78 \angle (-26.29^\circ)\) А \(I_B = I_{BC} - I_{AB} = (1.81 - j15.09) - 0 = 1.81 - j15.09\) А \(|I_B| = \sqrt{1.81^2 + (-15.09)^2} = \sqrt{3.28 + 227.71} = \sqrt{230.99} \approx 15.2\) А \(\varphi_B = \arctan\left(\frac{-15.09}{1.81}\right) \approx -83.13^\circ\) \(I_B = 15.2 \angle (-83.13^\circ)\) А \(I_C = I_{CA} - I_{BC} = (-7.87 + j3.89) - (1.81 - j15.09) = -7.87 - 1.81 + j3.89 + j15.09 = -9.68 + j18.98\) А \(|I_C| = \sqrt{(-9.68)^2 + 18.98^2} = \sqrt{93.7 + 360.24} = \sqrt{453.94} \approx 21.31\) А \(\varphi_C = \arctan\left(\frac{18.98}{-9.68}\right) + 180^\circ \approx 117.06^\circ\) \(I_C = 21.31 \angle (117.06^\circ)\) А Проверка баланса токов: \(I_A + I_B + I_C = (7.87 - j3.89) + (1.81 - j15.09) + (-9.68 + j18.98) = (7.87 + 1.81 - 9.68) + j(-3.89 - 15.09 + 18.98) = 0 + j0\). Баланс сходится. в) Обрыв линейного провода В. При обрыве линейного провода В, ток \(I_B = 0\). В этом случае схема становится двухфазной. Напряжения на фазах приемника будут определяться по-другому. Поскольку \(I_B = 0\), то \(I_{BC} = I_{AB}\). Также \(I_A = -I_C\). Примем \(U_{AB}\) за базовое. \(U_{AB} = 380 \angle 0^\circ\) В \(U_{CA} = 380 \angle 120^\circ\) В Поскольку \(I_B = 0\), то \(I_{BC} - I_{AB} = 0 \Rightarrow I_{BC} = I_{AB}\). Также \(I_A = I_{AB} - I_{CA}\) и \(I_C = I_{CA} - I_{BC}\). Из \(I_A = -I_C\) следует \(I_{AB} - I_{CA} = -(I_{CA} - I_{BC}) = -I_{CA} + I_{BC}\). Подставляем \(I_{BC} = I_{AB}\): \(I_{AB} - I_{CA} = -I_{CA} + I_{AB}\). Это тождество, оно не дает новой информации. Рассмотрим контур, образованный фазами AB и BC. Напряжение между точками A и C равно \(U_{AC} = -U_{CA} = 380 \angle (-60^\circ)\) В. Ток \(I_{CA}\) протекает через \(Z_{CA}\). Ток \(I_{AB}\) протекает через \(Z_{AB}\) и \(Z_{BC}\) последовательно, так как \(I_{AB} = I_{BC}\). Тогда \(Z_{AB-BC} = Z_{AB} + Z_{BC} = (20+j15) + (20-j15) = 40\) Ом. Напряжение на этой последовательной цепи равно \(U_{AC}\). Тогда \(I_{AB} = I_{BC} = \frac{U_{AC}}{Z_{AB} + Z_{BC}} = \frac{380 \angle (-60^\circ)}{40 \angle 0^\circ} = 9.5 \angle (-60^\circ)\) А. Теперь найдем \(I_{CA}\): \(I_{CA} = \frac{U_{CA}}{Z_{CA}} = \frac{380 \angle (120^\circ)}{43.27 \angle (-33.69^\circ)} = 8.78 \angle (153.69^\circ)\) А (как в нормальном режиме, так как \(U_{CA}\) не изменилось). Переведем токи в алгебраическую форму: \(I_{AB} = 9.5 \cos(-60^\circ) + j 9.5 \sin(-60^\circ) = 9.5 \cdot 0.5 - j 9.5 \cdot 0.866 = 4.75 - j8.227\) А \(I_{BC} = 4.75 - j8.227\) А \(I_{CA} = -7.87 + j3.89\) А (из нормального режима) Линейные токи: \(I_A = I_{AB} - I_{CA} = (4.75 - j8.227) - (-7.87 + j3.89) = 4.75 + 7.87 - j8.227 - j3.89 = 12.62 - j12.117\) А \(|I_A| = \sqrt{12.62^2 + (-12.117)^2} = \sqrt{159.26 + 146.82} = \sqrt{306.08} \approx 17.49\) А \(\varphi_A = \arctan\left(\frac{-12.117}{12.62}\right) \approx -43.8^\circ\) \(I_A = 17.49 \angle (-43.8^\circ)\) А \(I_B = 0\) А (по условию обрыва) \(I_C = I_{CA} - I_{BC} = (-7.87 + j3.89) - (4.75 - j8.227) = -7.87 - 4.75 + j3.89 + j8.227 = -12.62 + j12.117\) А \(|I_C| = \sqrt{(-12.62)^2 + 12.117^2} = \sqrt{159.26 + 146.82} = \sqrt{306.08} \approx 17.49\) А \(\varphi_C = \arctan\left(\frac{12.117}{-12.62}\right) + 180^\circ \approx -43.8^\circ + 180^\circ = 136.2^\circ\) \(I_C = 17.49 \angle (136.2^\circ)\) А Проверка баланса токов: \(I_A + I_B + I_C = (12.62 - j12.117) + 0 + (-12.62 + j12.117) = 0 + j0\). Баланс сходится. 2. Построить векторные диаграммы токов и напряжений. Для построения векторных диаграмм удобно использовать миллиметровую бумагу и транспортир. Масштаб для напряжений: например, 1 см = 50 В. Масштаб для токов: например, 1 см = 2 А. а) Нормальный режим. Векторная диаграмма напряжений: Начнем с \(U_{AB}\) по горизонтали. \(U_{AB} = 380 \angle 0^\circ\) В (вектор длиной 7.6 см по оси X) \(U_{BC} = 380 \angle (-120^\circ)\) В (вектор длиной 7.6 см под углом -120 градусов) \(U_{CA} = 380 \angle (120^\circ)\) В (вектор длиной 7.6 см под углом 120 градусов) Эти три вектора образуют равносторонний треугольник. Векторная диаграмма токов: Нанесем фазные токи: \(I_{AB} = 15.2 \angle (-36.87^\circ)\) А (вектор длиной 7.6 см под углом -36.87 градусов) \(I_{BC} = 15.2 \angle (-83.13^\circ)\) А (вектор длиной 7.6 см под углом -83.13 градусов) \(I_{CA} = 8.78 \angle (153.69^\circ)\) А (вектор длиной 4.39 см под углом 153.69 градусов) Затем построим линейные токи, используя правило сложения векторов: \(I_A = I_{AB} - I_{CA}\) (вектор \(I_{AB}\) плюс вектор \(-I_{CA}\)) \(I_B = I_{BC} - I_{AB}\) (вектор \(I_{BC}\) плюс вектор \(-I_{AB}\)) \(I_C = I_{CA} - I_{BC}\) (вектор \(I_{CA}\) плюс вектор \(-I_{BC}\)) Например, для \(I_A\): Нарисуйте вектор \(I_{AB}\). От конца вектора \(I_{AB}\) нарисуйте вектор \(-I_{CA}\) (это вектор \(I_{CA}\) повернутый на 180 градусов). Вектор \(I_A\) будет идти от начала \(I_{AB}\) до конца \(-I_{CA}\). Проверьте, что полученный вектор соответствует рассчитанным значениям \(I_A = 23.88 \angle (-33.01^\circ)\) А. б) Обрыв фазы AB. Векторная диаграмма напряжений: Остается такой же, как в нормальном режиме, так как линейные напряжения не меняются. \(U_{AB} = 380 \angle 0^\circ\) В \(U_{BC} = 380 \angle (-120^\circ)\) В \(U_{CA} = 380 \angle (120^\circ)\) В Векторная диаграмма токов: \(I_{AB} = 0\) А (точка в начале координат) \(I_{BC} = 15.2 \angle (-83.13^\circ)\) А (как в нормальном режиме) \(I_{CA} = 8.78 \angle (153.69^\circ)\) А (как в нормальном режиме) Линейные токи: \(I_A = -I_{CA}\) (вектор \(-I_{CA}\) будет иметь длину 4.39 см под углом \(153.69^\circ - 180^\circ = -26.31^\circ\)) \(I_B = I_{BC}\) (вектор \(I_{BC}\) будет иметь длину 7.6 см под углом -83.13 градусов) \(I_C = I_{CA} - I_{BC}\) (как в нормальном режиме) в) Обрыв линейного провода В. Векторная диаграмма напряжений: Линейные напряжения \(U_{AB}\), \(U_{BC}\), \(U_{CA}\) остаются прежними. Однако фазные напряжения на элементах приемника могут измениться. Напряжение на \(Z_{AB}\) и \(Z_{BC}\) будет равно \(U_{AC} = -U_{CA} = 380 \angle (-60^\circ)\) В. Напряжение на \(Z_{CA}\) остается \(U_{CA} = 380 \angle (120^\circ)\) В. Векторная диаграмма токов: \(I_B = 0\) А (точка в начале координат) Фазные токи: \(I_{AB} = 9.5 \angle (-60^\circ)\) А (вектор длиной 4.75 см под углом -60 градусов) \(I_{BC} = 9.5 \angle (-60^\circ)\) А (совпадает с \(I_{AB}\)) \(I_{CA} = 8.78 \angle (153.69^\circ)\) А (как в нормальном режиме) Линейные токи: \(I_A = I_{AB} - I_{CA}\) \(I_C = I_{CA} - I_{BC}\) Проверьте, что \(I_A = -I_C\). Для построения диаграмм используйте циркуль и транспортир, откладывая векторы от общего начала координат. Надеюсь, это решение поможет вам!