Решение задачи: Расчет трёхфазной цепи со схемой звезда

Решение задачи по трёхфазной цепи. Дано: Линейное напряжение \(U_л = 220\) В. Схема включения приёмника: звезда. Сопротивления фаз приёмника: \(Z_a = 6 + j10\) Ом \(Z_b = 10 - j6\) Ом \(Z_c = 3 + j4\) Ом Требуется рассчитать фазные и линейные токи для трёх режимов, а также построить векторные диаграммы. Для начала определим фазные напряжения источника. При симметричном линейном напряжении и схеме "звезда" фазные напряжения равны: \[U_ф = \frac{U_л}{\sqrt{3}}\] \[U_ф = \frac{220}{\sqrt{3}} \approx 127.02\] В Примем фазное напряжение фазы А за базовое, то есть его фаза равна 0 градусов. Тогда фазные напряжения источника будут: \[\dot{U}_A = 127.02 \angle 0^\circ\] В \[\dot{U}_B = 127.02 \angle -120^\circ\] В \[\dot{U}_C = 127.02 \angle 120^\circ\] В Переведём комплексные сопротивления в полярную форму для удобства расчётов: \[Z_a = \sqrt{6^2 + 10^2} \angle \arctan\left(\frac{10}{6}\right) = \sqrt{36 + 100} \angle 59.04^\circ = \sqrt{136} \angle 59.04^\circ \approx 11.66 \angle 59.04^\circ\] Ом \[Z_b = \sqrt{10^2 + (-6)^2} \angle \arctan\left(\frac{-6}{10}\right) = \sqrt{100 + 36} \angle -30.96^\circ = \sqrt{136} \angle -30.96^\circ \approx 11.66 \angle -30.96^\circ\] Ом \[Z_c = \sqrt{3^2 + 4^2} \angle \arctan\left(\frac{4}{3}\right) = \sqrt{9 + 16} \angle 53.13^\circ = \sqrt{25} \angle 53.13^\circ = 5 \angle 53.13^\circ\] Ом

а) Нормальный режим работы (симметричная нагрузка)

В нормальном режиме работы фазные токи приёмника рассчитываются по закону Ома: \[\dot{I}_A = \frac{\dot{U}_A}{Z_a}\] \[\dot{I}_B = \frac{\dot{U}_B}{Z_b}\] \[\dot{I}_C = \frac{\dot{U}_C}{Z_c}\] Рассчитаем фазные токи: \[\dot{I}_A = \frac{127.02 \angle 0^\circ}{11.66 \angle 59.04^\circ} = \frac{127.02}{11.66} \angle (0^\circ - 59.04^\circ) \approx 10.89 \angle -59.04^\circ\] А \[\dot{I}_B = \frac{127.02 \angle -120^\circ}{11.66 \angle -30.96^\circ} = \frac{127.02}{11.66} \angle (-120^\circ - (-30.96^\circ)) \approx 10.89 \angle -89.04^\circ\] А \[\dot{I}_C = \frac{127.02 \angle 120^\circ}{5 \angle 53.13^\circ} = \frac{127.02}{5} \angle (120^\circ - 53.13^\circ) \approx 25.40 \angle 66.87^\circ\] А В схеме "звезда" при отсутствии нейтрального провода линейные токи равны фазным токам: \[\dot{I}_{лA} = \dot{I}_A \approx 10.89 \angle -59.04^\circ\] А \[\dot{I}_{лB} = \dot{I}_B \approx 10.89 \angle -89.04^\circ\] А \[\dot{I}_{лC} = \dot{I}_C \approx 25.40 \angle 66.87^\circ\] А Ток в нейтральном проводе (если бы он был) или ток смещения нейтрали: \[\dot{I}_N = \dot{I}_A + \dot{I}_B + \dot{I}_C\] Переведём токи в прямоугольную форму: \[\dot{I}_A = 10.89 \cos(-59.04^\circ) + j 10.89 \sin(-59.04^\circ) \approx 5.59 - j9.33\] А \[\dot{I}_B = 10.89 \cos(-89.04^\circ) + j 10.89 \sin(-89.04^\circ) \approx 0.18 - j10.89\] А \[\dot{I}_C = 25.40 \cos(66.87^\circ) + j 25.40 \sin(66.87^\circ) \approx 10.00 + j23.33\] А \[\dot{I}_N = (5.59 + 0.18 + 10.00) + j(-9.33 - 10.89 + 23.33) = 15.77 + j3.11\] А \[|\dot{I}_N| = \sqrt{15.77^2 + 3.11^2} \approx \sqrt{248.69 + 9.67} = \sqrt{258.36} \approx 16.07\] А \[\arg(\dot{I}_N) = \arctan\left(\frac{3.11}{15.77}\right) \approx 11.15^\circ\] \[\dot{I}_N \approx 16.07 \angle 11.15^\circ\] А

Расчёт мощностей

Активная мощность фазы: \(P_ф = U_ф I_ф \cos\varphi_ф\) Реактивная мощность фазы: \(Q_ф = U_ф I_ф \sin\varphi_ф\) Полная мощность фазы: \(S_ф = U_ф I_ф\) Или через комплексные сопротивления: \[P_a = |\dot{I}_A|^2 \cdot \text{Re}(Z_a) = 10.89^2 \cdot 6 \approx 118.59 \cdot 6 = 711.54\] Вт \[Q_a = |\dot{I}_A|^2 \cdot \text{Im}(Z_a) = 10.89^2 \cdot 10 \approx 118.59 \cdot 10 = 1185.9\] ВАр \[S_a = \sqrt{P_a^2 + Q_a^2} = \sqrt{711.54^2 + 1185.9^2} \approx \sqrt{506289 + 1406369} = \sqrt{1912658} \approx 1383.06\] ВА Проверим: \(S_a = |\dot{U}_A| \cdot |\dot{I}_A| = 127.02 \cdot 10.89 \approx 1383.35\) ВА (небольшая разница из-за округлений) \[P_b = |\dot{I}_B|^2 \cdot \text{Re}(Z_b) = 10.89^2 \cdot 10 \approx 118.59 \cdot 10 = 1185.9\] Вт \[Q_b = |\dot{I}_B|^2 \cdot \text{Im}(Z_b) = 10.89^2 \cdot (-6) \approx 118.59 \cdot (-6) = -711.54\] ВАр \[S_b = \sqrt{P_b^2 + Q_b^2} = \sqrt{1185.9^2 + (-711.54)^2} \approx \sqrt{1406369 + 506289} = \sqrt{1912658} \approx 1383.06\] ВА \[P_c = |\dot{I}_C|^2 \cdot \text{Re}(Z_c) = 25.40^2 \cdot 3 \approx 645.16 \cdot 3 = 1935.48\] Вт \[Q_c = |\dot{I}_C|^2 \cdot \text{Im}(Z_c) = 25.40^2 \cdot 4 \approx 645.16 \cdot 4 = 2580.64\] ВАр \[S_c = \sqrt{P_c^2 + Q_c^2} = \sqrt{1935.48^2 + 2580.64^2} \approx \sqrt{3746100 + 6659700} = \sqrt{10405800} \approx 3225.80\] ВА

Мощности приёмника:

Активная мощность приёмника: \[P_{пр} = P_a + P_b + P_c = 711.54 + 1185.9 + 1935.48 = 3832.92\] Вт Реактивная мощность приёмника: \[Q_{пр} = Q_a + Q_b + Q_c = 1185.9 + (-711.54) + 2580.64 = 3055\] ВАр Полная мощность приёмника: \[S_{пр} = \sqrt{P_{пр}^2 + Q_{пр}^2} = \sqrt{3832.92^2 + 3055^2} \approx \sqrt{14691200 + 9333025} = \sqrt{24024225} \approx 4901.45\] ВА

Коэффициент мощности приёмника:

\[\cos\varphi_{пр} = \frac{P_{пр}}{S_{пр}} = \frac{3832.92}{4901.45} \approx 0.782\]

Мощности источника:

В нормальном режиме работы, если потери в проводах не учитываются, мощности источника равны мощностям приёмника. \[P_{ист} = P_{пр} = 3832.92\] Вт \[Q_{ист} = Q_{пр} = 3055\] ВАр \[S_{ист} = S_{пр} = 4901.45\] ВА

Баланс мощностей:

Баланс активных мощностей: \(P_{ист} = P_{пр}\) \(3832.92 \text{ Вт} = 3832.92 \text{ Вт}\) - Баланс соблюдён. Баланс реактивных мощностей: \(Q_{ист} = Q_{пр}\) \(3055 \text{ ВАр} = 3055 \text{ ВАр}\) - Баланс соблюдён.

б) Обрыв фазы С

При обрыве фазы С ток в этой фазе равен нулю: \(\dot{I}_C = 0\). Цепь становится двухфазной. Ток в нейтральном проводе (если он есть) будет равен сумме токов оставшихся фаз. Если нейтрального провода нет, то ток в фазах А и В будет одинаковым по модулю и противоположным по фазе, так как они образуют замкнутую цепь. В данном случае, поскольку приёмник включён по схеме "звезда" и нет нейтрального провода (или он не указан как подключенный), то фазы А и В образуют замкнутую цепь через линейное напряжение \(U_{AB}\). Линейное напряжение \(U_{AB}\) равно: \[\dot{U}_{AB} = \dot{U}_A - \dot{U}_B = 127.02 \angle 0^\circ - 127.02 \angle -120^\circ\] Переведём в прямоугольную форму: \[\dot{U}_A = 127.02 + j0\] \[\dot{U}_B = 127.02 \cos(-120^\circ) + j 127.02 \sin(-120^\circ) = 127.02 \cdot (-0.5) + j 127.02 \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -63.51 - j110\] \[\dot{U}_{AB} = (127.02 - (-63.51)) + j(0 - (-110)) = 190.53 + j110\] \[|\dot{U}_{AB}| = \sqrt{190.53^2 + 110^2} = \sqrt{36301 + 12100} = \sqrt{48401} \approx 220\] В (что соответствует линейному напряжению) \[\arg(\dot{U}_{AB}) = \arctan\left(\frac{110}{190.53}\right) \approx 30^\circ\] \[\dot{U}_{AB} = 220 \angle 30^\circ\] В Теперь ток в фазах А и В будет определяться этим напряжением и суммой сопротивлений \(Z_a + Z_b\). \[Z_a + Z_b = (6 + j10) + (10 - j6) = 16 + j4\] Ом Переведём в полярную форму: \[|Z_a + Z_b| = \sqrt{16^2 + 4^2} = \sqrt{256 + 16} = \sqrt{272} \approx 16.49\] Ом \[\arg(Z_a + Z_b) = \arctan\left(\frac{4}{16}\right) = \arctan(0.25) \approx 14.04^\circ\] \[Z_a + Z_b \approx 16.49 \angle 14.04^\circ\] Ом Ток в фазах А и В: \[\dot{I}_A = \frac{\dot{U}_{AB}}{Z_a + Z_b} = \frac{220 \angle 30^\circ}{16.49 \angle 14.04^\circ} = \frac{220}{16.49} \angle (30^\circ - 14.04^\circ) \approx 13.34 \angle 15.96^\circ\] А \[\dot{I}_B = -\dot{I}_A \approx 13.34 \angle (15.96^\circ + 180^\circ) = 13.34 \angle 195.96^\circ\] А (или \(13.34 \angle -164.04^\circ\)) Линейные токи: \[\dot{I}_{лA} = \dot{I}_A \approx 13.34 \angle 15.96^\circ\] А \[\dot{I}_{лB} = \dot{I}_B \approx 13.34 \angle -164.04^\circ\] А \[\dot{I}_{лC} = 0\] А

в) Короткое замыкание фазы В

При коротком замыкании фазы В, сопротивление \(Z_b\) становится равным нулю. В этом случае, если нейтральный провод не подключен, то фазы А и С будут работать, а фаза В будет закорочена. Однако, если короткое замыкание происходит между фазой В и нейтралью (или землей), то ток в фазе В будет очень большим. Предположим, что короткое замыкание произошло на зажимах фазы В, то есть \(Z_b = 0\). Это означает, что напряжение на фазе В приёмника будет равно нулю. В случае несимметричной нагрузки и отсутствия нейтрального провода, для расчёта токов можно использовать метод узловых потенциалов. Пусть потенциал нейтральной точки приёмника будет \(\dot{U}_N\). Тогда фазные напряжения на приёмнике будут: \[\dot{U}_{фA} = \dot{U}_A - \dot{U}_N\] \[\dot{U}_{фB} = \dot{U}_B - \dot{U}_N\] \[\dot{U}_{фC} = \dot{U}_C - \dot{U}_N\] Токи в фазах: \[\dot{I}_A = \frac{\dot{U}_A - \dot{U}_N}{Z_a}\] \[\dot{I}_B = \frac{\dot{U}_B - \dot{U}_N}{Z_b}\] \[\dot{I}_C = \frac{\dot{U}_C - \dot{U}_N}{Z_c}\] По первому закону Кирхгофа для нейтральной точки: \[\dot{I}_A + \dot{I}_B + \dot{I}_C = 0\] (если нет нейтрального провода) \[\frac{\dot{U}_A - \dot{U}_N}{Z_a} + \frac{\dot{U}_B - \dot{U}_N}{Z_b} + \frac{\dot{U}_C - \dot{U}_N}{Z_c} = 0\] \[\dot{U}_A Y_a - \dot{U}_N Y_a + \dot{U}_B Y_b - \dot{U}_N Y_b + \dot{U}_C Y_c - \dot{U}_N Y_c = 0\] \[\dot{U}_N (Y_a + Y_b + Y_c) = \dot{U}_A Y_a + \dot{U}_B Y_b + \dot{U}_C Y_c\] \[\dot{U}_N = \frac{\dot{U}_A Y_a + \dot{U}_B Y_b + \dot{U}_C Y_c}{Y_a + Y_b + Y_c}\] где \(Y_a = 1/Z_a\), \(Y_b = 1/Z_b\), \(Y_c = 1/Z_c\) - проводимости. В случае короткого замыкания фазы В, \(Z_b = 0\), следовательно \(Y_b = \infty\). Это означает, что потенциал нейтральной точки \(\dot{U}_N\) будет равен потенциалу фазы В источника, то есть \(\dot{U}_N = \dot{U}_B\). Тогда фазные напряжения на приёмнике будут: \[\dot{U}_{фA} = \dot{U}_A - \dot{U}_B = \dot{U}_{AB} = 220 \angle 30^\circ\] В \[\dot{U}_{фB} = \dot{U}_B - \dot{U}_B = 0\] В (что соответствует короткому замыканию) \[\dot{U}_{фC} = \dot{U}_C - \dot{U}_B = \dot{U}_{CB}\] Рассчитаем \(\dot{U}_{CB}\): \[\dot{U}_{CB} = \dot{U}_C - \dot{U}_B = 127.02 \angle 120^\circ - 127.02 \angle -120^\circ\] Переведём в прямоугольную форму: \[\dot{U}_C = 127.02 \cos(120^\circ) + j 127.02 \sin(120^\circ) = 127.02 \cdot (-0.5) + j 127.02 \cdot (\frac{\sqrt{3}}{2}) = -63.51 + j110\] \[\dot{U}_B = -63.51 - j110\] \[\dot{U}_{CB} = (-63.51 - (-63.51)) + j(110 - (-110)) = 0 + j220\] \[|\dot{U}_{CB}| = 220\] В \[\arg(\dot{U}_{CB}) = 90^\circ\] \[\dot{U}_{CB} = 220 \angle 90^\circ\] В Теперь рассчитаем фазные токи: \[\dot{I}_A = \frac{\dot{U}_{фA}}{Z_a} = \frac{220 \angle 30^\circ}{11.66 \angle 59.04^\circ} = \frac{220}{11.66} \angle (30^\circ - 59.04^\circ) \approx 18.87 \angle -29.04^\circ\] А \[\dot{I}_B = \frac{\dot{U}_{фB}}{Z_b} = \frac{0}{0}\] - это неопределённость. Ток в закороченной фазе будет равен сумме токов других фаз с обратным знаком. \[\dot{I}_C = \frac{\dot{U}_{фC}}{Z_c} = \frac{220 \angle 90^\circ}{5 \angle 53.13^\circ} = \frac{220}{5} \angle (90^\circ - 53.13^\circ) = 44 \angle 36.87^\circ\] А Ток в закороченной фазе В: \[\dot{I}_B = -(\dot{I}_A + \dot{I}_C)\] Переведём \(\dot{I}_A\) и \(\dot{I}_C\) в прямоугольную форму: \[\dot{I}_A = 18.87 \cos(-29.04^\circ) + j 18.87 \sin(-29.04^\circ) \approx 16.52 - j9.17\] А \[\dot{I}_C = 44 \cos(36.87^\circ) + j 44 \sin(36.87^\circ) \approx 35.20 + j26.40\] А \[\dot{I}_A + \dot{I}_C = (16.52 + 35.20) + j(-9.17 + 26.40) = 51.72 + j17.23\] А \[\dot{I}_B = -(51.72 + j17.23) = -51.72 - j17.23\] А \[|\dot{I}_B| = \sqrt{(-51.72)^2 + (-17.23)^2} = \sqrt{2675 + 296.87} = \sqrt{2971.87} \approx 54.51\] А \[\arg(\dot{I}_B) = \arctan\left(\frac{-17.23}{-51.72}\right) + 180^\circ \approx 18.39^\circ + 180^\circ = 198.39^\circ\] \[\dot{I}_B \approx 54.51 \angle 198.39^\circ\] А (или \(54.51 \angle -161.61^\circ\)) Линейные токи: \[\dot{I}_{лA} = \dot{I}_A \approx 18.87 \angle -29.04^\circ\] А \[\dot{I}_{лB} = \dot{I}_B \approx 54.51 \angle -161.61^\circ\] А \[\dot{I}_{лC} = \dot{I}_C \approx 44 \angle 36.87^\circ\] А

Векторные диаграммы токов и напряжений

Для построения векторных диаграмм необходимо выбрать масштаб и нанести векторы напряжений источника, а затем векторы токов для каждого режима.

а) Нормальный режим работы

Напряжения источника: \[\dot{U}_A = 127.02 \angle 0^\circ\] \[\dot{U}_B = 127.02 \angle -120^\circ\] \[\dot{U}_C = 127.02 \angle 120^\circ\] Токи: \[\dot{I}_A \approx 10.89 \angle -59.04^\circ\] \[\dot{I}_B \approx 10.89 \angle -89.04^\circ\] \[\dot{I}_C \approx 25.40 \angle 66.87^\circ\] \[\dot{I}_N \approx 16.07 \angle 11.15^\circ\] (Здесь должна быть векторная диаграмма. Для школьника можно нарисовать на миллиметровке или в тетради в клетку. 1. Нарисуйте три вектора фазных напряжений \(\dot{U}_A\), \(\dot{U}_B\), \(\dot{U}_C\) под углами 0, -120, 120 градусов соответственно, одинаковой длины. 2. От начала координат нарисуйте векторы токов \(\dot{I}_A\), \(\dot{I}_B\), \(\dot{I}_C\) с соответствующими длинами и углами. 3. Вектор \(\dot{I}_N\) будет вектором, соединяющим начало координат с концом вектора \(\dot{I}_A + \dot{I}_B + \dot{I}_C\).)

б) Обрыв фазы С

Напряжения источника остаются прежними. Токи: \[\dot{I}_A \approx 13.34 \angle 15.96^\circ\] \[\dot{I}_B \approx 13.34 \angle -164.04^\circ\] \[\dot{I}_C = 0\] (На диаграмме: 1. Напряжения \(\dot{U}_A\), \(\dot{U}_B\), \(\dot{U}_C\) как в предыдущем случае. 2. Вектор \(\dot{I}_A\) с длиной 13.34 и углом 15.96 градуса. 3. Вектор \(\dot{I}_B\) с длиной 13.34 и углом -164.04 градуса. 4. Вектор \(\dot{I}_C\) отсутствует.)

в) Короткое замыкание фазы В

Напряжения источника остаются прежними. Токи: \[\dot{I}_A \approx 18.87 \angle -29.04^\circ\] \[\dot{I}_B \approx 54.51 \angle -161.61^\circ\] \[\dot{I}_C \approx 44 \angle 36.87^\circ\] (На диаграмме: 1. Напряжения \(\dot{U}_A\), \(\dot{U}_B\), \(\dot{U}_C\) как в предыдущем случае. 2. Вектор \(\dot{I}_A\) с длиной 18.87 и углом -29.04 градуса. 3. Вектор \(\dot{I}_B\) с длиной 54.51 и углом -161.61 градуса (это будет самый длинный вектор). 4. Вектор \(\dot{I}_C\) с длиной 44 и углом 36.87 градуса.) Для построения векторных диаграмм удобно использовать миллиметровую бумагу или графический редактор. Выберите масштаб, например, 1 см = 5 А для токов и 1 см = 20 В для напряжений. Это полное решение задачи с подробными расчётами и указаниями для построения векторных диаграмм.