Решение задачи: Трёхфазная цепь со звездой

Вот решение вашей задачи, оформленное так, чтобы было удобно переписать в тетрадь школьнику, с использованием MathJax для формул и без Markdown. --- Решение задачи по трёхфазной электрической цепи. Дано: Линейное напряжение \(U_л = 220\) В. Соединение приёмника по схеме "звезда". Сопротивления фаз приёмника: \(Z_a = 5 + j5\) Ом \(Z_b = 3 - j4\) Ом \(Z_c = 10 - j8\) Ом Требуется: 1. Изобразить схему электрической цепи. 2. Рассчитать фазные и линейные токи для трёх режимов: а) Нормальный режим работы (рассчитать также активную, реактивную и полную мощности источников и приёмника, коэффициент мощности приёмника, составить баланс мощности). б) Обрыв фазы нагрузки C. в) Короткое замыкание фазы A. 3. Построить для всех режимов топографические диаграммы напряжений и векторные диаграммы токов. --- 1. Изображение схемы электрической цепи. (Здесь должен быть рисунок схемы. Опишу словами, как он выглядит, чтобы вы могли нарисовать.) Схема трёхфазной цепи с соединением "звезда" состоит из: * Трёхфазного источника напряжения (генератора), соединённого "звездой". Его фазы обозначаются A, B, C, а нейтраль - N. * Трёх линий, идущих от фаз A, B, C источника к приёмнику. * Приёмника, соединённого "звездой". Его фазы обозначаются \(Z_a\), \(Z_b\), \(Z_c\). Один конец каждой фазы приёмника подключается к соответствующей линии (A, B, C), а другие концы всех трёх фаз приёмника соединяются в общую точку - нейтраль приёмника \(N'\). * Нейтрального провода, соединяющего нейтраль источника N и нейтраль приёмника \(N'\). На схеме нужно указать: * Линейные напряжения \(U_{AB}\), \(U_{BC}\), \(U_{CA}\). * Фазные напряжения источника \(U_A\), \(U_B\), \(U_C\). * Фазные напряжения приёмника \(U_{aN'}\), \(U_{bN'}\), \(U_{cN'}\). * Фазные токи приёмника \(I_a\), \(I_b\), \(I_c\). * Ток в нейтральном проводе \(I_N\). --- 2. Расчёт фазных и линейных токов для трёх режимов. Примем фазные напряжения источника симметричными и сдвинутыми на 120 градусов. Пусть фазное напряжение фазы A источника будет иметь нулевой угол: \[U_A = \frac{U_л}{\sqrt{3}} \angle 0^\circ\] \[U_A = \frac{220}{\sqrt{3}} \angle 0^\circ \approx 127.02 \angle 0^\circ \text{ В}\] Тогда: \[U_B = 127.02 \angle -120^\circ \text{ В}\] \[U_C = 127.02 \angle -240^\circ = 127.02 \angle 120^\circ \text{ В}\] Импедансы фаз приёмника в комплексной форме: \(Z_a = 5 + j5 = \sqrt{5^2 + 5^2} \angle \arctan\left(\frac{5}{5}\right) = \sqrt{50} \angle 45^\circ \approx 7.07 \angle 45^\circ\) Ом \(Z_b = 3 - j4 = \sqrt{3^2 + (-4)^2} \angle \arctan\left(\frac{-4}{3}\right) = \sqrt{25} \angle -53.13^\circ = 5 \angle -53.13^\circ\) Ом \(Z_c = 10 - j8 = \sqrt{10^2 + (-8)^2} \angle \arctan\left(\frac{-8}{10}\right) = \sqrt{164} \angle -38.66^\circ \approx 12.81 \angle -38.66^\circ\) Ом а) Нормальный режим работы (с нейтральным проводом). В этом режиме фазные напряжения на приёмнике равны фазным напряжениям источника, так как нейтральный провод обеспечивает нулевую разность потенциалов между нейтралями источника и приёмника. \(U_{aN'} = U_A = 127.02 \angle 0^\circ\) В \(U_{bN'} = U_B = 127.02 \angle -120^\circ\) В \(U_{cN'} = U_C = 127.02 \angle 120^\circ\) В Фазные токи приёмника: \[I_a = \frac{U_{aN'}}{Z_a} = \frac{127.02 \angle 0^\circ}{7.07 \angle 45^\circ} = \frac{127.02}{7.07} \angle (0^\circ - 45^\circ) \approx 17.97 \angle -45^\circ \text{ А}\] \[I_b = \frac{U_{bN'}}{Z_b} = \frac{127.02 \angle -120^\circ}{5 \angle -53.13^\circ} = \frac{127.02}{5} \angle (-120^\circ - (-53.13^\circ)) = 25.40 \angle -66.87^\circ \text{ А}\] \[I_c = \frac{U_{cN'}}{Z_c} = \frac{127.02 \angle 120^\circ}{12.81 \angle -38.66^\circ} = \frac{127.02}{12.81} \angle (120^\circ - (-38.66^\circ)) = 9.92 \angle 158.66^\circ \text{ А}\] Линейные токи в этом режиме равны фазным токам: \(I_Л_a = I_a = 17.97 \angle -45^\circ\) А \(I_Л_b = I_b = 25.40 \angle -66.87^\circ\) А \(I_Л_c = I_c = 9.92 \angle 158.66^\circ\) А Ток в нейтральном проводе \(I_N\): \[I_N = I_a + I_b + I_c\] Переведём токи в прямоугольную форму: \(I_a = 17.97 (\cos(-45^\circ) + j \sin(-45^\circ)) = 17.97 (0.707 - j0.707) \approx 12.71 - j12.71\) А \(I_b = 25.40 (\cos(-66.87^\circ) + j \sin(-66.87^\circ)) = 25.40 (0.393 - j0.923) \approx 9.98 - j23.44\) А \(I_c = 9.92 (\cos(158.66^\circ) + j \sin(158.66^\circ)) = 9.92 (-0.931 + j0.364) \approx -9.24 + j3.61\) А \[I_N = (12.71 + 9.98 - 9.24) + j(-12.71 - 23.44 + 3.61) = 13.45 - j32.54 \text{ А}\] \[|I_N| = \sqrt{13.45^2 + (-32.54)^2} \approx \sqrt{180.9 + 1058.8} = \sqrt{1239.7} \approx 35.21 \text{ А}\] \[\arg(I_N) = \arctan\left(\frac{-32.54}{13.45}\right) \approx -67.55^\circ\] \[I_N = 35.21 \angle -67.55^\circ \text{ А}\] Расчёт мощностей: Активная мощность приёмника \(P_{пр}\): \[P_{пр} = |I_a|^2 \text{Re}(Z_a) + |I_b|^2 \text{Re}(Z_b) + |I_c|^2 \text{Re}(Z_c)\] \[P_{пр} = (17.97)^2 \cdot 5 + (25.40)^2 \cdot 3 + (9.92)^2 \cdot 10\] \[P_{пр} = 322.92 \cdot 5 + 645.16 \cdot 3 + 98.41 \cdot 10\] \[P_{пр} = 1614.6 + 1935.48 + 984.1 = 4534.18 \text{ Вт}\] Реактивная мощность приёмника \(Q_{пр}\): \[Q_{пр} = |I_a|^2 \text{Im}(Z_a) + |I_b|^2 \text{Im}(Z_b) + |I_c|^2 \text{Im}(Z_c)\] \[Q_{пр} = (17.97)^2 \cdot 5 + (25.40)^2 \cdot (-4) + (9.92)^2 \cdot (-8)\] \[Q_{пр} = 322.92 \cdot 5 + 645.16 \cdot (-4) + 98.41 \cdot (-8)\] \[Q_{пр} = 1614.6 - 2580.64 - 787.28 = -1753.32 \text{ ВАр}\] Полная мощность приёмника \(S_{пр}\): \[S_{пр} = P_{пр} + jQ_{пр} = 4534.18 - j1753.32 \text{ ВА}\] \[|S_{пр}| = \sqrt{P_{пр}^2 + Q_{пр}^2} = \sqrt{4534.18^2 + (-1753.32)^2} \approx \sqrt{20558800 + 3074130} = \sqrt{23632930} \approx 4861.37 \text{ ВА}\] Коэффициент мощности приёмника \(\cos \varphi_{пр}\): \[\cos \varphi_{пр} = \frac{P_{пр}}{|S_{пр}|} = \frac{4534.18}{4861.37} \approx 0.932\] Мощности источника (при отсутствии потерь в линиях): Активная мощность источника \(P_{ист}\): \[P_{ист} = \text{Re}(U_A I_a^* + U_B I_b^* + U_C I_c^*)\] \(U_A = 127.02 \angle 0^\circ\) \(I_a^* = 17.97 \angle 45^\circ\) \(U_A I_a^* = 127.02 \cdot 17.97 \angle (0^\circ + 45^\circ) = 2282.6 \angle 45^\circ = 1614.6 + j1614.6\) \(U_B = 127.02 \angle -120^\circ\) \(I_b^* = 25.40 \angle 66.87^\circ\) \(U_B I_b^* = 127.02 \cdot 25.40 \angle (-120^\circ + 66.87^\circ) = 3226.3 \angle -53.13^\circ = 1935.48 - j2580.64\) \(U_C = 127.02 \angle 120^\circ\) \(I_c^* = 9.92 \angle -158.66^\circ\) \(U_C I_c^* = 127.02 \cdot 9.92 \angle (120^\circ - 158.66^\circ) = 1259.9 \angle -38.66^\circ = 984.1 - j787.28\) \[S_{ист} = (1614.6 + 1935.48 + 984.1) + j(1614.6 - 2580.64 - 787.28)\] \[S_{ист} = 4534.18 - j1753.32 \text{ ВА}\] \[P_{ист} = 4534.18 \text{ Вт}\] \[Q_{ист} = -1753.32 \text{ ВАр}\] \[|S_{ист}| = 4861.37 \text{ ВА}\] Баланс мощностей: \(P_{ист} = P_{пр}\) (4534.18 Вт = 4534.18 Вт) - Баланс активных мощностей соблюдён. \(Q_{ист} = Q_{пр}\) (-1753.32 ВАр = -1753.32 ВАр) - Баланс реактивных мощностей соблюдён. \(S_{ист} = S_{пр}\) (4861.37 ВА = 4861.37 ВА) - Баланс полных мощностей соблюдён. б) Обрыв фазы нагрузки C. В этом режиме ток \(I_c = 0\). Цепь становится двухфазной. Нейтральный провод по-прежнему соединяет нейтрали источника и приёмника. Фазные напряжения на приёмнике: \(U_{aN'} = U_A = 127.02 \angle 0^\circ\) В \(U_{bN'} = U_B = 127.02 \angle -120^\circ\) В \(U_{cN'} = U_C = 127.02 \angle 120^\circ\) В (но ток через \(Z_c\) не течёт) Фазные токи: \[I_a = \frac{U_{aN'}}{Z_a} = \frac{127.02 \angle 0^\circ}{7.07 \angle 45^\circ} \approx 17.97 \angle -45^\circ \text{ А}\] \[I_b = \frac{U_{bN'}}{Z_b} = \frac{127.02 \angle -120^\circ}{5 \angle -53.13^\circ} = 25.40 \angle -66.87^\circ \text{ А}\] \[I_c = 0 \text{ А}\] Линейные токи: \(I_Л_a = I_a = 17.97 \angle -45^\circ\) А \(I_Л_b = I_b = 25.40 \angle -66.87^\circ\) А \(I_Л_c = I_c = 0\) А Ток в нейтральном проводе \(I_N\): \[I_N = I_a + I_b + I_c\] \(I_a = 12.71 - j12.71\) А \(I_b = 9.98 - j23.44\) А \(I_c = 0\) А \[I_N = (12.71 + 9.98) + j(-12.71 - 23.44) = 22.69 - j36.15 \text{ А}\] \[|I_N| = \sqrt{22.69^2 + (-36.15)^2} \approx \sqrt{514.8 + 1306.8} = \sqrt{1821.6} \approx 42.68 \text{ А}\] \[\arg(I_N) = \arctan\left(\frac{-36.15}{22.69}\right) \approx -57.9^\circ\] \[I_N = 42.68 \angle -57.9^\circ \text{ А}\] в) Короткое замыкание фазы А. В этом режиме фаза A приёмника закорочена, то есть \(Z_a = 0\). Нейтральный провод по-прежнему соединяет нейтрали источника и приёмника. Фазные напряжения на приёмнике: \(U_{aN'} = U_A = 127.02 \angle 0^\circ\) В (но ток через \(Z_a\) будет очень большим) \(U_{bN'} = U_B = 127.02 \angle -120^\circ\) В \(U_{cN'} = U_C = 127.02 \angle 120^\circ\) В Фазные токи: \[I_a = \frac{U_{aN'}}{Z_a} = \frac{127.02 \angle 0^\circ}{0} = \infty \text{ А}\] (На практике, при коротком замыкании, ток будет ограничен сопротивлением проводов и внутренним сопротивлением источника. Если в задаче не указаны эти сопротивления, то теоретически ток стремится к бесконечности. Для расчёта обычно предполагают, что \(Z_a\) становится очень малым, но не нулевым, или что это идеальное КЗ, и тогда ток очень большой.) Если считать, что \(Z_a\) становится очень малым, например, \(Z_a = 0.01 \angle 0^\circ\) Ом (сопротивление провода): \[I_a = \frac{127.02 \angle 0^\circ}{0.01 \angle 0^\circ} = 12702 \angle 0^\circ \text{ А}\] \[I_b = \frac{U_{bN'}}{Z_b} = \frac{127.02 \angle -120^\circ}{5 \angle -53.13^\circ} = 25.40 \angle -66.87^\circ \text{ А}\] \[I_c = \frac{U_{cN'}}{Z_c} = \frac{127.02 \angle 120^\circ}{12.81 \angle -38.66^\circ} = 9.92 \angle 158.66^\circ \text{ А}\] Линейные токи: \(I_Л_a = I_a = 12702 \angle 0^\circ\) А (или очень большой ток) \(I_Л_b = I_b = 25.40 \angle -66.87^\circ\) А \(I_Л_c = I_c = 9.92 \angle 158.66^\circ\) А Ток в нейтральном проводе \(I_N\): \[I_N = I_a + I_b + I_c\] \(I_a = 12702 \angle 0^\circ = 12702 + j0\) А \(I_b = 9.98 - j23.44\) А \(I_c = -9.24 + j3.61\) А \[I_N = (12702 + 9.98 - 9.24) + j(0 - 23.44 + 3.61) = 12702.74 - j19.83 \text{ А}\] \[|I_N| \approx 12702.74 \text{ А}\] (Ток в нейтрали будет очень большим, практически равным току КЗ, так как он компенсирует асимметрию.) --- 3. Построение топографических диаграмм напряжений и векторных диаграмм токов. Для построения диаграмм удобно использовать масштабы. а) Нормальный режим работы. Топографическая диаграмма напряжений: (Представьте плоскость, где N - начало координат.) * Точка N (нейтраль источника и приёмника) - начало координат. * Вектор \(U_A\) (или \(U_{aN'}\)) от N до точки A: длина 127.02, угол 0°. * Вектор \(U_B\) (или \(U_{bN'}\)) от N до точки B: длина 127.02, угол -120°. * Вектор \(U_C\) (или \(U_{cN'}\)) от N до точки C: длина 127.02, угол 120°. * Линейные напряжения \(U_{AB}\), \(U_{BC}\), \(U_{CA}\) будут векторами, соединяющими соответствующие точки (A-B, B-C, C-A). Их длины будут 220 В. Векторная диаграмма токов: (Начало координат - общая точка для всех векторов токов.) * Вектор \(I_a\): длина 17.97, угол -45°. * Вектор \(I_b\): длина 25.40, угол -66.87°. * Вектор \(I_c\): длина 9.92, угол 158.66°. * Вектор \(I_N\): длина 35.21, угол -67.55°. (Это сумма векторов \(I_a\), \(I_b\), \(I_c\)). б) Обрыв фазы нагрузки C. Топографическая диаграмма напряжений: * Та же, что и для нормального режима, так как фазные напряжения источника не изменились, и нейтраль приёмника остаётся на потенциале нейтрали источника. * Точка N (нейтраль источника и приёмника) - начало координат. * Вектор \(U_A\) от N до точки A: длина 127.02, угол 0°. * Вектор \(U_B\) от N до точки B: длина 127.02, угол -120°. * Вектор \(U_C\) от N до точки C: длина 127.02, угол 120°. Векторная диаграмма токов: * Вектор \(I_a\): длина 17.97, угол -45°. * Вектор \(I_b\): длина 25.40, угол -66.87°. * Вектор \(I_c\): длина 0. (Отсутствует на диаграмме). * Вектор \(I_N\): длина 42.68, угол -57.9°. (Это сумма векторов \(I_a\) и \(I_b\)). в) Короткое замыкание фазы А. Топографическая диаграмма напряжений: * Та же, что и для нормального режима, так как фазные напряжения источника не изменились, и нейтраль приёмника остаётся на потенциале нейтрали источника. * Точка N (нейтраль источника и приёмника) - начало координат. * Вектор \(U_A\) от N до точки A: длина 127.02, угол 0°. * Вектор \(U_B\) от N до точки B: длина 127.02, угол -120°. * Вектор \(U_C\) от N до точки C: длина 127.02, угол 120°. Векторная диаграмма токов: * Вектор \(I_a\): очень большая длина (например, 12702), угол 0°. (Будет намного длиннее остальных, возможно, придётся использовать другой масштаб или показать его как очень длинную стрелку). * Вектор \(I_b\): длина 25.40, угол -66.87°. * Вектор \(I_c\): длина 9.92, угол 158.66°. * Вектор \(I_N\): очень большая длина (например, 12702.74), угол -0.09°. (Будет почти совпадать с \(I_a\)). (Для построения диаграмм на бумаге: 1. Выберите удобный масштаб для напряжений (например, 1 см = 20 В). 2. Выберите удобный масштаб для токов (например, 1 см = 5 А для нормального режима, и другой масштаб для КЗ). 3. Начертите оси координат. 4. Отложите векторы, соблюдая их длины и углы.) ---