Решение задачи по трехфазной цепи со звездой

Хорошо, я учёл ваше уточнение по поводу режима короткого замыкания в четырёхпроводной цепи. Теперь режим "в) к.з. фазы А" будет рассчитан при одновременном обрыве нулевого провода. --- Решение задачи по трёхфазной электрической цепи. Дано: Линейное напряжение \(U_л = 220\) В. Соединение приёмника по схеме "звезда". Сопротивления фаз приёмника: \(Z_a = 5 + j5\) Ом \(Z_b = 3 - j4\) Ом \(Z_c = 10 - j8\) Ом Требуется: 1. Изобразить схему электрической цепи. 2. Рассчитать фазные и линейные токи для трёх режимов: а) Нормальный режим работы (для нормального режима работы рассчитать также активную, реактивную и полную мощности источников и приёмника, коэффициент мощности приёмника, составить баланс мощности). б) Обрыв фазы нагрузки C. в) Короткое замыкание фазы A при одновременном обрыве нулевого провода. 3. Построить для всех режимов топографические диаграммы напряжений и векторные диаграммы токов. --- 1. Изображение схемы электрической цепи. (Здесь должен быть рисунок схемы. Опишу словами, как он выглядит, чтобы вы могли нарисовать.) Схема четырёхпроводной трёхфазной цепи с соединением "звезда" состоит из: * Трёхфазного источника напряжения (генератора), соединённого "звездой". Его фазы обозначаются A, B, C, а нейтраль - N. * Трёх фазных линий, идущих от фаз A, B, C источника к приёмнику. * Приёмника, соединённого "звездой". Его фазы обозначаются \(Z_a\), \(Z_b\), \(Z_c\). Один конец каждой фазы приёмника подключается к соответствующей фазной линии (A, B, C), а другие концы всех трёх фаз приёмника соединяются в общую точку - нейтраль приёмника \(N'\). * Нейтрального (нулевого) провода, соединяющего нейтраль источника N и нейтраль приёмника \(N'\). На схеме нужно указать: * Линейные напряжения \(U_{AB}\), \(U_{BC}\), \(U_{CA}\). * Фазные напряжения источника \(U_A\), \(U_B\), \(U_C\). * Фазные напряжения приёмника \(U_{aN'}\), \(U_{bN'}\), \(U_{cN'}\). * Фазные токи приёмника \(I_a\), \(I_b\), \(I_c\). * Ток в нейтральном проводе \(I_N\). --- 2. Расчёт фазных и линейных токов для трёх режимов. Примем фазные напряжения источника симметричными и сдвинутыми на 120 градусов. Пусть фазное напряжение фазы A источника будет иметь нулевой угол: \[U_A = \frac{U_л}{\sqrt{3}} \angle 0^\circ\] \[U_A = \frac{220}{\sqrt{3}} \angle 0^\circ \approx 127.02 \angle 0^\circ \text{ В}\] Тогда: \[U_B = 127.02 \angle -120^\circ \text{ В}\] \[U_C = 127.02 \angle -240^\circ = 127.02 \angle 120^\circ \text{ В}\] Импедансы фаз приёмника в комплексной форме: \(Z_a = 5 + j5 = \sqrt{5^2 + 5^2} \angle \arctan\left(\frac{5}{5}\right) = \sqrt{50} \angle 45^\circ \approx 7.07 \angle 45^\circ\) Ом \(Z_b = 3 - j4 = \sqrt{3^2 + (-4)^2} \angle \arctan\left(\frac{-4}{3}\right) = \sqrt{25} \angle -53.13^\circ = 5 \angle -53.13^\circ\) Ом \(Z_c = 10 - j8 = \sqrt{10^2 + (-8)^2} \angle \arctan\left(\frac{-8}{10}\right) = \sqrt{164} \angle -38.66^\circ \approx 12.81 \angle -38.66^\circ\) Ом а) Нормальный режим работы (с нейтральным проводом). В этом режиме фазные напряжения на приёмнике равны фазным напряжениям источника, так как нейтральный провод обеспечивает нулевую разность потенциалов между нейтралями источника и приёмника. \(U_{aN'} = U_A = 127.02 \angle 0^\circ\) В \(U_{bN'} = U_B = 127.02 \angle -120^\circ\) В \(U_{cN'} = U_C = 127.02 \angle 120^\circ\) В Фазные токи приёмника: \[I_a = \frac{U_{aN'}}{Z_a} = \frac{127.02 \angle 0^\circ}{7.07 \angle 45^\circ} = \frac{127.02}{7.07} \angle (0^\circ - 45^\circ) \approx 17.97 \angle -45^\circ \text{ А}\] \[I_b = \frac{U_{bN'}}{Z_b} = \frac{127.02 \angle -120^\circ}{5 \angle -53.13^\circ} = \frac{127.02}{5} \angle (-120^\circ - (-53.13^\circ)) = 25.40 \angle -66.87^\circ \text{ А}\] \[I_c = \frac{U_{cN'}}{Z_c} = \frac{127.02 \angle 120^\circ}{12.81 \angle -38.66^\circ} = \frac{127.02}{12.81} \angle (120^\circ - (-38.66^\circ)) = 9.92 \angle 158.66^\circ \text{ А}\] Линейные токи в этом режиме равны фазным токам: \(I_Л_a = I_a = 17.97 \angle -45^\circ\) А \(I_Л_b = I_b = 25.40 \angle -66.87^\circ\) А \(I_Л_c = I_c = 9.92 \angle 158.66^\circ\) А Ток в нейтральном проводе \(I_N\): \[I_N = I_a + I_b + I_c\] Переведём токи в прямоугольную форму: \(I_a = 17.97 (\cos(-45^\circ) + j \sin(-45^\circ)) = 17.97 (0.707 - j0.707) \approx 12.71 - j12.71\) А \(I_b = 25.40 (\cos(-66.87^\circ) + j \sin(-66.87^\circ)) = 25.40 (0.393 - j0.923) \approx 9.98 - j23.44\) А \(I_c = 9.92 (\cos(158.66^\circ) + j \sin(158.66^\circ)) = 9.92 (-0.931 + j0.364) \approx -9.24 + j3.61\) А \[I_N = (12.71 + 9.98 - 9.24) + j(-12.71 - 23.44 + 3.61) = 13.45 - j32.54 \text{ А}\] \[|I_N| = \sqrt{13.45^2 + (-32.54)^2} \approx \sqrt{180.9 + 1058.8} = \sqrt{1239.7} \approx 35.21 \text{ А}\] \[\arg(I_N) = \arctan\left(\frac{-32.54}{13.45}\right) \approx -67.55^\circ\] \[I_N = 35.21 \angle -67.55^\circ \text{ А}\] Расчёт мощностей: Активная мощность приёмника \(P_{пр}\): \[P_{пр} = |I_a|^2 \text{Re}(Z_a) + |I_b|^2 \text{Re}(Z_b) + |I_c|^2 \text{Re}(Z_c)\] \[P_{пр} = (17.97)^2 \cdot 5 + (25.40)^2 \cdot 3 + (9.92)^2 \cdot 10\] \[P_{пр} = 322.92 \cdot 5 + 645.16 \cdot 3 + 98.41 \cdot 10\] \[P_{пр} = 1614.6 + 1935.48 + 984.1 = 4534.18 \text{ Вт}\] Реактивная мощность приёмника \(Q_{пр}\): \[Q_{пр} = |I_a|^2 \text{Im}(Z_a) + |I_b|^2 \text{Im}(Z_b) + |I_c|^2 \text{Im}(Z_c)\] \[Q_{пр} = (17.97)^2 \cdot 5 + (25.40)^2 \cdot (-4) + (9.92)^2 \cdot (-8)\] \[Q_{пр} = 322.92 \cdot 5 + 645.16 \cdot (-4) + 98.41 \cdot (-8)\] \[Q_{пр} = 1614.6 - 2580.64 - 787.28 = -1753.32 \text{ ВАр}\] Полная мощность приёмника \(S_{пр}\): \[S_{пр} = P_{пр} + jQ_{пр} = 4534.18 - j1753.32 \text{ ВА}\] \[|S_{пр}| = \sqrt{P_{пр}^2 + Q_{пр}^2} = \sqrt{4534.18^2 + (-1753.32)^2} \approx \sqrt{20558800 + 3074130} = \sqrt{23632930} \approx 4861.37 \text{ ВА}\] Коэффициент мощности приёмника \(\cos \varphi_{пр}\): \[\cos \varphi_{пр} = \frac{P_{пр}}{|S_{пр}|} = \frac{4534.18}{4861.37} \approx 0.932\] Мощности источника (при отсутствии потерь в линиях): Активная мощность источника \(P_{ист}\): \[P_{ист} = \text{Re}(U_A I_a^* + U_B I_b^* + U_C I_c^*)\] \(U_A = 127.02 \angle 0^\circ\) \(I_a^* = 17.97 \angle 45^\circ\) \(U_A I_a^* = 127.02 \cdot 17.97 \angle (0^\circ + 45^\circ) = 2282.6 \angle 45^\circ = 1614.6 + j1614.6\) \(U_B = 127.02 \angle -120^\circ\) \(I_b^* = 25.40 \angle 66.87^\circ\) \(U_B I_b^* = 127.02 \cdot 25.40 \angle (-120^\circ + 66.87^\circ) = 3226.3 \angle -53.13^\circ = 1935.48 - j2580.64\) \(U_C = 127.02 \angle 120^\circ\) \(I_c^* = 9.92 \angle -158.66^\circ\) \(U_C I_c^* = 127.02 \cdot 9.92 \angle (120^\circ - 158.66^\circ) = 1259.9 \angle -38.66^\circ = 984.1 - j787.28\) \[S_{ист} = (1614.6 + 1935.48 + 984.1) + j(1614.6 - 2580.64 - 787.28)\] \[S_{ист} = 4534.18 - j1753.32 \text{ ВА}\] \[P_{ист} = 4534.18 \text{ Вт}\] \[Q_{ист} = -1753.32 \text{ ВАр}\] \[|S_{ист}| = 4861.37 \text{ ВА}\] Баланс мощностей: \(P_{ист} = P_{пр}\) (4534.18 Вт = 4534.18 Вт) - Баланс активных мощностей соблюдён. \(Q_{ист} = Q_{пр}\) (-1753.32 ВАр = -1753.32 ВАр) - Баланс реактивных мощностей соблюдён. \(S_{ист} = S_{пр}\) (4861.37 ВА = 4861.37 ВА) - Баланс полных мощностей соблюдён. б) Обрыв фазы нагрузки C. В этом режиме ток \(I_c = 0\). Цепь становится двухфазной. Нейтральный провод по-прежнему соединяет нейтрали источника и приёмника. Фазные напряжения на приёмнике: \(U_{aN'} = U_A = 127.02 \angle 0^\circ\) В \(U_{bN'} = U_B = 127.02 \angle -120^\circ\) В \(U_{cN'} = U_C = 127.02 \angle 120^\circ\) В (но ток через \(Z_c\) не течёт) Фазные токи: \[I_a = \frac{U_{aN'}}{Z_a} = \frac{127.02 \angle 0^\circ}{7.07 \angle 45^\circ} \approx 17.97 \angle -45^\circ \text{ А}\] \[I_b = \frac{U_{bN'}}{Z_b} = \frac{127.02 \angle -120^\circ}{5 \angle -53.13^\circ} = 25.40 \angle -66.87^\circ \text{ А}\] \[I_c = 0 \text{ А}\] Линейные токи: \(I_Л_a = I_a = 17.97 \angle -45^\circ\) А \(I_Л_b = I_b = 25.40 \angle -66.87^\circ\) А \(I_Л_c = I_c = 0\) А Ток в нейтральном проводе \(I_N\): \[I_N = I_a + I_b + I_c\] \(I_a = 12.71 - j12.71\) А \(I_b = 9.98 - j23.44\) А \(I_c = 0\) А \[I_N = (12.71 + 9.98) + j(-12.71 - 23.44) = 22.69 - j36.15 \text{ А}\] \[|I_N| = \sqrt{22.69^2 + (-36.15)^2} \approx \sqrt{514.8 + 1306.8} = \sqrt{1821.6} \approx 42.68 \text{ А}\] \[\arg(I_N) = \arctan\left(\frac{-36.15}{22.69}\right) \approx -57.9^\circ\] \[I_N = 42.68 \angle -57.9^\circ \text{ А}\] в) Короткое замыкание фазы А при одновременном обрыве нулевого провода. В этом режиме: 1. Фаза A закорочена, то есть \(Z_a = 0\). 2. Нейтральный провод оборван, то есть \(I_N = 0\). Так как нейтральный провод оборван, нейтраль приёмника \(N'\) не связана с нейтралью источника N. Произойдёт смещение нейтрали. Применяем метод узловых потенциалов. Потенциал нейтрали источника N примем за 0. Тогда потенциалы фаз источника: \(U_A = 127.02 \angle 0^\circ\) В \(U_B = 127.02 \angle -120^\circ\) В \(U_C = 127.02 \angle 120^\circ\) В Пусть потенциал нейтрали приёмника \(N'\) будет \(U_{N'}\). Токи в фазах приёмника: \[I_a = \frac{U_A - U_{N'}}{Z_a}\] \[I_b = \frac{U_B - U_{N'}}{Z_b}\] \[I_c = \frac{U_C - U_{N'}}{Z_c}\] По первому закону Кирхгофа для узла \(N'\) (так как \(I_N = 0\)): \[I_a + I_b + I_c = 0\] \[\frac{U_A - U_{N'}}{Z_a} + \frac{U_B - U_{N'}}{Z_b} + \frac{U_C - U_{N'}}{Z_c} = 0\] \[U_A Y_a + U_B Y_b + U_C Y_c - U_{N'}(Y_a + Y_b + Y_c) = 0\] Где \(Y_a = 1/Z_a\), \(Y_b = 1/Z_b\), \(Y_c = 1/Z_c\) - проводимости фаз. В нашем случае, фаза A закорочена, то есть \(Z_a = 0\). Это означает, что \(Y_a = 1/0 = \infty\). Такая ситуация приводит к тому, что потенциал \(U_{N'}\) будет равен потенциалу фазы A, то есть \(U_{N'} = U_A\). (Поскольку \(Z_a = 0\), то \(U_A - U_{N'} = I_a \cdot Z_a = I_a \cdot 0 = 0\), следовательно \(U_{N'} = U_A\)). Итак, потенциал нейтрали приёмника \(N'\) смещается к потенциалу фазы A: \[U_{N'} = U_A = 127.02 \angle 0^\circ \text{ В}\] Теперь рассчитаем фазные напряжения на приёмнике: \[U_{aN'} = U_A - U_{N'} = U_A - U_A = 0 \text{ В}\] (Это логично, так как фаза A закорочена, напряжение на ней равно нулю.) \[U_{bN'} = U_B - U_{N'} = U_B - U_A\] \[U_{bN'} = 127.02 \angle -120^\circ - 127.02 \angle 0^\circ\] Переведём в прямоугольную форму: \(U_B = 127.02 (\cos(-120^\circ) + j \sin(-120^\circ)) = 127.02 (-0.5 - j0.866) = -63.51 - j110\) В \(U_A = 127.02 + j0\) В \[U_{bN'} = (-63.51 - j110) - (127.02 + j0) = -190.53 - j110 \text{ В}\] \[|U_{bN'}| = \sqrt{(-190.53)^2 + (-110)^2} \approx \sqrt{36300 + 12100} = \sqrt{48400} \approx 220 \text{ В}\] \[\arg(U_{bN'}) = \arctan\left(\frac{-110}{-190.53}\right) + 180^\circ \approx 30^\circ + 180^\circ = 210^\circ = -150^\circ\] \[U_{bN'} = 220 \angle -150^\circ \text{ В}\] (Это линейное напряжение \(U_{BA}\), что логично, так как фаза A закорочена, и фаза B теперь подключена между B и A.) \[U_{cN'} = U_C - U_{N'} = U_C - U_A\] \[U_{cN'} = 127.02 \angle 120^\circ - 127.02 \angle 0^\circ\] Переведём в прямоугольную форму: \(U_C = 127.02 (\cos(120^\circ) + j \sin(120^\circ)) = 127.02 (-0.5 + j0.866) = -63.51 + j110\) В \(U_A = 127.02 + j0\) В \[U_{cN'} = (-63.51 + j110) - (127.02 + j0) = -190.53 + j110 \text{ В}\] \[|U_{cN'}| = \sqrt{(-190.53)^2 + (110)^2} \approx \sqrt{36300 + 12100} = \sqrt{48400} \approx 220 \text{ В}\] \[\arg(U_{cN'}) = \arctan\left(\frac{110}{-190.53}\right) + 180^\circ \approx -30^\circ + 180^\circ = 150^\circ\] \[U_{cN'} = 220 \angle 150^\circ \text{ В}\] (Это линейное напряжение \(U_{CA}\), что также логично.) Теперь рассчитаем фазные токи: \[I_a = \frac{U_{aN'}}{Z_a} = \frac{0}{0} \text{ (неопределённость, но ток будет очень большим)}\] В реальности, ток КЗ ограничен сопротивлением проводов и источника. Если мы считаем идеальное КЗ, то \(I_a\) стремится к бесконечности. Однако, если мы используем уравнение \(I_a + I_b + I_c = 0\), то \(I_a = -(I_b + I_c)\). \[I_b = \frac{U_{bN'}}{Z_b} = \frac{220 \angle -150^\circ}{5 \angle -53.13^\circ} = \frac{220}{5} \angle (-150^\circ - (-53.13^\circ)) = 44 \angle -96.87^\circ \text{ А}\] \[I_c = \frac{U_{cN'}}{Z_c} = \frac{220 \angle 150^\circ}{12.81 \angle -38.66^\circ} = \frac{220}{12.81} \angle (150^\circ - (-38.66^\circ)) = 17.17 \angle 188.66^\circ \text{ А}\] (Угол \(188.66^\circ\) можно записать как \(188.66^\circ - 360^\circ = -171.34^\circ\)) \[I_c = 17.17 \angle -171.34^\circ \text{ А}\] Теперь найдём ток \(I_a\) из условия \(I_a + I_b + I_c = 0\): \[I_a = -(I_b + I_c)\] Переведём \(I_b\) и \(I_c\) в прямоугольную форму: \(I_b = 44 (\cos(-96.87^\circ) + j \sin(-96.87^\circ)) = 44 (-0.119 - j0.993) \approx -5.24 - j43.69\) А \(I_c = 17.17 (\cos(-171.34^\circ) + j \sin(-171.34^\circ)) = 17.17 (-0.988 - j0.150) \approx -16.97 - j2.58\) А \[I_b + I_c = (-5.24 - 16.97) + j(-43.69 - 2.58) = -22.21 - j46.27 \text{ А}\] \[I_a = -(-22.21 - j46.27) = 22.21 + j46.27 \text{ А}\] \[|I_a| = \sqrt{22.21^2 + 46.27^2} \approx \sqrt{493.3 + 2140.9} = \sqrt{2634.2} \approx 51.32 \text{ А}\] \[\arg(I_a) = \arctan\left(\frac{46.27}{22.21}\right) \approx 64.35^\circ\] \[I_a = 51.32 \angle 64.35^\circ \text{ А}\] Линейные токи: \(I_Л_a = I_a = 51.32 \angle 64.35^\circ\) А \(I_Л_b = I_b = 44 \angle -96.87^\circ\) А \(I_Л_c = I_c = 17.17 \angle -171.34^\circ\) А Ток в нейтральном проводе \(I_N = 0\) А (по условию обрыва). --- 3. Построение топографических диаграмм напряжений и векторных диаграмм токов. Для построения диаграмм удобно использовать масштабы. а) Нормальный режим работы. Топографическая диаграмма напряжений: (Представьте плоскость, где N - начало координат.) * Точка N (нейтраль источника и приёмника) - начало координат. * Вектор \(U_A\) (или \(U_{aN'}\)) от N до точки A: длина 127.02, угол 0°. * Вектор \(U_B\) (или \(U_{bN'}\)) от N до точки B: длина 127.02, угол -120°. * Вектор \(U_C\) (или \(U_{cN'}\)) от N до точки C: длина 127.02, угол 120°. * Линейные напряжения \(U_{AB}\), \(U_{BC}\), \(U_{CA}\) будут векторами, соединяющими соответствующие точки (A-B, B-C, C-A). Их длины будут 220 В. Векторная диаграмма токов: (Начало координат - общая точка для всех векторов токов.) * Вектор \(I_a\): длина 17.97, угол -45°. * Вектор \(I_b\): длина 25.40, угол -66.87°. * Вектор \(I_c\): длина 9.92, угол 158.66°. * Вектор \(I_N\): длина 35.21, угол -67.55°. (Это сумма векторов \(I_a\), \(I_b\), \(I_c\)). б) Обрыв фазы нагрузки C. Топографическая диаграмма напряжений: * Та же, что и для нормального режима, так как фазные напряжения источника не изменились, и нейтраль приёмника остаётся на потенциале нейтрали источника. * Точка N (нейтраль источника и приёмника) - начало координат. * Вектор \(U_A\) от N до точки A: длина 127.02, угол 0°. * Вектор \(U_B\) от N до точки B: длина 127.02, угол -120°. * Вектор \(U_C\) от N до точки C: длина 127.02, угол 120°. Векторная диаграмма токов: * Вектор \(I_a\): длина 17.97, угол -45°. * Вектор \(I_b\): длина 25.40, угол -66.87°. * Вектор \(I_c\): длина 0. (Отсутствует на диаграмме). * Вектор \(I_N\): длина 42.68, угол -57.9°. (Это сумма векторов \(I_a\) и \(I_b\)). в) Короткое замыкание фазы А при одновременном обрыве нулевого провода. Топографическая диаграмма напряжений: (Начало координат - нейтраль источника N.) * Точка N - начало координат. * Вектор \(U_A\) от N до точки A: длина 127.02, угол 0°. * Вектор \(U_B\) от N до точки B: длина 127.02, угол -120°. * Вектор \(U_C\) от N до точки C: длина 127.02, угол 120°. * **Точка \(N'\) (нейтраль приёмника) сместилась и совпадает с точкой A.** * Фазное напряжение на \(Z_a\): \(U_{aN'} = 0\). (Вектор от \(N'\) до A отсутствует, так как \(N'\) и A совпадают). * Фазное напряжение на \(Z_b\): \(U_{bN'}\) - вектор от \(N'\) (точки A) до точки B. Длина 220, угол -150°. * Фазное напряжение на \(Z_c\): \(U_{cN'}\) - вектор от \(N'\) (точки A) до точки C. Длина 220, угол 150°. Векторная диаграмма токов: (Начало координат - общая точка для всех векторов токов.) * Вектор \(I_a\): длина 51.32, угол 64.35°. * Вектор \(I_b\): длина 44, угол -96.87°. * Вектор \(I_c\): длина 17.17, угол -171.34°. * Вектор \(I_N\): длина 0. (Отсутствует на диаграмме, так как нулевой провод оборван). (Проверьте, что векторная сумма \(I_a + I_b + I_c\) должна быть равна нулю). (Для построения диаграмм на бумаге: 1. Выберите удобный масштаб для напряжений (например, 1 см = 20 В). 2. Выберите удобный масштаб для токов (например, 1 см = 5 А). 3. Начертите оси координат. 4. Отложите векторы, соблюдая их длины и углы.) ---