Решение задачи: Вариант 10 (Мат. ожидание и Дисперсия)

Задание 1 (Вариант 10) Дано: Закон распределения случайной величины \(X\) (числа транзакций) для варианта 10: \(x_i\): 0; 1; 2; 3; 4; 5 \(p_i\): 0,16; 0,18; 0,44; 0,07; 0,07; 0,08 1. Нахождение математического ожидания \(M(X)\) Математическое ожидание вычисляется по формуле: \[M(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot p_i\] Подставим значения: \[M(X) = 0 \cdot 0,16 + 1 \cdot 0,18 + 2 \cdot 0,44 + 3 \cdot 0,07 + 4 \cdot 0,07 + 5 \cdot 0,08\] \[M(X) = 0 + 0,18 + 0,88 + 0,21 + 0,28 + 0,40 = 1,95\] 2. Нахождение дисперсии \(D(X)\) Дисперсия вычисляется по формуле: \[D(X) = M(X^2) - [M(X)]^2\] Сначала найдем \(M(X^2)\): \[M(X^2) = \sum_{i=1}^{n} x_i^2 \cdot p_i\] \[M(X^2) = 0^2 \cdot 0,16 + 1^2 \cdot 0,18 + 2^2 \cdot 0,44 + 3^2 \cdot 0,07 + 4^2 \cdot 0,07 + 5^2 \cdot 0,08\] \[M(X^2) = 0 + 0,18 + 1,76 + 0,63 + 1,12 + 2,00 = 5,69\] Теперь вычислим дисперсию: \[D(X) = 5,69 - (1,95)^2 = 5,69 - 3,8025 = 1,8875\] 3. Функция распределения \(F(x)\) Функция распределения определяется как \(F(x) = P(X < x)\): - При \(x \le 0\): \(F(x) = 0\) - При \(0 < x \le 1\): \(F(x) = 0,16\) - При \(1 < x \le 2\): \(F(x) = 0,16 + 0,18 = 0,34\) - При \(2 < x \le 3\): \(F(x) = 0,34 + 0,44 = 0,78\) - При \(3 < x \le 4\): \(F(x) = 0,78 + 0,07 = 0,85\) - При \(4 < x \le 5\): \(F(x) = 0,85 + 0,07 = 0,92\) - При \(x > 5\): \(F(x) = 0,92 + 0,08 = 1,00\) Запись функции распределения: \[F(x) = \begin{cases} 0, & x \le 0 \\ 0,16, & 0 < x \le 1 \\ 0,34, & 1 < x \le 2 \\ 0,78, & 2 < x \le 3 \\ 0,85, & 3 < x \le 4 \\ 0,92, & 4 < x \le 5 \\ 1, & x > 5 \end{cases}\] Ответ: \(M(X) = 1,95\); \(D(X) = 1,8875\).