Решение задачи Вариант 10: Нахождение параметра β

Решим задачу для Варианта 10. Согласно таблице и графикам для Варианта 10: Параметр \( a = 2,2 \). График плотности распределения \( f(x) \) соответствует третьему рисунку (Варианты 3, 10, 17). 1. Нахождение параметра \( \beta \). Плотность распределения \( f(x) \) на интервале \( [1; 3] \) представляет собой фигуру, состоящую из прямоугольника на отрезке \( [1; a] \) и прямоугольного треугольника на отрезке \( [a; 3] \). По свойству плотности вероятности, площадь под графиком должна быть равна 1: \[ S = S_{rect} + S_{triang} = 1 \] \[ \beta \cdot (a - 1) + \frac{1}{2} \cdot \beta \cdot (3 - a) = 1 \] Подставим \( a = 2,2 \): \[ \beta \cdot (2,2 - 1) + \frac{1}{2} \cdot \beta \cdot (3 - 2,2) = 1 \] \[ 1,2\beta + 0,4\beta = 1 \] \[ 1,6\beta = 1 \Rightarrow \beta = \frac{1}{1,6} = 0,625 \] 2. Аналитическое выражение плотности \( f(x) \). На участке \( [1; 2,2] \): \( f(x) = 0,625 \). На участке \( [2,2; 3] \) прямая проходит через точки \( (2,2; 0,625) \) и \( (3; 0) \). Уравнение прямой: \[ f(x) - 0 = \frac{0,625 - 0}{2,2 - 3}(x - 3) \Rightarrow f(x) = -0,78125(x - 3) = 2,34375 - 0,78125x \] Итого: \[ f(x) = \begin{cases} 0, & x \le 1 \\ 0,625, & 1 < x \le 2,2 \\ 2,34375 - 0,78125x, & 2,2 < x \le 3 \\ 0, & x > 3 \end{cases} \] 3. Функция распределения \( F(x) \). \( F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t) dt \). При \( x \le 1 \): \( F(x) = 0 \). При \( 1 < x \le 2,2 \): \( F(x) = \int_{1}^{x} 0,625 dt = 0,625(x - 1) \). При \( 2,2 < x \le 3 \): \( F(x) = F(2,2) + \int_{2,2}^{x} (2,34375 - 0,78125t) dt \). \( F(2,2) = 0,625(2,2 - 1) = 0,75 \). \( F(x) = 0,75 + [2,34375t - 0,390625t^2]_{2,2}^{x} = -0,390625x^2 + 2,34375x - 2,5125 \). При \( x > 3 \): \( F(x) = 1 \). 4. Математическое ожидание \( M[X] \). \[ M[X] = \int_{1}^{2,2} x \cdot 0,625 dx + \int_{2,2}^{3} x \cdot (2,34375 - 0,78125x) dx \] \[ M[X] = [0,3125x^2]_{1}^{2,2} + [1,171875x^2 - 0,260417x^3]_{2,2}^{3} \] \[ M[X] = 0,3125(4,84 - 1) + (10,546875 - 7,03125) - (5,671875 - 2,77333) \] \[ M[X] = 1,2 + 3,515625 - 2,898545 \approx 1,817 \] 5. Дисперсия \( D[X] \). \[ D[X] = M[X^2] - (M[X])^2 \] \[ M[X^2] = \int_{1}^{2,2} x^2 \cdot 0,625 dx + \int_{2,2}^{3} x^2 \cdot (2,34375 - 0,78125x) dx \] \[ M[X^2] = [0,20833x^3]_{1}^{2,2} + [0,78125x^3 - 0,1953125x^4]_{2,2}^{3} \] \[ M[X^2] \approx 2,010 + (21,09375 - 15,8203) - (8,31875 - 4,5742) \approx 3,545 \] \[ D[X] = 3,545 - (1,817)^2 \approx 3,545 - 3,301 = 0,244 \] 6. Вероятность попадания в интервал \( (1,5; 2,5) \). \[ P(1,5 < X < 2,5) = F(2,5) - F(1,5) \] \( F(1,5) = 0,625(1,5 - 1) = 0,3125 \). \( F(2,5) = -0,390625(2,5)^2 + 2,34375(2,5) - 2,5125 = 0,90625 \). \[ P = 0,90625 - 0,3125 = 0,59375 \]