Решение задачи: Вариант 10, Задание 3

Решим Задание 3 для Варианта 10. Согласно таблице для Варианта 10: Среднее число клиентов в минуту: \( n = 8 \). Пороговое число клиентов: \( k = 15 \). Время ожидания: \( T = 20 \) минут. 1. Нахождение вероятности того, что за две минуты сервер посетят не менее \( k \) клиентов. Пусть \( X \) — случайная величина, число клиентов за 2 минуты. Так как в среднем за 1 минуту приходит \( n = 8 \) клиентов, то за \( t = 2 \) минуты среднее число клиентов составит: \[ \lambda = n \cdot t = 8 \cdot 2 = 16 \] Случайная величина \( X \) распределена по закону Пуассона: \[ P(X = m) = \frac{\lambda^m}{m!} e^{-\lambda} \] Нам нужно найти вероятность \( P(X \ge k) \), где \( k = 15 \). Проще вычислить через противоположное событие: \[ P(X \ge 15) = 1 - P(X < 15) = 1 - \sum_{m=0}^{14} \frac{16^m}{m!} e^{-16} \] Вычислим сумму вероятностей для \( m \) от 0 до 14 при \( \lambda = 16 \): \[ P(X < 15) = e^{-16} \left( \frac{16^0}{0!} + \frac{16^1}{1!} + \dots + \frac{16^{14}}{14!} \right) \] Используя таблицы распределения Пуассона или калькулятор для накопленной вероятности: \[ P(X < 15) \approx 0,3675 \] Тогда искомая вероятность: \[ P(X \ge 15) = 1 - 0,3675 = 0,6325 \] 2. Нахождение вероятности того, что в течение как минимум \( T \) минут на сервере не будет ни одного посетителя. Время ожидания первого посетителя \( \tau \) распределено по показательному (экспоненциальному) закону. Параметр интенсивности \( \lambda_t \) равен среднему числу клиентов в единицу времени, то есть \( \lambda_t = n = 8 \) (клиентов в минуту). Функция плотности распределения времени ожидания: \[ f(t) = \lambda_t e^{-\lambda_t t} = 8 e^{-8t} \] Вероятность того, что время ожидания \( \tau \) будет не меньше \( T = 20 \) минут: \[ P(\tau \ge T) = \int_{T}^{\infty} \lambda_t e^{-\lambda_t t} dt = \left[ -e^{-\lambda_t t} \right]_{20}^{\infty} \] \[ P(\tau \ge 20) = 0 - (-e^{-8 \cdot 20}) = e^{-160} \] Это число чрезвычайно мало: \[ P(\tau \ge 20) \approx 3,06 \cdot 10^{-70} \] Такой результат логичен, так как при интенсивности 8 человек в минуту вероятность отсутствия людей в течение 20 минут практически равна нулю. Ответ: 1) Вероятность того, что за 2 минуты придет не менее 15 клиентов: \( \approx 0,6325 \). 2) Вероятность отсутствия посетителей в течение 20 минут: \( e^{-160} \approx 0 \).