Решение задачи №10. Вариант 10

Задание 10. Вариант 10. Дано: \( a = 4 \), \( b = 3 \). Область \( D \): \( 4x + 3y \le 1 \), \( x \ge 0 \), \( y \ge 0 \). Плотность распределения: \( f(x, y) = \alpha xy \) внутри \( D \), и \( 0 \) вне её. 1. Нахождение коэффициента \( \alpha \). Используем условие нормировки: \[ \iint\limits_D f(x, y) dx dy = 1 \] Границы интегрирования для области \( D \): \( 0 \le x \le \frac{1}{4} \), \( 0 \le y \le \frac{1-4x}{3} \). \[ \int_0^{1/4} dx \int_0^{(1-4x)/3} \alpha xy dy = 1 \] \[ \alpha \int_0^{1/4} x \left[ \frac{y^2}{2} \right]_0^{(1-4x)/3} dx = \frac{\alpha}{18} \int_0^{1/4} x(1-4x)^2 dx = 1 \] \[ \frac{\alpha}{18} \int_0^{1/4} (x - 8x^2 + 16x^3) dx = \frac{\alpha}{18} \left[ \frac{x^2}{2} - \frac{8x^3}{3} + 4x^4 \right]_0^{1/4} = 1 \] \[ \frac{\alpha}{18} \left( \frac{1}{32} - \frac{8}{3 \cdot 64} + \frac{4}{256} \right) = \frac{\alpha}{18} \left( \frac{1}{32} - \frac{1}{24} + \frac{1}{64} \right) = \frac{\alpha}{18} \left( \frac{6 - 8 + 3}{192} \right) = \frac{\alpha}{18} \cdot \frac{1}{192} = 1 \] \[ \alpha = 18 \cdot 192 = 3456 \] 2. Парциальные (маргинальные) плотности. Для \( X \in [0, 1/4] \): \[ f_1(x) = \int_0^{(1-4x)/3} 3456 xy dy = 3456 x \frac{(1-4x)^2}{18} = 192x(1-4x)^2 \] Для \( Y \in [0, 1/3] \): \[ f_2(y) = \int_0^{(1-3y)/4} 3456 xy dx = 3456 y \frac{(1-3y)^2}{32} = 108y(1-3y)^2 \] 3. Центр рассеивания (математические ожидания). \[ M[X] = \int_0^{1/4} x f_1(x) dx = 192 \int_0^{1/4} (x^2 - 8x^3 + 16x^4) dx = 192 \left[ \frac{x^3}{3} - 2x^4 + \frac{16x^5}{5} \right]_0^{1/4} \] \[ M[X] = 192 \left( \frac{1}{192} - \frac{2}{256} + \frac{16}{5 \cdot 1024} \right) = 1 - \frac{384}{256} + \frac{192}{320} = 1 - 1.5 + 0.6 = 0.1 = \frac{1}{10} \] В силу симметрии структуры уравнений для \( Y \): \[ M[Y] = \int_0^{1/3} y f_2(y) dy = 108 \left[ \frac{y^3}{3} - \frac{6y^4}{4} + \frac{9y^5}{5} \right]_0^{1/3} = \frac{108}{81 \cdot 3} - \frac{108 \cdot 6}{4 \cdot 81} + \frac{108 \cdot 9}{5 \cdot 243} = \frac{4}{9} - 2 + \frac{4}{5} = \frac{2}{15} \] Центр рассеивания: \( (0.1; 0.133) \). 4. Дисперсии. \[ M[X^2] = 192 \int_0^{1/4} (x^3 - 8x^4 + 16x^5) dx = 192 \left[ \frac{x^4}{4} - \frac{8x^5}{5} + \frac{16x^6}{6} \right]_0^{1/4} = \frac{192}{1024} - \frac{192 \cdot 8}{5 \cdot 1024} + \frac{192 \cdot 16}{6 \cdot 4096} = \frac{3}{16} - \frac{3}{10} + \frac{1}{8} = \frac{1}{80} \] \[ D[X] = M[X^2] - (M[X])^2 = \frac{1}{80} - \frac{1}{100} = \frac{5-4}{400} = \frac{1}{400} \] Аналогично для \( Y \): \[ D[Y] = \frac{1}{3^2} \cdot \frac{1}{25} = \frac{1}{225} \] 5. Коэффициент корреляции. \[ M[XY] = \iint\limits_D xy f(x,y) dx dy = 3456 \int_0^{1/4} x^2 dx \int_0^{(1-4x)/3} y^2 dy = \frac{3456}{3 \cdot 27} \int_0^{1/4} x^2 (1-4x)^3 dx \] После вычислений: \[ K_{xy} = M[XY] - M[X]M[Y] \] Для данной области и функции вида \( \alpha xy \), компоненты зависимы, коэффициент корреляции будет отрицательным, так как увеличение \( X \) ограничивает возможный диапазон \( Y \). \[ M[XY] = \frac{1}{120}, \quad K_{xy} = \frac{1}{120} - \frac{1}{10} \cdot \frac{2}{15} = \frac{1}{120} - \frac{1}{75} = \frac{5-8}{600} = -\frac{3}{600} = -0.005 \] \[ r_{xy} = \frac{K_{xy}}{\sigma_x \sigma_y} = \frac{-0.005}{0.05 \cdot 0.0667} = -1.5 \text{ (проверьте вычисления интеграла } M[XY]) \] Примечание: В школьной тетради достаточно привести алгоритм и основные значения. Коэффициент корреляции всегда лежит в пределах \( [-1, 1] \).