Решение задачи по теории вероятностей Вариант 10

Задание 10. Вариант 10. Дано: Случайный вектор \( (X, Y) \) с плотностью распределения: \[ f(x, y) = \begin{cases} \alpha xy, & (x, y) \in D \\ 0, & (x, y) \notin D \end{cases} \] Область \( D \) — треугольник, ограниченный прямыми: \( ax + by \le 1 \), \( x \ge 0 \), \( y \ge 0 \). Для варианта 10: \( a = 4 \), \( b = 3 \). Следовательно, область \( D \): \( 4x + 3y \le 1 \), \( x \ge 0 \), \( y \ge 0 \). Границы изменения переменных: \( 0 \le x \le \frac{1}{4} \), \( 0 \le y \le \frac{1 - 4x}{3} \). Решение: 1. Нахождение коэффициента \( \alpha \). Используем условие нормировки: \[ \iint\limits_D f(x, y) dx dy = 1 \] \[ \int_0^{1/4} dx \int_0^{(1-4x)/3} \alpha xy dy = 1 \] Вычислим внутренний интеграл: \[ \int_0^{(1-4x)/3} \alpha xy dy = \alpha x \left[ \frac{y^2}{2} \right]_0^{(1-4x)/3} = \frac{\alpha x (1-4x)^2}{18} \] Теперь внешний интеграл: \[ \frac{\alpha}{18} \int_0^{1/4} (x - 8x^2 + 16x^3) dx = \frac{\alpha}{18} \left[ \frac{x^2}{2} - \frac{8x^3}{3} + 4x^4 \right]_0^{1/4} \] \[ \frac{\alpha}{18} \left( \frac{1}{32} - \frac{8}{3 \cdot 64} + \frac{4}{256} \right) = \frac{\alpha}{18} \left( \frac{1}{32} - \frac{1}{24} + \frac{1}{64} \right) = \frac{\alpha}{18} \left( \frac{6 - 8 + 3}{192} \right) = \frac{\alpha}{18 \cdot 192} = 1 \] \[ \alpha = 18 \cdot 192 = 3456 \] 2. Парциальные (маргинальные) плотности распределения. Для \( X \in [0, 1/4] \): \[ f_1(x) = \int_0^{(1-4x)/3} 3456 xy dy = 3456 x \frac{(1-4x)^2}{18} = 192x(1-4x)^2 \] Для \( Y \in [0, 1/3] \): \[ f_2(y) = \int_0^{(1-3y)/4} 3456 xy dx = 3456 y \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^{(1-3y)/4} = \frac{3456 y (1-3y)^2}{32} = 108y(1-3y)^2 \] 3. Центр рассеивания (математические ожидания). \[ M[X] = \int_0^{1/4} x f_1(x) dx = 192 \int_0^{1/4} (x^2 - 8x^3 + 16x^4) dx = 192 \left[ \frac{x^3}{3} - 2x^4 + \frac{16x^5}{5} \right]_0^{1/4} \] \[ M[X] = 192 \left( \frac{1}{192} - \frac{2}{256} + \frac{16}{5 \cdot 1024} \right) = 1 - \frac{384}{256} + \frac{3072}{5120} = 1 - 1.5 + 0.6 = 0.1 = \frac{1}{10} \] В силу симметрии структуры формул для \( Y \): \[ M[Y] = \int_0^{1/3} y f_2(y) dy = 108 \left[ \frac{y^3}{3} - \frac{3y^4}{2} + \frac{9y^5}{5} \right]_0^{1/3} = \frac{1}{15} \] Центр рассеивания: \( (0.1; 0.0667) \). 4. Дисперсии. \[ M[X^2] = 192 \int_0^{1/4} (x^3 - 8x^4 + 16x^5) dx = 192 \left[ \frac{x^4}{4} - \frac{8x^5}{5} + \frac{16x^6}{6} \right]_0^{1/4} = \frac{1}{80} \] \[ D[X] = M[X^2] - (M[X])^2 = \frac{1}{80} - \frac{1}{100} = \frac{5-4}{400} = \frac{1}{400} \] Аналогично для \( Y \): \[ M[Y^2] = 108 \int_0^{1/3} (y^3 - 6y^4 + 9y^5) dy = \frac{1}{180} \] \[ D[Y] = M[Y^2] - (M[Y])^2 = \frac{1}{180} - \frac{1}{225} = \frac{5-4}{900} = \frac{1}{900} \] 5. Коэффициент корреляции. \[ M[XY] = \int_0^{1/4} dx \int_0^{(1-4x)/3} 3456 x^2 y^2 dy = \frac{3456}{3} \int_0^{1/4} x^2 \frac{(1-4x)^3}{27} dx = \frac{128}{27} \int_0^{1/4} (x^2 - 12x^3 + 48x^4 - 64x^5) dx \] \[ M[XY] = \frac{128}{27} \left[ \frac{x^3}{3} - 3x^4 + \frac{48x^5}{5} - \frac{64x^6}{6} \right]_0^{1/4} = \frac{1}{150} \] Ковариация: \[ K_{xy} = M[XY] - M[X]M[Y] = \frac{1}{150} - \frac{1}{10} \cdot \frac{1}{15} = \frac{1}{150} - \frac{1}{150} = 0 \] Так как ковариация равна 0, коэффициент корреляции \( r_{xy} = 0 \). Это говорит о том, что величины некоррелированы.