1. Составить дискретный вариационный ряд с соответствующими частотами и относительными частотами. Построить полигон относительных частот.
Дискретный вариационный ряд:
| Значение \(x_i\) | Частота \(n_i\) | Относительная частота \(w_i = n_i / n\) |
| 7 | 1 | \(1/24 \approx 0.0417\) |
| 8 | 3 | \(3/24 = 0.1250\) |
| 9 | 4 | \(4/24 \approx 0.1667\) |
| 10 | 5 | \(5/24 \approx 0.2083\) |
| 11 | 5 | \(5/24 \approx 0.2083\) |
| 12 | 4 | \(4/24 \approx 0.1667\) |
| 13 | 1 | \(1/24 \approx 0.0417\) |
| 14 | 1 | \(1/24 \approx 0.0417\) |
| Сумма | \(n = 24\) | \(\sum w_i = 1\) |
Полигон относительных частот:
Для построения полигона относительных частот на горизонтальной оси откладываются значения \(x_i\), а на вертикальной оси — соответствующие им относительные частоты \(w_i\). Точки \((x_i, w_i)\) соединяются отрезками прямых. (Здесь должен быть график. Поскольку я не могу рисовать графики, я опишу его: Ось X: 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14 Ось Y: 0.0417, 0.1250, 0.1667, 0.2083 Точки для построения: (7, 0.0417) (8, 0.1250) (9, 0.1667) (10, 0.2083) (11, 0.2083) (12, 0.1667) (13, 0.0417) (14, 0.0417) Соедините эти точки отрезками прямых.)2. Найти эмпирическую функцию распределения F*.
Эмпирическая функция распределения \(F^*(x)\) определяется как доля наблюдений, значения которых не превосходят \(x\). \[F^*(x) = \frac{n_x}{n}\] где \(n_x\) — число наблюдений, меньших или равных \(x\), \(n\) — общий объем выборки.
Для нашего вариационного ряда:
| \(x\) | \(F^*(x)\) |
| \(x \le 7\) | \(0\) |
| \(7 < x \le 8\) | \(1/24 \approx 0.0417\) |
| \(8 < x \le 9\) | \((1+3)/24 = 4/24 \approx 0.1667\) |
| \(9 < x \le 10\) | \((4+4)/24 = 8/24 \approx 0.3333\) |
| \(10 < x \le 11\) | \((8+5)/24 = 13/24 \approx 0.5417\) |
| \(11 < x \le 12\) | \((13+5)/24 = 18/24 = 0.7500\) |
| \(12 < x \le 13\) | \((18+4)/24 = 22/24 \approx 0.9167\) |
| \(13 < x \le 14\) | \((22+1)/24 = 23/24 \approx 0.9583\) |
| \(x > 14\) | \((23+1)/24 = 24/24 = 1\) |
3. Вычислить среднюю, дисперсию, среднее квадратическое отклонение выборочной совокупности.
Выборочная средняя (\(\bar{x}\)):
\[\bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{k} x_i n_i\] \[\bar{x} = \frac{1}{24} (7 \cdot 1 + 8 \cdot 3 + 9 \cdot 4 + 10 \cdot 5 + 11 \cdot 5 + 12 \cdot 4 + 13 \cdot 1 + 14 \cdot 1)\] \[\bar{x} = \frac{1}{24} (7 + 24 + 36 + 50 + 55 + 48 + 13 + 14)\] \[\bar{x} = \frac{1}{24} (247)\] \[\bar{x} \approx 10.2917\]Выборочная дисперсия (\(D_B\)):
\[D_B = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{k} (x_i - \bar{x})^2 n_i\] Или по упрощенной формуле: \[D_B = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{k} x_i^2 n_i - (\bar{x})^2\] Сначала вычислим \(\sum x_i^2 n_i\): \[\sum x_i^2 n_i = 7^2 \cdot 1 + 8^2 \cdot 3 + 9^2 \cdot 4 + 10^2 \cdot 5 + 11^2 \cdot 5 + 12^2 \cdot 4 + 13^2 \cdot 1 + 14^2 \cdot 1\] \[= 49 \cdot 1 + 64 \cdot 3 + 81 \cdot 4 + 100 \cdot 5 + 121 \cdot 5 + 144 \cdot 4 + 169 \cdot 1 + 196 \cdot 1\] \[= 49 + 192 + 324 + 500 + 605 + 576 + 169 + 196\] \[= 2611\] Теперь вычислим дисперсию: \[D_B = \frac{2611}{24} - (10.2917)^2\] \[D_B \approx 108.7917 - 105.9191\] \[D_B \approx 2.8726\]Выборочное среднее квадратическое отклонение (\(\sigma_B\)):
\[\sigma_B = \sqrt{D_B}\] \[\sigma_B = \sqrt{2.8726}\] \[\sigma_B \approx 1.6949\]Исправленная выборочная дисперсия (\(S^2\)):
\[S^2 = \frac{n}{n-1} D_B\] \[S^2 = \frac{24}{23} \cdot 2.8726\] \[S^2 \approx 1.0435 \cdot 2.8726\] \[S^2 \approx 2.9989\]Исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение (\(S\)):
\[S = \sqrt{S^2}\] \[S = \sqrt{2.9989}\] \[S \approx 1.7317\]4. Вычислить моду, медиану, коэффициент вариации, оценки математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения.
Мода (\(M_o\)):
Мода — это значение, которое встречается в выборке наиболее часто. Из вариационного ряда видно, что значения 10 и 11 встречаются по 5 раз, что является максимальной частотой. Следовательно, выборка является бимодальной. \[M_o = 10 \text{ и } 11\]Медиана (\(M_e\)):
Медиана — это значение, которое делит упорядоченную выборку пополам. Объем выборки \(n = 24\) (четное число). Медиана находится как среднее арифметическое двух центральных значений: \[M_e = \frac{x_{(n/2)} + x_{(n/2+1)}}{2}\] \[M_e = \frac{x_{(24/2)} + x_{(24/2+1)}}{2} = \frac{x_{(12)} + x_{(13)}}{2}\] Упорядоченный ряд: 7, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 10, 10, 10, 10, 10, 11, 11, 11, 11, 11, 12, 12, 12, 12, 13, 14 12-е значение: 10 13-е значение: 10 \[M_e = \frac{10 + 10}{2} = 10\]Коэффициент вариации (\(V\)):
\[V = \frac{S}{\bar{x}} \cdot 100\%\] \[V = \frac{1.7317}{10.2917} \cdot 100\%\] \[V \approx 0.1683 \cdot 100\%\] \[V \approx 16.83\%\] Поскольку \(V < 33\%\), выборка считается однородной.Оценки математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения:
Несмещенной оценкой математического ожидания \(M(X)\) является выборочная средняя:
\[\hat{M}(X) = \bar{x} \approx 10.2917\]Несмещенной оценкой дисперсии \(D(X)\) является исправленная выборочная дисперсия:
\[\hat{D}(X) = S^2 \approx 2.9989\]Несмещенной оценкой среднего квадратического отклонения \(\sigma(X)\) является исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение:
\[\hat{\sigma}(X) = S \approx 1.7317\]5. Определить доверительный интервал, в котором с надежностью 0,99 находятся математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение.
Доверительный интервал для математического ожидания (\(M(X)\)) при неизвестной дисперсии:
Используем t-распределение Стьюдента, так как дисперсия генеральной совокупности неизвестна, а объем выборки \(n < 30\). \[\bar{x} - t_{\alpha/2, n-1} \frac{S}{\sqrt{n}} < M(X) < \bar{x} + t_{\alpha/2, n-1} \frac{S}{\sqrt{n}}\] Надежность \(\gamma = 0.99\), тогда \(\alpha = 1 - \gamma = 0.01\), \(\alpha/2 = 0.005\). Число степеней свободы \(k = n - 1 = 24 - 1 = 23\). По таблице распределения Стьюдента для \(k = 23\) и \(\alpha/2 = 0.005\) находим \(t_{0.005, 23} \approx 2.807\). Подставляем значения: \[10.2917 - 2.807 \frac{1.7317}{\sqrt{24}} < M(X) < 10.2917 + 2.807 \frac{1.7317}{\sqrt{24}}\] \[\sqrt{24} \approx 4.899\] \[\frac{1.7317}{4.899} \approx 0.3535\] \[2.807 \cdot 0.3535 \approx 0.9920\] \[10.2917 - 0.9920 < M(X) < 10.2917 + 0.9920\] \[9.2997 < M(X) < 11.2837\]Следовательно, с надежностью 0.99 математическое ожидание находится в интервале \((9.30; 11.28)\).
Доверительный интервал для среднего квадратического отклонения (\(\sigma(X)\)):
Используем хи-квадрат распределение. \[S \sqrt{\frac{n-1}{\chi^2_{\alpha/2, n-1}}} < \sigma(X) < S \sqrt{\frac{n-1}{\chi^2_{1-\alpha/2, n-1}}}\] Надежность \(\gamma = 0.99\), \(\alpha = 0.01\), \(\alpha/2 = 0.005\). Число степеней свободы \(k = n - 1 = 23\). По таблице хи-квадрат распределения: \(\chi^2_{\alpha/2, n-1} = \chi^2_{0.005, 23} \approx 44.181\) \(\chi^2_{1-\alpha/2, n-1} = \chi^2_{0.995, 23} \approx 9.260\) Подставляем значения: \[1.7317 \sqrt{\frac{23}{44.181}} < \sigma(X) < 1.7317 \sqrt{\frac{23}{9.260}}\] \[1.7317 \sqrt{0.5206} < \sigma(X) < 1.7317 \sqrt{2.4838}\] \[1.7317 \cdot 0.7215 < \sigma(X) < 1.7317 \cdot 1.5760\] \[1.2500 < \sigma(X) < 2.7289\]Следовательно, с надежностью 0.99 среднее квадратическое отклонение находится в интервале \((1.25; 2.73)\).