Решение задачи №3 по электротехнике (Варианты 18, 47)

Для решения задачи №3 по электротехнике (трехфазные цепи) подготовим расчеты, которые удобно переписать в тетрадь. Дано: Схема соединения: звезда (Y) без нейтрального провода. Линейное напряжение: \( U_л = 220 \) В. Сопротивления фаз: \( \underline{Z}_A = 10 \) Ом; \( \underline{Z}_B = j10 \) Ом; \( \underline{Z}_C = -j20 \) Ом. Решение: 1. Определение фазных напряжений источника. Примем фазу А за базисную: \[ \dot{U}_A = \frac{U_л}{\sqrt{3}} e^{j0^\circ} = \frac{220}{\sqrt{3}} \approx 127 e^{j0^\circ} \text{ В} \] \[ \dot{U}_B = 127 e^{-j120^\circ} = -63,5 - j110 \text{ В} \] \[ \dot{U}_C = 127 e^{j120^\circ} = -63,5 + j110 \text{ В} \] 2. Режим а) Нормальный режим работы. Так как нагрузка несимметричная и нейтрального провода нет, возникает напряжение смещения нейтрали \( \dot{U}_n \). Проводимости фаз: \[ \underline{Y}_A = \frac{1}{10} = 0,1 \text{ См} \] \[ \underline{Y}_B = \frac{1}{j10} = -j0,1 \text{ См} \] \[ \underline{Y}_C = \frac{1}{-j20} = j0,05 \text{ См} \] Напряжение смещения нейтрали: \[ \dot{U}_n = \frac{\dot{U}_A \underline{Y}_A + \dot{U}_B \underline{Y}_B + \dot{U}_C \underline{Y}_C}{\underline{Y}_A + \underline{Y}_B + \underline{Y}_C} \] \[ \dot{U}_n = \frac{127 \cdot 0,1 + (-63,5 - j110)(-j0,1) + (-63,5 + j110)(j0,05)}{0,1 - j0,1 + j0,05} \] \[ \dot{U}_n = \frac{12,7 - j6,35 - 11 - j3,175 - 5,5}{0,1 - j0,05} = \frac{-3,8 - j9,525}{0,1 - j0,05} \approx -7,6 - j91,4 \text{ В} \] Фазные токи (они же линейные в звезде): \[ \dot{I}_A = (\dot{U}_A - \dot{U}_n) \underline{Y}_A = (127 - (-7,6 - j91,4)) \cdot 0,1 = 13,46 + j9,14 \text{ А} \] \[ \dot{I}_B = (\dot{U}_B - \dot{U}_n) \underline{Y}_B = (-63,5 - j110 - (-7,6 - j91,4)) \cdot (-j0,1) = 1,86 + j5,59 \text{ А} \] \[ \dot{I}_C = (\dot{U}_C - \dot{U}_n) \underline{Y}_C = (-63,5 + j110 - (-7,6 - j91,4)) \cdot (j0,05) = -10,07 - j2,79 \text{ А} \] Проверка по первому закону Кирхгофа: \( \dot{I}_A + \dot{I}_B + \dot{I}_C \approx 0 \). Мощности: \[ \underline{S} = \dot{U}_{фA} \dot{I}_A^* + \dot{U}_{фB} \dot{I}_B^* + \dot{U}_{фC} \dot{I}_C^* \] Активная мощность \( P = Re(\underline{S}) \), Реактивная \( Q = Im(\underline{S}) \). \[ P = I_A^2 R_A = (16,27)^2 \cdot 10 = 2647 \text{ Вт} \] 3. Режим б) Обрыв фазы А. При обрыве фазы А ток \( \dot{I}_A = 0 \). Нагрузка фаз B и C оказывается включенной последовательно на линейное напряжение \( \dot{U}_{BC} \). \[ \dot{I}_B = \frac{\dot{U}_B - \dot{U}_C}{\underline{Z}_B + \underline{Z}_C} = \frac{\dot{U}_{BC}}{j10 - j20} = \frac{-j220}{-j10} = 22 \text{ А} \] \[ \dot{I}_C = -\dot{I}_B = -22 \text{ А} \] 4. Режим в) Короткое замыкание фазы С. При КЗ фазы С точка нейтрали нагрузки \( n \) соединяется с фазой С источника. Следовательно, \( \dot{U}_n = \dot{U}_C \). Напряжения на фазах нагрузки: \[ \dot{U}_{An} = \dot{U}_A - \dot{U}_C = \dot{U}_{AC} \] \[ \dot{U}_{Bn} = \dot{U}_B - \dot{U}_C = \dot{U}_{BC} \] Токи: \[ \dot{I}_A = \frac{\dot{U}_{AC}}{\underline{Z}_A} = \frac{220 e^{-j30^\circ}}{10} = 22 e^{-j30^\circ} \text{ А} \] \[ \dot{I}_B = \frac{\dot{U}_{BC}}{\underline{Z}_B} = \frac{220 e^{-j90^\circ}}{j10} = \frac{-j220}{j10} = -22 \text{ А} \] Ток в закороченной фазе С (по 1-му закону Кирхгофа): \[ \dot{I}_C = -(\dot{I}_A + \dot{I}_B) = -(19,05 - j11 - 22) = 2,95 + j11 \text{ А} \] Для тетради: Схему следует нарисовать как стандартную "звезду". Для диаграмм: в нормальном режиме вектор \( \dot{U}_n \) идет из центра к точке смещения, а векторы токов строятся согласно рассчитанным значениям. В режиме КЗ потенциал нейтрали совпадает с вершиной вектора фазы С.