Решение задачи №18 по электротехнике: Полный разбор

Ниже представлено подробное пошаговое решение задачи для Варианта 18, оформленное для удобного переписывания в тетрадь. \[ \text{Дано:} \] \[ U_л = 220 \text{ В} \] \[ \text{Схема: Y (Звезда без нейтрального провода)} \] \[ Z_A = 6 + j10 \text{ Ом} \] \[ Z_B = 10 - j6 \text{ Ом} \] \[ Z_C = 3 + j4 \text{ Ом} \] \[ \text{1. Расчет нормального режима работы} \] Определим фазное напряжение генератора: \[ U_ф = \frac{U_л}{\sqrt{3}} = \frac{220}{1,732} \approx 127 \text{ В} \] Запишем комплексные фазные напряжения (примем фазу А за базис): \[ \dot{U}_A = 127 \cdot e^{j0^\circ} = 127 + j0 \text{ В} \] \[ \dot{U}_B = 127 \cdot e^{-j120^\circ} = 127(\cos(-120^\circ) + j\sin(-120^\circ)) = -63,5 - j110 \text{ В} \] \[ \dot{U}_C = 127 \cdot e^{j120^\circ} = 127(\cos(120^\circ) + j\sin(120^\circ)) = -63,5 + j110 \text{ В} \] Вычислим комплексные проводимости фаз: \[ Y_A = \frac{1}{Z_A} = \frac{1}{6 + j10} = \frac{6 - j10}{6^2 + 10^2} = 0,0441 - j0,0735 \text{ См} \] \[ Y_B = \frac{1}{Z_B} = \frac{1}{10 - j6} = \frac{10 + j6}{10^2 + 6^2} = 0,0735 + j0,0441 \text{ См} \] \[ Y_C = \frac{1}{Z_C} = \frac{1}{3 + j4} = \frac{3 - j4}{3^2 + 4^2} = 0,12 - j0,16 \text{ См} \] Находим напряжение смещения нейтрали по методу узловых потенциалов: \[ \dot{U}_N = \frac{\dot{U}_A Y_A + \dot{U}_B Y_B + \dot{U}_C Y_C}{Y_A + Y_B + Y_C} \] Сумма проводимостей: \[ \sum Y = (0,0441 + 0,0735 + 0,12) + j(-0,0735 + 0,0441 - 0,16) = 0,2376 - j0,1894 \text{ См} \] Числитель: \[ \sum \dot{U}Y = 127(0,0441 - j0,0735) + (-63,5 - j110)(0,0735 + j0,0441) + (-63,5 + j110)(0,12 - j0,16) \] \[ \sum \dot{U}Y \approx 10,18 - j2,12 \text{ (после расчетов)} \] \[ \dot{U}_N = \frac{10,18 - j2,12}{0,2376 - j0,1894} \approx 30,5 + j15,4 = 34,16 e^{j26,8^\circ} \text{ В} \] Фазные напряжения нагрузки: \[ \dot{U}_{A'} = \dot{U}_A - \dot{U}_N = 127 - (30,5 + j15,4) = 96,5 - j15,4 = 97,7 e^{-j9^\circ} \text{ В} \] \[ \dot{U}_{B'} = \dot{U}_B - \dot{U}_N = (-63,5 - j110) - (30,5 + j15,4) = -94 - j125,4 = 156,7 e^{-j126,8^\circ} \text{ В} \] \[ \dot{U}_{C'} = \dot{U}_C - \dot{U}_N = (-63,5 + j110) - (30,5 + j15,4) = -94 + j94,6 = 133,4 e^{j134,8^\circ} \text{ В} \] Линейные токи: \[ \dot{I}_A = \frac{\dot{U}_{A'}}{Z_A} = \frac{97,7 e^{-j9^\circ}}{11,66 e^{j59^\circ}} = 8,38 e^{-j68^\circ} \text{ А} \] \[ \dot{I}_B = \frac{\dot{U}_{B'}}{Z_B} = \frac{156,7 e^{-j126,8^\circ}}{11,66 e^{-j31^\circ}} = 13,44 e^{-j95,8^\circ} \text{ А} \] \[ \dot{I}_C = \frac{\dot{U}_{C'}}{Z_C} = \frac{133,4 e^{j134,8^\circ}}{5 e^{j53,1^\circ}} = 26,68 e^{j81,7^\circ} \text{ А} \] \[ \text{2. Режим (б): Обрыв фазы C} \] При обрыве фазы C ток в ней равен нулю: \[ \dot{I}_C = 0 \] Цепь превращается в последовательное соединение фаз A и B, включенных на линейное напряжение \( \dot{U}_{AB} \). \[ \dot{U}_{AB} = \dot{U}_A - \dot{U}_B = 127 - (-63,5 - j110) = 190,5 + j110 = 220 e^{j30^\circ} \text{ В} \] Токи в фазах A и B: \[ \dot{I}_A = \frac{\dot{U}_{AB}}{Z_A + Z_B} = \frac{220 e^{j30^\circ}}{(6 + j10) + (10 - j6)} = \frac{220 e^{j30^\circ}}{16 + j4} \] Переведем знаменатель в полярную форму: \( \sqrt{16^2 + 4^2} = 16,49 \); \( arctg(4/16) = 14^\circ \). \[ \dot{I}_A = \frac{220 e^{j30^\circ}}{16,49 e^{j14^\circ}} = 13,34 e^{j16^\circ} \text{ А} \] \[ \dot{I}_B = -\dot{I}_A = 13,34 e^{j(16^\circ + 180^\circ)} = 13,34 e^{j196^\circ} \text{ А} \] \[ \text{3. Режим (в): Короткое замыкание фазы B} \] При К.З. фазы B точка нейтрали нагрузки \( n \) соединяется с точкой B генератора. Следовательно, \( \dot{U}_N = \dot{U}_B \). Напряжения на фазах нагрузки A и C становятся равными линейным напряжениям генератора: \[ \dot{U}_{A'} = \dot{U}_A - \dot{U}_B = \dot{U}_{AB} = 220 e^{j30^\circ} \text{ В} \] \[ \dot{U}_{C'} = \dot{U}_C - \dot{U}_B = \dot{U}_{CB} = \dot{U}_C - \dot{U}_B = (-63,5 + j110) - (-63,5 - j110) = j220 = 220 e^{j90^\circ} \text{ В} \] Токи в фазах A и C: \[ \dot{I}_A = \frac{\dot{U}_{A'}}{Z_A} = \frac{220 e^{j30^\circ}}{11,66 e^{j59^\circ}} = 18,87 e^{-j29^\circ} \text{ А} \] \[ \dot{I}_C = \frac{\dot{U}_{C'}}{Z_C} = \frac{220 e^{j90^\circ}}{5 e^{j53,1^\circ}} = 44 e^{j36,9^\circ} \text{ А} \] Ток в закороченной фазе B по первому закону Кирхгофа: \[ \dot{I}_B = -(\dot{I}_A + \dot{I}_C) \] \[ \dot{I}_A = 18,87(\cos(-29^\circ) + j\sin(-29^\circ)) = 16,5 - j9,15 \] \[ \dot{I}_C = 44(\cos(36,9^\circ) + j\sin(36,9^\circ)) = 35,2 + j26,4 \] \[ \dot{I}_B = -(51,7 + j17,25) = -51,7 - j17,25 = 54,5 e^{j198,4^\circ} \text{ А} \] \[ \text{Построение диаграмм (описание)} \] 1. Топографическая диаграмма напряжений: - На комплексной плоскости строим векторы \( \dot{U}_A, \dot{U}_B, \dot{U}_C \) из центра (точка 0). - Соединяем их концы, получая треугольник линейных напряжений ABC. - Для нормального режима отмечаем точку \( n \) по координатам \( \dot{U}_N \). Векторы из \( n \) в A, B и C — это фазные напряжения нагрузки. - При К.З. фазы B точка \( n \) совпадает с вершиной B. 2. Векторная диаграмма токов: - Из центра координат строим векторы токов \( \dot{I}_A, \dot{I}_B, \dot{I}_C \) в выбранном масштабе (например, 1 см = 5 А). - Углы векторов берем из показательной формы расчетов. - Проверяем, что в нормальном режиме и режиме обрыва сумма векторов образует замкнутый контур (так как нейтрального провода нет, \( \sum \dot{I} = 0 \)).