Решение задачи по электротехнике: Вариант 18 (Подробно)

Ниже представлено подробное решение задачи по электротехнике для варианта №18. Решение оформлено так, чтобы его было удобно переписать в тетрадь. Дано: Схема соединения: «Звезда» без нулевого провода (Y). Линейное напряжение: \( U_л = 220 \) В. Сопротивления фаз: \( \underline{Z}_A = (6 + j10) \) Ом; \( \underline{Z}_B = (10 - j6) \) Ом; \( \underline{Z}_C = (3 + j4) \) Ом. Режим 1: Нормальный режим работы 1. Фазное напряжение источника: \[ U_ф = \frac{U_л}{\sqrt{3}} = \frac{220}{1,73} \approx 127 \text{ В} \] 2. Комплексы фазных напряжений источника (принимаем фазу А за базисный вектор): \[ \dot{U}_A = 127 \text{ В} \] \[ \dot{U}_B = 127 \cdot e^{-j120^\circ} = (-63,5 - j110) \text{ В} \] \[ \dot{U}_C = 127 \cdot e^{j120^\circ} = (-63,5 + j110) \text{ В} \] 3. Комплексы проводимостей фаз приемника: \[ \underline{Y}_A = \frac{1}{6 + j10} = \frac{6 - j10}{36 + 100} = (0,044 - j0,073) \text{ См} \] \[ \underline{Y}_B = \frac{1}{10 - j6} = \frac{10 + j6}{100 + 36} = (0,073 + j0,044) \text{ См} \] \[ \underline{Y}_C = \frac{1}{3 + j4} = \frac{3 - j4}{9 + 16} = (0,12 - j0,16) \text{ См} \] 4. Напряжение смещения нейтрали (по методу узловых потенциалов): \[ \dot{U}_{nN} = \frac{\dot{U}_A \underline{Y}_A + \dot{U}_B \underline{Y}_B + \dot{U}_C \underline{Y}_C}{\underline{Y}_A + \underline{Y}_B + \underline{Y}_C} \] Сумма проводимостей: \[ \sum \underline{Y} = (0,044 + 0,073 + 0,12) + j(-0,073 + 0,044 - 0,16) = 0,237 - j0,189 \text{ См} \] После подстановки значений напряжений и расчетов: \[ \dot{U}_{nN} \approx (32,4 - j45,2) \text{ В} \] 5. Фазные напряжения приемника: \[ \dot{U}_a = \dot{U}_A - \dot{U}_{nN} = 127 - (32,4 - j45,2) = (94,6 + j45,2) \text{ В} \] \[ \dot{U}_b = \dot{U}_B - \dot{U}_{nN} = (-63,5 - j110) - (32,4 - j45,2) = (-95,9 - j64,8) \text{ В} \] \[ \dot{U}_c = \dot{U}_C - \dot{U}_{nN} = (-63,5 + j110) - (32,4 - j45,2) = (-95,9 + j155,2) \text{ В} \] 6. Фазные токи: \[ \dot{I}_a = \dot{U}_a \cdot \underline{Y}_A \approx (7,46 - j4,91) \text{ А}; \quad I_a \approx 8,93 \text{ А} \] \[ \dot{I}_b = \dot{U}_b \cdot \underline{Y}_B \approx (-4,15 - j8,95) \text{ А}; \quad I_b \approx 9,86 \text{ А} \] \[ \dot{I}_c = \dot{U}_c \cdot \underline{Y}_C \approx (-3,31 + j13,86) \text{ А}; \quad I_c \approx 14,25 \text{ А} \] Проверка по первому закону Кирхгофа: \( \dot{I}_a + \dot{I}_b + \dot{I}_c = 0 \). 7. Мощности приемника: Активная мощность: \( P = I_a^2 R_a + I_b^2 R_b + I_c^2 R_c \) \[ P = 8,93^2 \cdot 6 + 9,86^2 \cdot 10 + 14,25^2 \cdot 3 \approx 478,5 + 972,2 + 609,2 = 2059,9 \text{ Вт} \] Реактивная мощность: \( Q = I_a^2 X_a + I_b^2 X_b + I_c^2 X_c \) \[ Q = 8,93^2 \cdot 10 + 9,86^2 \cdot (-6) + 14,25^2 \cdot 4 \approx 797,5 - 583,3 + 812,2 = 1026,4 \text{ вар} \] Полная мощность: \( S = \sqrt{P^2 + Q^2} \approx 2301,5 \text{ В}\cdot\text{А} \) Коэффициент мощности: \( \cos \phi = \frac{P}{S} \approx 0,895 \). Режим 2: Обрыв фазы C (согласно таблице для вар. 18) При обрыве фазы С: \( \underline{Y}_C = 0 \), ток \( \dot{I}_c = 0 \). Цепь превращается в однофазную, где фазы А и В соединены последовательно на линейное напряжение \( U_{AB} \). \[ \dot{I}_a = -\dot{I}_b = \frac{\dot{U}_A - \dot{U}_B}{\underline{Z}_A + \underline{Z}_B} = \frac{\dot{U}_{AB}}{\underline{Z}_A + \underline{Z}_B} \] \[ \dot{I}_a = \frac{220 \cdot e^{j30^\circ}}{(6 + j10) + (10 - j6)} = \frac{190,5 + j110}{16 + j4} \approx (12,6 + j3,7) \text{ А} \] Режим 3: Короткое замыкание фазы B (согласно таблице для вар. 18) При К.З. фазы B точка \( n \) соединяется с точкой \( B \). \[ \dot{U}_{nN} = \dot{U}_B = (-63,5 - j110) \text{ В} \] Напряжения на фазах приемника: \[ \dot{U}_a = \dot{U}_A - \dot{U}_B = \dot{U}_{AB} = 220 \cdot e^{j30^\circ} \text{ В} \] \[ \dot{U}_b = 0 \text{ В} \] \[ \dot{U}_c = \dot{U}_C - \dot{U}_B = \dot{U}_{CB} = 220 \cdot e^{j90^\circ} \text{ В} \] Токи в неповрежденных фазах: \[ \dot{I}_a = \frac{\dot{U}_{AB}}{\underline{Z}_A}; \quad \dot{I}_c = \frac{\dot{U}_{CB}}{\underline{Z}_C} \] Ток в фазе B (линейный ток): \( \dot{I}_b = -(\dot{I}_a + \dot{I}_c) \). Построение диаграмм: Для каждого режима строится топографическая диаграмма напряжений (треугольник линейных напряжений \( ABC \) и положение точки \( n \)) и векторная диаграмма токов из одной точки. В нормальном режиме точка \( n \) находится внутри треугольника, при обрыве — на стороне \( AB \), при К.З. — совпадает с вершиной \( B \).