Дано:
- Геометрические параметры магнитопровода (Вариант 22):
- \(L_1 = 55\) мм
- \(L_2 = 27\) мм
- \(a_1 = 10\) мм
- \(a_2 = 1,3\) мм
- \(a_3 = -\) (не указано, но по рисунку \(a_3\) - это глубина всех элементов магнитопровода, которая в примечаниях указана как \(a_3\))
- \(\delta = 1,2\) мм
- Диаметр провода обмотки \(d = 5,0\) мм (по таблице 2.1, столбец "Диаметр провода обмотки d, мм" для варианта 22)
- Сила тяги \(F = 2\) Н (по таблице 2.1, столбец "Сила тяги F, Н" для варианта 22)
- Кривая намагничивания неподвижной части: Табл. 2.1.2 (подразумевается, что это ссылка на таблицу с данными для построения кривой)
- Кривая намагничивания подвижной части: Табл. 2.1.3 (подразумевается, что это ссылка на таблицу с данными для построения кривой)
Из примечаний:
- Номинальная плотность тока в обмотке из медного провода \(J = 2,5\) А/мм\(^2\)
- Удельное сопротивление меди \(\rho = 0,018\) мкОм·м \( = 0,018 \cdot 10^{-6}\) Ом·м
- Абсолютная магнитная проницаемость воздуха \(\mu_0 = 4\pi \cdot 10^{-7}\) Гн/м
- Средняя длина подвижной части магнитопровода \(L_3 = L_1 + a_3\)
- Глубина всех элементов магнитопровода равна \(a_3\)
- Массой подвижной части магнитопровода и изменением силы тяги пружин при изменении их длины пренебречь
- Магнитными потоками рассеяния пренебречь
- При расчете длины провода намагничивающей обмотки запроектировать ее 20%-й технологический запас.
Требуется определить:
- Напряжение и число витков обмотки, выполненной из медного провода заданного диаметра, необходимое для гарантированного притягивания подвижной части магнитопровода к неподвижной.
- Напряжение обмотки с найденными ранее параметрами, при котором произойдет гарантированное отпускание подвижной части магнитопровода от неподвижной.
Решение:
Часть 1. Определение напряжения и числа витков для притягивания.
1.1. Определим площадь поперечного сечения провода обмотки.
Диаметр провода \(d = 5,0\) мм. Радиус провода \(r = d/2 = 5,0/2 = 2,5\) мм. Площадь поперечного сечения провода: \[S_{пр} = \pi r^2 = \pi (2,5 \text{ мм})^2 = \pi \cdot 6,25 \text{ мм}^2 \approx 19,635 \text{ мм}^2\] 1.2. Определим номинальный ток в обмотке. Номинальная плотность тока \(J = 2,5\) А/мм\(^2\). Ток \(I = J \cdot S_{пр} = 2,5 \text{ А/мм}^2 \cdot 19,635 \text{ мм}^2 \approx 49,0875\) А. 1.3. Определим магнитную силу, необходимую для притягивания. По условию, сила тяги \(F = 2\) Н. Эта сила должна быть преодолена электромагнитной силой. 1.4. Определим индукцию в воздушном зазоре. Электромагнитная сила \(F_{эм}\) в воздушном зазоре определяется формулой: \[F_{эм} = \frac{B^2 S_{заз}}{2 \mu_0}\] где \(B\) - индукция в воздушном зазоре, \(S_{заз}\) - площадь воздушного зазора, \(\mu_0\) - магнитная проницаемость воздуха. Площадь воздушного зазора \(S_{заз}\) можно определить как \(a_1 \cdot a_3\). Из примечаний: "Глубина всех элементов магнитопровода равна \(a_3\)". Для варианта 22, \(a_1 = 10\) мм. Значение \(a_3\) не указано в таблице для варианта 22, но в примечаниях сказано, что глубина всех элементов магнитопровода равна \(a_3\). Обычно \(a_3\) - это размер, перпендикулярный плоскости рисунка. Если \(a_3\) не дано, то, возможно, оно подразумевается как стандартное или должно быть взято из другого источника. Однако, в таблице 2.1 для других вариантов \(a_3\) указано. Для варианта 22 в столбце \(a_3\) стоит прочерк. Это может означать, что \(a_3\) равно \(a_1\) или \(a_2\), или же это опечатка в таблице. Давайте предположим, что \(a_3\) равно \(a_1\) для простоты, или же, что \(a_3\) равно 10 мм, как и \(a_1\). Если это не так, то задача не может быть решена без этого параметра. Давайте посмотрим на другие варианты: для варианта 1 \(a_1=6, a_3=4\); для варианта 2 \(a_1=6, a_3=5\); для варианта 3 \(a_1=6, a_3=5\). То есть \(a_3\) не равно \(a_1\). В таком случае, если \(a_3\) не дано, то задача не может быть решена. Однако, если мы посмотрим на рисунок 2.1, то \(a_3\) - это ширина магнитопровода. Давайте предположим, что в данном случае \(a_3\) должно быть взято из другого источника или является опечаткой в таблице. Если бы это была реальная задача, мы бы запросили уточнение. Для решения задачи, давайте предположим, что \(a_3\) равно, например, 10 мм (как \(a_1\)), или же, что \(a_3\) равно 5 мм (как в вариантах 2 и 3). Давайте возьмем \(a_3 = 5\) мм, как в соседних вариантах, если нет других указаний. Тогда \(S_{заз} = a_1 \cdot a_3 = 10 \text{ мм} \cdot 5 \text{ мм} = 50 \text{ мм}^2 = 50 \cdot 10^{-6} \text{ м}^2\). Теперь найдем индукцию \(B\): \[B = \sqrt{\frac{2 \mu_0 F_{эм}}{S_{заз}}}\] Принимаем \(F_{эм} = F = 2\) Н. \[B = \sqrt{\frac{2 \cdot 4\pi \cdot 10^{-7} \text{ Гн/м} \cdot 2 \text{ Н}}{50 \cdot 10^{-6} \text{ м}^2}} = \sqrt{\frac{16\pi \cdot 10^{-7}}{50 \cdot 10^{-6}}} = \sqrt{\frac{16\pi}{500}} = \sqrt{\frac{4\pi}{125}} \approx \sqrt{0,1005} \approx 0,317 \text{ Тл}\] 1.5. Определим магнитодвижущую силу (МДС) для воздушного зазора. МДС для воздушного зазора: \[F_{м.заз} = H_{заз} \cdot (2\delta) = \frac{B}{\mu_0} \cdot (2\delta)\] где \(2\delta\) - общая длина воздушного зазора (два зазора). \(\delta = 1,2\) мм \( = 1,2 \cdot 10^{-3}\) м. \[F_{м.заз} = \frac{0,317 \text{ Тл}}{4\pi \cdot 10^{-7} \text{ Гн/м}} \cdot (2 \cdot 1,2 \cdot 10^{-3} \text{ м}) \approx 252290 \text{ А/м} \cdot 2,4 \cdot 10^{-3} \text{ м} \approx 605,5 \text{ А}\] 1.6. Определим МДС для магнитопровода. Для этого нам нужны кривые намагничивания (Табл. 2.1.2 и Табл. 2.1.3). К сожалению, эти таблицы не предоставлены. Без них невозможно точно рассчитать МДС для магнитопровода. Однако, если предположить, что магнитопровод выполнен из электротехнической стали, и его магнитное сопротивление значительно меньше сопротивления воздушного зазора, то можно пренебречь МДС магнитопровода. Но это лишь предположение. Если бы таблицы были, мы бы по индукции \(B\) нашли напряженность магнитного поля \(H\) для неподвижной и подвижной частей, а затем умножили бы на их средние длины. Средняя длина подвижной части магнитопровода \(L_3 = L_1 + a_3 = 55 \text{ мм} + 5 \text{ мм} = 60 \text{ мм} = 0,06\) м. Средняя длина неподвижной части магнитопровода: По рисунку, длина неподвижной части состоит из двух вертикальных участков \(L_2\) и горизонтального участка. Длина среднего участка \(L_1\). Длина боковых участков \(L_2\). Общая длина магнитной линии в неподвижной части: \(L_{м.неподв} = 2L_2 + L_1 = 2 \cdot 27 \text{ мм} + 55 \text{ мм} = 54 \text{ мм} + 55 \text{ мм} = 109 \text{ мм} = 0,109\) м. Тогда МДС для магнитопровода: \(F_{м.магн} = H_{неподв} \cdot L_{м.неподв} + H_{подвиж} \cdot L_3\). Без таблиц 2.1.2 и 2.1.3 мы не можем найти \(H_{неподв}\) и \(H_{подвиж}\).Предположим, что МДС магнитопровода пренебрежимо мала по сравнению с МДС воздушного зазора.
Тогда общая МДС обмотки \(F_{м.общ} = I \cdot N = F_{м.заз} \approx 605,5\) А. Число витков \(N = \frac{F_{м.общ}}{I} = \frac{605,5 \text{ А}}{49,0875 \text{ А}} \approx 12,33\) витка. Поскольку число витков должно быть целым, округлим до ближайшего большего целого числа: \(N = 13\) витков. 1.7. Определим длину провода обмотки. Длина провода обмотки \(L_{пр}\) зависит от числа витков и средней длины витка. Средняя длина витка: по рисунку, обмотка намотана на центральный стержень. Размеры стержня: \(a_1\) и \(a_3\). Средняя длина витка \(L_{вит} = 2(a_1 + a_3) + \pi \cdot (\text{толщина обмотки})\). Толщина обмотки не указана. Если обмотка намотана в один слой, то \(L_{вит} = 2(a_1 + a_3)\). \(L_{вит} = 2(10 \text{ мм} + 5 \text{ мм}) = 2 \cdot 15 \text{ мм} = 30 \text{ мм} = 0,03\) м. Общая длина провода \(L_{пр} = N \cdot L_{вит} = 13 \cdot 0,03 \text{ м} = 0,39\) м. С учетом 20%-го технологического запаса: \(L_{пр.с.запасом} = L_{пр} \cdot (1 + 0,20) = 0,39 \text{ м} \cdot 1,2 = 0,468\) м. 1.8. Определим сопротивление обмотки. Сопротивление обмотки \(R = \rho \frac{L_{пр.с.запасом}}{S_{пр}}\). \(R = 0,018 \cdot 10^{-6} \text{ Ом·м} \cdot \frac{0,468 \text{ м}}{19,635 \cdot 10^{-6} \text{ м}^2} \approx 0,018 \cdot \frac{0,468}{19,635} \text{ Ом} \approx 0,000429 \text{ Ом}\). 1.9. Определим напряжение обмотки. Напряжение \(U = I \cdot R = 49,0875 \text{ А} \cdot 0,000429 \text{ Ом} \approx 0,021\) В.Итог для Части 1 (с допущениями):
- Число витков обмотки \(N = 13\) витков.
- Напряжение обмотки \(U = 0,021\) В.
Важное замечание: Расчеты в Части 1 сильно зависят от допущения о значении \(a_3\) и пренебрежении МДС магнитопровода. Без предоставленных таблиц 2.1.2 и 2.1.3 и точного значения \(a_3\) невозможно дать точный ответ. Если бы эти таблицы были, то расчет МДС магнитопровода был бы обязателен и существенно повлиял бы на результат.
Часть 2. Определение напряжения обмотки для гарантированного отпускания.
Для гарантированного отпускания подвижной части магнитопровода, электромагнитная сила должна стать меньше силы тяги пружины \(F\). Обычно для отпускания принимают, что электромагнитная сила должна быть значительно меньше силы притяжения, или же, что ток должен быть уменьшен до определенного значения, при котором магнитное поле не удерживает якорь. В данном случае, если мы пренебрегаем массой подвижной части и изменением силы тяги пружин, то отпускание произойдет, когда электромагнитная сила станет меньше силы \(F = 2\) Н. Однако, в реальных электромагнитных устройствах существует гистерезис. Для отпускания ток (и, соответственно, напряжение) должен быть уменьшен до значения, при котором остаточная индукция в магнитопроводе не сможет удерживать якорь. Это значение тока обычно меньше тока притяжения. Без кривых размагничивания или дополнительных данных о гистерезисе магнитопровода, точное определение напряжения отпускания затруднено. Часто для отпускания принимают, что ток должен быть уменьшен до некоторой доли от тока притяжения (например, 50-70%). Давайте предположим, что для гарантированного отпускания электромагнитная сила должна уменьшиться, например, до 80% от силы притяжения (это лишь пример, в реальной задаче должно быть указано). Тогда \(F_{отп} = 0,8 \cdot F = 0,8 \cdot 2 \text{ Н} = 1,6\) Н. Найдем индукцию \(B_{отп}\) для этой силы: \[B_{отп} = \sqrt{\frac{2 \mu_0 F_{отп}}{S_{заз}}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 4\pi \cdot 10^{-7} \text{ Гн/м} \cdot 1,6 \text{ Н}}{50 \cdot 10^{-6} \text{ м}^2}} = \sqrt{\frac{12,8\pi \cdot 10^{-7}}{50 \cdot 10^{-6}}} = \sqrt{\frac{12,8\pi}{500}} \approx \sqrt{0,0804} \approx 0,283 \text{ Тл}\] МДС для воздушного зазора при отпускании: \[F_{м.заз.отп} = \frac{B_{отп}}{\mu_0} \cdot (2\delta) = \frac{0,283 \text{ Тл}}{4\pi \cdot 10^{-7} \text{ Гн/м}} \cdot (2 \cdot 1,2 \cdot 10^{-3} \text{ м}) \approx 225100 \text{ А/м} \cdot 2,4 \cdot 10^{-3} \text{ м} \approx 540,2 \text{ А}\] Ток отпускания \(I_{отп} = \frac{F_{м.заз.отп}}{N} = \frac{540,2 \text{ А}}{13 \text{ витков}} \approx 41,55\) А. Напряжение отпускания \(U_{отп} = I_{отп} \cdot R = 41,55 \text{ А} \cdot 0,000429 \text{ Ом} \approx 0,0178\) В.Итог для Части 2 (с допущениями):
- Напряжение обмотки для гарантированного отпускания \(U_{отп} = 0,0178\) В.
Выводы и рекомендации:
- Для точного решения задачи необходимо предоставить таблицы 2.1.2 и 2.1.3 (кривые намагничивания) для учета МДС магнитопровода.
- Необходимо уточнить значение параметра \(a_3\) для варианта 22, так как в таблице он отсутствует. В данном решении было сделано допущение \(a_3 = 5\) мм.
- Для определения напряжения отпускания необходимо более четкое условие, например, до какой доли от силы притяжения должна уменьшиться электромагнитная сила, или же использовать кривые размагничивания, если они доступны. В данном решении было сделано допущение, что отпускание происходит при 80% от силы притяжения.
Если у вас есть дополнительные данные (таблицы 2.1.2, 2.1.3 или уточнение \(a_3\)), пожалуйста, предоставьте их, и я смогу выполнить более точный расчет.