Решение задачи: Вариант 22

Решение задачи для варианта 22. Дано: Из таблицы 2.1 для варианта 22: Геометрические параметры магнитопровода: \(L_1 = 44\) мм \( = 0,044\) м \(L_2 = 25\) мм \( = 0,025\) м \(a_1 = 5\) мм \( = 0,005\) м \(a_2 = 6\) мм \( = 0,006\) м \(a_3 = 4\) мм \( = 0,004\) м \(\delta = 0,2\) мм \( = 0,0002\) м Диаметр провода обмотки \(d = 0,95\) мм \( = 0,00095\) м Кривая намагничивания неподвижной части: Рис. 2.4 Кривая намагничивания подвижной части: Табл. 2.1.3 (предполагается, что это опечатка и имеется в виду Рис. 2.4, так как в таблице 2.1.3 нет кривых намагничивания, а есть только данные для подвижной части, которые обычно берутся из кривой намагничивания магнитопровода) Сила тяги \(F = 14\) Н Из примечаний: Номинальная плотность тока в обмотке из медного провода \(J = 2,5\) А/мм\(^2\) \( = 2,5 \cdot 10^6\) А/м\(^2\) Удельное сопротивление меди \(\rho = 0,018\) мкОм\( \cdot \)м \( = 0,018 \cdot 10^{-6}\) Ом\( \cdot \)м Абсолютная магнитная проницаемость воздуха \(\mu_0 = 4\pi \cdot 10^{-7}\) Гн/м Средняя длина подвижной части магнитопровода \(L_3 = L_1 + a_3\) Глубина всех элементов магнитопровода равна \(a_3\) Массой подвижной части магнитопровода и изменением силы тяги пружин при изменении их длины пренебречь Магнитными потоками рассеяния пренебречь При расчете длины провода намагничивающей обмотки запроектировать ее 20%-й технологический запас. Требуется определить: 1. Напряжение \(U\) и число витков обмотки \(w\), необходимое для гарантированного притягивания подвижной части магнитопровода к неподвижной. 2. Напряжение \(U'\) обмотки с найденными ранее параметрами, при котором произойдет гарантированное отпускание подвижной части магнитопровода от неподвижной. Решение: Пункт 1. Определение напряжения и числа витков обмотки для притягивания. 1.1. Расчет площади поперечного сечения провода обмотки. Площадь поперечного сечения провода обмотки \(S_п\) рассчитывается по формуле: \[S_п = \frac{\pi d^2}{4}\] где \(d\) - диаметр провода обмотки. \[S_п = \frac{\pi (0,00095 \text{ м})^2}{4} \approx \frac{3,14159 \cdot 0,0000009025}{4} \approx 0,0000007088 \text{ м}^2\] \[S_п \approx 0,7088 \text{ мм}^2\] 1.2. Расчет тока в обмотке. Ток \(I\) в обмотке определяется из номинальной плотности тока \(J\) и площади поперечного сечения провода \(S_п\): \[I = J \cdot S_п\] \[I = 2,5 \cdot 10^6 \text{ А/м}^2 \cdot 0,7088 \cdot 10^{-6} \text{ м}^2 \approx 1,772 \text{ А}\] 1.3. Расчет магнитной силы притяжения. Магнитная сила притяжения \(F_м\) должна быть равна заданной силе тяги \(F\). \[F_м = F = 14 \text{ Н}\] 1.4. Расчет индукции в воздушном зазоре. Магнитная сила притяжения \(F_м\) связана с индукцией \(B\) в воздушном зазоре и площадью поперечного сечения магнитопровода \(S_{мг}\) формулой: \[F_м = \frac{B^2 S_{мг}}{2\mu_0}\] Площадь поперечного сечения магнитопровода \(S_{мг}\) равна \(a_1 \cdot a_3\). \[S_{мг} = a_1 \cdot a_3 = 0,005 \text{ м} \cdot 0,004 \text{ м} = 0,00002 \text{ м}^2\] Отсюда выразим индукцию \(B\): \[B = \sqrt{\frac{2\mu_0 F_м}{S_{мг}}}\] \[B = \sqrt{\frac{2 \cdot 4\pi \cdot 10^{-7} \text{ Гн/м} \cdot 14 \text{ Н}}{0,00002 \text{ м}^2}}\] \[B = \sqrt{\frac{2 \cdot 12,566 \cdot 10^{-7} \cdot 14}{0,00002}} = \sqrt{\frac{351,848 \cdot 10^{-7}}{0,00002}} = \sqrt{\frac{0,0000351848}{0,00002}} = \sqrt{1,75924}\] \[B \approx 1,326 \text{ Тл}\] 1.5. Определение напряженности магнитного поля в магнитопроводе. По кривой намагничивания (Рис. 2.4) для \(B \approx 1,326\) Тл находим напряженность магнитного поля \(H_{мг}\). По Рис. 2.4: При \(B = 1,326\) Тл, \(H_{мг} \approx 1,3 \cdot 10^4\) А/м. 1.6. Расчет магнитодвижущей силы (МДС) для воздушного зазора. Напряженность магнитного поля в воздушном зазоре \(H_\delta\) определяется как: \[H_\delta = \frac{B}{\mu_0}\] \[H_\delta = \frac{1,326 \text{ Тл}}{4\pi \cdot 10^{-7} \text{ Гн/м}} \approx \frac{1,326}{12,566 \cdot 10^{-7}} \approx 1,055 \cdot 10^6 \text{ А/м}\] МДС для воздушного зазора \(F_{м\delta}\) равна: \[F_{м\delta} = H_\delta \cdot \delta\] \[F_{м\delta} = 1,055 \cdot 10^6 \text{ А/м} \cdot 0,0002 \text{ м} \approx 211 \text{ А}\] 1.7. Расчет средней длины магнитной линии в магнитопроводе. Средняя длина магнитной линии в неподвижной части магнитопровода \(L_{мг.н}\) (по Рис. 2.1): \(L_{мг.н} = 2L_1 + 2L_2 + 2a_2 - \delta\) (учитывая, что \(a_2\) - это ширина боковых частей, а \(L_1\) и \(L_2\) - длины) По рисунку 2.1, средняя длина магнитной линии в неподвижной части: \(L_{мг.н} = 2 \cdot (L_1 - a_2) + 2 \cdot (L_2 - a_2) + 2 \cdot a_2\) (это упрощенная схема, более точно: \(L_{мг.н} = 2(L_1 - a_2) + 2(L_2 - a_2) + 2a_2\)) Более точно, по рисунку, длина средней линии магнитопровода (без учета воздушного зазора): \(L_{мг} = 2 \cdot (L_1 - a_2) + 2 \cdot (L_2 - a_2) + 2 \cdot a_2 + L_3\) Но в примечаниях указано: "средняя длина подвижной части магнитопровода \(L_3 = L_1 + a_3\)", "глубина всех элементов магнитопровода равна \(a_3\)". Это означает, что \(a_3\) - это глубина магнитопровода, а не длина. По рисунку, длина средней линии магнитопровода (без учета воздушного зазора): \(L_{мг} = 2 \cdot (L_1 - a_2) + 2 \cdot (L_2 - a_2) + 2 \cdot a_2 + L_3\) \(L_{мг} = 2L_1 + 2L_2 - 2a_2 + L_3\) \(L_3 = L_1 + a_3 = 0,044 \text{ м} + 0,004 \text{ м} = 0,048 \text{ м}\) Тогда: \(L_{мг} = 2 \cdot 0,044 \text{ м} + 2 \cdot 0,025 \text{ м} - 2 \cdot 0,006 \text{ м} + 0,048 \text{ м}\) \(L_{мг} = 0,088 \text{ м} + 0,050 \text{ м} - 0,012 \text{ м} + 0,048 \text{ м} = 0,174 \text{ м}\) 1.8. Расчет МДС для магнитопровода. МДС для магнитопровода \(F_{м.мг}\) равна: \[F_{м.мг} = H_{мг} \cdot L_{мг}\] \[F_{м.мг} = 1,3 \cdot 10^4 \text{ А/м} \cdot 0,174 \text{ м} \approx 2262 \text{ А}\] 1.9. Расчет полной МДС обмотки. Полная МДС обмотки \(F_w\) равна сумме МДС для магнитопровода и воздушного зазора: \[F_w = F_{м.мг} + F_{м\delta}\] \[F_w = 2262 \text{ А} + 211 \text{ А} = 2473 \text{ А}\] 1.10. Расчет числа витков обмотки. Число витков обмотки \(w\) определяется из полной МДС и тока \(I\): \[w = \frac{F_w}{I}\] \[w = \frac{2473 \text{ А}}{1,772 \text{ А}} \approx 1395,6 \text{ витков}\] Округляем до целого числа витков: \(w = 1396\) витков. 1.11. Расчет средней длины витка обмотки. По рисунку 2.1, обмотка намотана на центральный стержень. Средняя длина витка обмотки \(L_{вит}\) может быть приближенно рассчитана как периметр прямоугольника со сторонами \(a_1\) и \(a_3\), плюс некоторый запас на толщину обмотки. Однако, в примечаниях указано "глубина всех элементов магнитопровода равна \(a_3\)". Это означает, что \(a_3\) - это размер в глубину. По рисунку, обмотка намотана на часть магнитопровода, имеющую размеры \(a_1\) и \(a_3\). Средняя длина витка \(L_{вит} = 2(a_1 + a_3)\) (если обмотка намотана на прямоугольное сечение \(a_1 \times a_3\)). \[L_{вит} = 2 \cdot (0,005 \text{ м} + 0,004 \text{ м}) = 2 \cdot 0,009 \text{ м} = 0,018 \text{ м}\] 1.12. Расчет общей длины провода обмотки. Общая длина провода обмотки \(L_{обм}\) с учетом 20%-го технологического запаса: \[L_{обм} = w \cdot L_{вит} \cdot (1 + 0,2)\] \[L_{обм} = 1396 \text{ витков} \cdot 0,018 \text{ м/виток} \cdot 1,2 \approx 30,15 \text{ м}\] 1.13. Расчет сопротивления обмотки. Сопротивление обмотки \(R\) рассчитывается по формуле: \[R = \rho \frac{L_{обм}}{S_п}\] \[R = 0,018 \cdot 10^{-6} \text{ Ом} \cdot \text{м} \cdot \frac{30,15 \text{ м}}{0,7088 \cdot 10^{-6} \text{ м}^2} \approx 0,018 \cdot \frac{30,15}{0,7088} \approx 0,018 \cdot 42,536 \approx 0,7656 \text{ Ом}\] 1.14. Расчет напряжения обмотки. Напряжение обмотки \(U\) определяется по закону Ома: \[U = I \cdot R\] \[U = 1,772 \text{ А} \cdot 0,7656 \text{ Ом} \approx 1,358 \text{ В}\] Итак, для притягивания: Число витков обмотки \(w = 1396\) витков. Напряжение обмотки \(U = 1,358\) В. Пункт 2. Определение напряжения обмотки для отпускания. Отпускание произойдет, когда магнитная сила притяжения станет меньше силы тяги пружины. В данном случае, сила тяги пружины \(F\) задана как 14 Н. Отпускание произойдет, когда магнитная сила станет меньше 14 Н. Обычно для гарантированного отпускания принимают, что магнитная сила должна быть значительно меньше силы притяжения. Однако, в задаче не указан коэффициент отпускания. Будем считать, что отпускание происходит при некотором уменьшении тока, которое приводит к уменьшению магнитной силы. Если не указано иное, то часто подразумевается, что отпускание происходит при уменьшении тока до значения, при котором магнитная сила становится недостаточной для удержания. В данном случае, "гарантированное отпускание" может означать, что подвижная часть возвращается в исходное положение под действием пружины, когда ток в обмотке уменьшается. Если не указано конкретное значение силы, при которой происходит отпускание, то обычно рассматривают остаточную индукцию или гистерезис. Однако, в рамках данной задачи, без дополнительных данных о кривой размагничивания или коэффициенте отпускания, мы можем предположить, что отпускание происходит при значительно меньшей магнитной силе, чем сила притяжения. Если принять, что отпускание происходит при некотором уменьшении тока, то для определения напряжения \(U'\) необходимо знать, при какой силе \(F'\) происходит отпускание. Поскольку в задаче не указано конкретное значение силы отпускания, и сказано "гарантированное отпускание", то это может быть связано с остаточным магнетизмом или с тем, что сила пружины преодолевает магнитную силу. Если пружина создает силу \(F = 14\) Н, то для отпускания магнитная сила должна стать меньше 14 Н. Если предположить, что отпускание происходит при некотором минимальном токе, при котором магнитная сила становится меньше силы пружины, то это требует дополнительной информации. В отсутствие такой информации, часто в подобных задачах подразумевается, что отпускание происходит при значительно меньшем токе, чем ток притяжения. Если же задача подразумевает, что отпускание происходит при полном снятии напряжения, то ток будет равен нулю, и напряжение будет равно нулю. Это слишком просто. Возможно, имеется в виду, что отпускание происходит при некотором остаточном магнетизме, или при уменьшении тока до значения, при котором сила притяжения становится, например, 0.5 от номинальной или меньше силы пружины. Давайте перечитаем условие: "напряжение обмотки с найденными ранее параметрами, при котором произойдет гарантированное отпускание подвижной части магнитопровода от неподвижной". Это означает, что мы используем найденные \(w = 1396\) витков и \(R = 0,7656\) Ом. Для отпускания, магнитная сила должна стать меньше силы пружины \(F = 14\) Н. Если не указано иное, то обычно для отпускания принимают, что магнитная сила должна быть, например, 10-20% от силы притяжения, или просто меньше силы пружины. Если мы хотим гарантировать отпускание, то магнитная сила должна быть меньше силы пружины. Давайте предположим, что отпускание происходит, когда магнитная сила становится, например, 10% от силы притяжения, то есть \(F'_м = 0,1 \cdot 14 \text{ Н} = 1,4 \text{ Н}\). Это предположение, так как точное значение не указано. 2.1. Расчет индукции в воздушном зазоре для отпускания. \[B' = \sqrt{\frac{2\mu_0 F'_м}{S_{мг}}}\] \[B' = \sqrt{\frac{2 \cdot 4\pi \cdot 10^{-7} \text{ Гн/м} \cdot 1,4 \text{ Н}}{0,00002 \text{ м}^2}}\] \[B' = \sqrt{\frac{2 \cdot 12,566 \cdot 10^{-7} \cdot 1,4}{0,00002}} = \sqrt{\frac{35,1848 \cdot 10^{-7}}{0,00002}} = \sqrt{\frac{0,00000351848}{0,00002}} = \sqrt{0,175924}\] \[B' \approx 0,419 \text{ Тл}\] 2.2. Определение напряженности магнитного поля в магнитопроводе для отпускания. По кривой намагничивания (Рис. 2.4) для \(B' \approx 0,419\) Тл находим напряженность магнитного поля \(H'_{мг}\). По Рис. 2.4: При \(B' = 0,419\) Тл, \(H'_{мг} \approx 0,3 \cdot 10^4\) А/м. 2.3. Расчет МДС для воздушного зазора для отпускания. \[H'_\delta = \frac{B'}{\mu_0}\] \[H'_\delta = \frac{0,419 \text{ Тл}}{4\pi \cdot 10^{-7} \text{ Гн/м}} \approx \frac{0,419}{12,566 \cdot 10^{-7}} \approx 0,333 \cdot 10^6 \text{ А/м}\] МДС для воздушного зазора \(F'_{м\delta}\) равна: \[F'_{м\delta} = H'_\delta \cdot \delta\] \[F'_{м\delta} = 0,333 \cdot 10^6 \text{ А/м} \cdot 0,0002 \text{ м} \approx 66,6 \text{ А}\] 2.4. Расчет МДС для магнитопровода для отпускания. \[F'_{м.мг} = H'_{мг} \cdot L_{мг}\] \[F'_{м.мг} = 0,3 \cdot 10^4 \text{ А/м} \cdot 0,174 \text{ м} \approx 522 \text{ А}\] 2.5. Расчет полной МДС обмотки для отпускания. \[F'_w = F'_{м.мг} + F'_{м\delta}\] \[F'_w = 522 \text{ А} + 66,6 \text{ А} = 588,6 \text{ А}\] 2.6. Расчет тока в обмотке для отпускания. \[I' = \frac{F'_w}{w}\] \[I' = \frac{588,6 \text{ А}}{1396 \text{ витков}} \approx 0,4216 \text{ А}\] 2.7. Расчет напряжения обмотки для отпускания. \[U' = I' \cdot R\] \[U' = 0,4216 \text{ А} \cdot 0,7656 \text{ Ом} \approx 0,3229 \text{ В}\] Итак, для отпускания (при условии, что сила отпускания составляет 10% от силы притяжения): Напряжение обмотки \(U' = 0,3229\) В. Важное замечание: Если в задаче не указан коэффициент отпускания или конкретное значение силы, при которой происходит отпускание, то принятое значение \(F'_м = 0,1 \cdot F\) является предположением. В реальных расчетах это значение должно быть задано или определено из характеристик устройства. Окончательные ответы: 1. Для гарантированного притягивания: Число витков обмотки \(w = 1396\) витков. Напряжение обмотки \(U = 1,358\) В. 2. Для гарантированного отпускания (при условии, что магнитная сила уменьшается до 1,4 Н): Напряжение обмотки \(U' = 0,3229\) В.