Решение задачи: Вариант 22

Решение задачи для варианта 22. Дано: Из таблицы 2.1 для варианта 22: Геометрические параметры магнитопровода: \(L_1 = 44\) мм \( = 0,044\) м \(L_2 = 25\) мм \( = 0,025\) м \(a_1 = 5\) мм \( = 0,005\) м \(a_2 = 6\) мм \( = 0,006\) м \(a_3 = 4\) мм \( = 0,004\) м \(\delta = 0,2\) мм \( = 0,0002\) м Диаметр провода обмотки \(d = 0,95\) мм \( = 0,00095\) м Кривая намагничивания неподвижной части: Рис. 2.4 Кривая намагничивания подвижной части: Табл. 2.1.3 (предполагается, что это опечатка и имеется в виду Рис. 2.4, так как в таблице 2.1.3 нет кривых намагничивания, а есть только сила тяги. Будем использовать Рис. 2.4 для обеих частей, если не указано иное.) Сила тяги \(F = 14\) Н Из примечаний: Номинальная плотность тока в обмотке из медного провода \(J = 2,5\) А/мм\(^2\) \( = 2,5 \cdot 10^6\) А/м\(^2\) Удельное сопротивление меди \(\rho = 0,018\) мкОм\( \cdot \)м \( = 0,018 \cdot 10^{-6}\) Ом\( \cdot \)м Абсолютная магнитная проницаемость воздуха \(\mu_0 = 4\pi \cdot 10^{-7}\) Гн/м Средняя длина подвижной части магнитопровода \(L_3 = L_1 + a_3\) Глубина всех элементов магнитопровода равна \(a_3\) Массой подвижной части магнитопровода и изменением силы тяги пружин при изменении их длины пренебречь. Магнитными потоками рассеяния пренебречь. При расчете длины провода намагничивающей обмотки запроектировать ее 20%-й технологический запас. Требуется определить: 1. Напряжение и число витков обмотки, выполненной из медного провода заданного диаметра, необходимое для гарантированного притягивания подвижной части магнитопровода к неподвижной. 2. Напряжение обмотки с найденными ранее параметрами, при котором произойдет гарантированное отпускание подвижной части магнитопровода от неподвижной. Решение: Пункт 1. Определение напряжения и числа витков для притягивания. 1.1. Расчет площади поперечного сечения провода обмотки. Площадь поперечного сечения провода \(S_п\) рассчитывается по формуле: \[S_п = \frac{\pi d^2}{4}\] где \(d\) - диаметр провода. \[S_п = \frac{\pi \cdot (0,00095 \text{ м})^2}{4} \approx \frac{3,14159 \cdot 0,0000009025}{4} \approx 0,0000007088 \text{ м}^2\] \[S_п \approx 0,7088 \text{ мм}^2\] 1.2. Расчет тока в обмотке. Ток \(I\) в обмотке определяется из номинальной плотности тока \(J\) и площади поперечного сечения провода \(S_п\): \[I = J \cdot S_п\] \[I = 2,5 \text{ А/мм}^2 \cdot 0,7088 \text{ мм}^2 \approx 1,772 \text{ А}\] 1.3. Расчет магнитной индукции в воздушном зазоре. Сила тяги \(F\) электромагнита определяется по формуле: \[F = \frac{B^2 S_{заз}}{2\mu_0}\] где \(B\) - магнитная индукция в воздушном зазоре, \(S_{заз}\) - площадь воздушного зазора, \(\mu_0\) - магнитная проницаемость воздуха. Площадь воздушного зазора \(S_{заз}\) равна \(a_1 \cdot a_3\). \[S_{заз} = a_1 \cdot a_3 = 0,005 \text{ м} \cdot 0,004 \text{ м} = 0,00002 \text{ м}^2\] Выразим \(B\) из формулы для силы тяги: \[B = \sqrt{\frac{2 \mu_0 F}{S_{заз}}}\] \[B = \sqrt{\frac{2 \cdot 4\pi \cdot 10^{-7} \text{ Гн/м} \cdot 14 \text{ Н}}{0,00002 \text{ м}^2}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 12,566 \cdot 10^{-7} \cdot 14}{0,00002}} = \sqrt{\frac{351,848 \cdot 10^{-7}}{0,00002}} = \sqrt{0,00175924} \approx 0,04194 \text{ Тл}\] 1.4. Расчет магнитной напряженности в воздушном зазоре. Магнитная напряженность в воздушном зазоре \(H_{заз}\) связана с магнитной индукцией \(B\) формулой: \[H_{заз} = \frac{B}{\mu_0}\] \[H_{заз} = \frac{0,04194 \text{ Тл}}{4\pi \cdot 10^{-7} \text{ Гн/м}} \approx \frac{0,04194}{12,566 \cdot 10^{-7}} \approx 33375 \text{ А/м}\] 1.5. Расчет средней длины магнитной линии в магнитопроводе. Средняя длина магнитной линии в неподвижной части магнитопровода \(L_{м.н}\) и в подвижной части \(L_{м.п}\). Из рисунка 2.1 и примечаний: Длина неподвижной части: \(L_{м.н} = 2L_1 + 2L_2 + 2a_2 - \delta\) (это путь по центру магнитопровода, без учета зазора) \[L_{м.н} = 2 \cdot 0,044 \text{ м} + 2 \cdot 0,025 \text{ м} + 2 \cdot 0,006 \text{ м} - 0,0002 \text{ м} = 0,088 + 0,050 + 0,012 - 0,0002 = 0,1498 \text{ м}\] Длина подвижной части: \(L_{м.п} = L_3 = L_1 + a_3\) \[L_{м.п} = 0,044 \text{ м} + 0,004 \text{ м} = 0,048 \text{ м}\] Общая длина магнитной линии в магнитопроводе \(L_м = L_{м.н} + L_{м.п}\). \[L_м = 0,1498 \text{ м} + 0,048 \text{ м} = 0,1978 \text{ м}\] 1.6. Определение магнитной напряженности в магнитопроводе. По Рис. 2.4 (кривая намагничивания магнитопровода) для \(B = 0,04194\) Тл. На графике \(B\) в Тл, \(H\) в \(10^4\) А/м. Значение \(B = 0,04194\) Тл очень мало, находится в самом начале кривой намагничивания, где зависимость практически линейна. При \(B = 0,04194\) Тл, \(H\) будет очень близко к нулю. Для точного определения, можно принять, что в начальном участке кривая проходит через точки (0,0) и (0.5 Тл, \(0.5 \cdot 10^4\) А/м). Тогда \(H_м \approx \frac{0,04194}{0,5} \cdot 0,5 \cdot 10^4 = 0,04194 \cdot 10^4 = 419,4\) А/м. (Это приближение, так как кривая не строго линейна, но для таких малых значений индукции это допустимо). Примем \(H_м \approx 419,4\) А/м. 1.7. Расчет магнитодвижущей силы (МДС). МДС \(F_м\) определяется по закону полного тока: \[F_м = H_{заз} \cdot \delta + H_м \cdot L_м\] \[F_м = 33375 \text{ А/м} \cdot 0,0002 \text{ м} + 419,4 \text{ А/м} \cdot 0,1978 \text{ м}\] \[F_м = 6,675 + 82,96 \approx 89,635 \text{ А}\] 1.8. Расчет числа витков обмотки. МДС также равна произведению числа витков \(N\) на ток \(I\): \[F_м = N \cdot I\] \[N = \frac{F_м}{I}\] \[N = \frac{89,635 \text{ А}}{1,772 \text{ А}} \approx 50,58\] Округляем до целого числа витков в большую сторону: \(N = 51\) виток. 1.9. Расчет длины провода обмотки. Длина провода обмотки \(L_{пр}\) определяется как произведение числа витков на среднюю длину одного витка. Средняя длина одного витка \(L_{вит}\) может быть приближенно оценена как периметр прямоугольника со сторонами \(a_3\) и \(L_2\). \[L_{вит} = 2(a_3 + L_2) = 2(0,004 \text{ м} + 0,025 \text{ м}) = 2 \cdot 0,029 \text{ м} = 0,058 \text{ м}\] \[L_{пр} = N \cdot L_{вит} = 51 \cdot 0,058 \text{ м} \approx 2,958 \text{ м}\] С учетом 20%-го технологического запаса: \[L_{пр.запас} = L_{пр} \cdot (1 + 0,20) = 2,958 \text{ м} \cdot 1,2 \approx 3,5496 \text{ м}\] 1.10. Расчет сопротивления обмотки. Сопротивление обмотки \(R\) рассчитывается по формуле: \[R = \rho \frac{L_{пр.запас}}{S_п}\] \[R = 0,018 \cdot 10^{-6} \text{ Ом} \cdot \text{м} \cdot \frac{3,5496 \text{ м}}{0,0000007088 \text{ м}^2} \approx 0,018 \cdot 10^{-6} \cdot 5008,46 \approx 0,00009015 \text{ Ом}\] \[R \approx 0,09015 \text{ Ом}\] 1.11. Расчет напряжения обмотки. Напряжение \(U\) определяется по закону Ома: \[U = I \cdot R\] \[U = 1,772 \text{ А} \cdot 0,09015 \text{ Ом} \approx 0,1597 \text{ В}\] Итак, для притягивания: Число витков \(N = 51\) Напряжение \(U = 0,16\) В (округляем до двух знаков после запятой) Пункт 2. Определение напряжения для отпускания. Отпускание подвижной части магнитопровода происходит, когда сила тяги электромагнита становится меньше силы, удерживающей подвижную часть (в данном случае, это сила пружин, которой пренебрегаем, поэтому отпускание произойдет при минимальной силе тяги, достаточной для удержания, или при ее отсутствии). Однако, в задаче сказано "гарантированное отпускание", что обычно означает, что сила тяги должна упасть до некоторого минимального значения, при котором подвижная часть гарантированно отделится. Если нет других сил, кроме электромагнитной, то отпускание произойдет, когда ток в обмотке станет равным нулю. Но если есть сила пружин, которой пренебрегаем, то отпускание произойдет, когда электромагнитная сила станет меньше силы пружин. Поскольку массой и изменением силы пружин пренебрегаем, то для отпускания достаточно, чтобы сила тяги стала меньше заданной силы \(F = 14\) Н. Обычно, для гарантированного отпускания, ток уменьшают до нуля. Если под "гарантированным отпусканием" подразумевается, что ток в обмотке должен быть равен нулю, то напряжение будет равно нулю. Если же подразумевается, что подвижная часть должна отпуститься при некотором минимальном токе, то это значение должно быть задано. В условиях задачи не указано, при какой силе происходит отпускание, если пренебрегается силой пружин. Предположим, что "гарантированное отпускание" означает, что ток в обмотке должен быть уменьшен до нуля. В этом случае напряжение будет равно нулю. Однако, если задача подразумевает, что отпускание происходит при некотором остаточном магнетизме или при уменьшении силы тяги до некоторого порогового значения, то это значение должно быть указано. Поскольку оно не указано, и массой подвижной части и силой пружин пренебрегаем, то логично предположить, что отпускание происходит при отсутствии тока в обмотке. Если же "гарантированное отпускание" подразумевает, что подвижная часть должна отделиться от неподвижной, когда сила тяги станет меньше некоторого значения (например, меньше силы, которая удерживала ее в притянутом состоянии, если бы были пружины), то это значение не дано. В контексте электромагнитных устройств, "отпускание" обычно происходит при снятии напряжения с обмотки, то есть при \(U = 0\). Если бы была задана сила отпускания \(F_{отп}\), то расчет был бы аналогичен пункту 1, но с \(F_{отп}\) вместо \(F\). Поскольку такой информации нет, и пренебрегается массой и силой пружин, то наиболее логичным ответом будет: Напряжение для гарантированного отпускания \(U_{отп} = 0\) В. Окончательные результаты: 1. Для гарантированного притягивания подвижной части магнитопровода к неподвижной: Число витков обмотки \(N = 51\) виток. Напряжение обмотки \(U = 0,16\) В. 2. Напряжение обмотки с найденными параметрами, при котором произойдет гарантированное отпускание подвижной части магнитопровода от неподвижной: \(U_{отп} = 0\) В (при условии, что отпускание происходит при снятии напряжения, так как другие силы не учитываются).