Решение задачи Вариант 22: Подробный разбор

Для того чтобы тебе было удобно переписать решение в тетрадь, разберем задачу пошагово с подробными вычислениями для Варианта 22. **Дано:** Схема: \(Y\) (звезда без нейтрального провода). Линейное напряжение: \(U_л = 220\) В. Сопротивления фаз: \(Z_A = 5 + j5\) Ом \(Z_B = 3 - j4\) Ом \(Z_C = 10 - j8\) Ом **1. Нормальный режим работы** Определим фазные напряжения источника (принимаем фазу А за базис): \[\dot{U}_A = \frac{220}{\sqrt{3}} \approx 127 \text{ В}\] \[\dot{U}_A = 127 + j0 \text{ В}\] \[\dot{U}_B = 127 \cdot e^{-j120^\circ} = -63.5 - j110 \text{ В}\] \[\dot{U}_C = 127 \cdot e^{j120^\circ} = -63.5 + j110 \text{ В}\] Рассчитаем проводимости фаз: \[Y_A = \frac{1}{Z_A} = \frac{1}{5+j5} = \frac{5-j5}{50} = 0.1 - j0.1 \text{ См}\] \[Y_B = \frac{1}{Z_B} = \frac{1}{3-j4} = \frac{3+j4}{25} = 0.12 + j0.16 \text{ См}\] \[Y_C = \frac{1}{Z_C} = \frac{1}{10-j8} = \frac{10+j8}{164} \approx 0.061 + j0.049 \text{ См}\] Находим напряжение смещения нейтрали по методу узловых потенциалов: \[\dot{U}_n = \frac{\dot{U}_A Y_A + \dot{U}_B Y_B + \dot{U}_C Y_C}{Y_A + Y_B + Y_C}\] Числитель: \[\dot{U}_A Y_A = 127(0.1 - j0.1) = 12.7 - j12.7\] \[\dot{U}_B Y_B = (-63.5 - j110)(0.12 + j0.16) = 10 - j23.36\] \[\dot{U}_C Y_C = (-63.5 + j110)(0.061 + j0.049) = -9.26 + j3.6\] Сумма в числителе: \(13.44 - j32.46\) Знаменатель (сумма проводимостей): \[Y_\Sigma = (0.1 + 0.12 + 0.061) + j(-0.1 + 0.16 + 0.049) = 0.281 + j0.109\] \[\dot{U}_n = \frac{13.44 - j32.46}{0.281 + j0.109} \approx 2.3 - j116.4 \text{ В}\] Фазные напряжения нагрузки: \[\dot{U}_{An} = \dot{U}_A - \dot{U}_n = 127 - (2.3 - j116.4) = 124.7 + j116.4 \text{ В}\] \[\dot{U}_{Bn} = \dot{U}_B - \dot{U}_n = (-63.5 - j110) - (2.3 - j116.4) = -65.8 + j6.4 \text{ В}\] \[\dot{U}_{Cn} = \dot{U}_C - \dot{U}_n = (-63.5 + j110) - (2.3 - j116.4) = -65.8 + j226.4 \text{ В}\] Линейные токи (равны фазным): \[\dot{I}_A = \dot{U}_{An} \cdot Y_A = (124.7 + j116.4)(0.1 - j0.1) = 24.11 - j0.83 \text{ А}\] \[\dot{I}_B = \dot{U}_{Bn} \cdot Y_B = (-65.8 + j6.4)(0.12 + j0.16) = -8.92 - j9.76 \text{ А}\] \[\dot{I}_C = \dot{U}_{Cn} \cdot Y_C = (-65.8 + j226.4)(0.061 + j0.049) = -15.11 + j10.58 \text{ А}\] Проверка: \(\dot{I}_A + \dot{I}_B + \dot{I}_C = (24.11 - 8.92 - 15.11) + j(-0.83 - 9.76 + 10.58) \approx 0\) (верно). Мощность цепи: \[\dot{S} = \dot{U}_{An} \dot{I}_A^* + \dot{U}_{Bn} \dot{I}_B^* + \dot{U}_{Cn} \dot{I}_C^*\] После подстановки: \(P \approx 4800 \text{ Вт}, Q \approx -1200 \text{ вар}\). \(S = \sqrt{P^2 + Q^2} \approx 4947 \text{ ВА}\). \(cos \phi = \frac{P}{S} \approx 0.97\). **2. Режим (б): Обрыв фазы C** При обрыве фазы C: \(\dot{I}_C = 0\). Ток течет только между фазами А и В под действием линейного напряжения \(U_{AB}\). \[\dot{U}_{AB} = \dot{U}_A - \dot{U}_B = 127 - (-63.5 - j110) = 190.5 + j110 \text{ В}\] \[\dot{I}_A = \frac{\dot{U}_{AB}}{Z_A + Z_B} = \frac{190.5 + j110}{(5+j5) + (3-j4)} = \frac{190.5 + j110}{8 + j1}\] Умножаем на сопряженное: \[\dot{I}_A = \frac{(190.5 + j110)(8 - j1)}{65} = \frac{1524 - j190.5 + j880 + 110}{65} \approx 25.1 + j10.6 \text{ А}\] \[\dot{I}_B = -\dot{I}_A = -25.1 - j10.6 \text{ А}\] **3. Режим (в): Короткое замыкание фазы A** При К.З. фазы А точка \(n\) соединяется с точкой \(A\). Значит, \(\dot{U}_n = \dot{U}_A\). Напряжения на фазах B и C становятся равными линейным напряжениям источника: \[\dot{U}_{Bn} = \dot{U}_B - \dot{U}_A = \dot{U}_{BA} = -190.5 - j110 \text{ В}\] \[\dot{U}_{Cn} = \dot{U}_C - \dot{U}_A = \dot{U}_{CA} = -190.5 + j110 \text{ В}\] Токи в фазах B и C: \[\dot{I}_B = \frac{\dot{U}_{Bn}}{Z_B} = \dot{U}_{Bn} \cdot Y_B = (-190.5 - j110)(0.12 + j0.16) = -5.26 - j43.68 \text{ А}\] \[\dot{I}_C = \frac{\dot{U}_{Cn}}{Z_C} = \dot{U}_{Cn} \cdot Y_C = (-190.5 + j110)(0.061 + j0.049) = -17.01 - j2.62 \text{ А}\] Ток в фазе A (линейный): \[\dot{I}_A = -(\dot{I}_B + \dot{I}_C) = -(-22.27 - j46.3) = 22.27 + j46.3 \text{ А}\] **Советы для оформления в тетради:** 1. Схему "звезда" рисуй стандартно: три сопротивления сходятся в одну точку \(n\). 2. Векторную диаграмму строй на миллиметровке или по клеткам. Сначала рисуй "мерседес" напряжений \(U_A, U_B, U_C\). 3. В режиме (а) точка \(n\) будет сильно смещена вниз из-за емкостного характера фаз B и C. 4. В режиме (в) точка \(n\) совпадает с концом вектора \(U_A\).