Решение задачи: Напряжение смещения нейтрали

Для того чтобы расчеты было удобно переписать в тетрадь, разберем нахождение напряжения смещения нейтрали и последующих величин максимально подробно. \[1. \text{ Расчет проводимостей фаз (в комплексной форме):}\] \[Y_A = \frac{1}{Z_A} = \frac{1}{5 + j5} = \frac{5 - j5}{5^2 + 5^2} = \frac{5 - j5}{50} = 0,1 - j0,1 \text{ См}\] \[Y_B = \frac{1}{Z_B} = \frac{1}{3 - j4} = \frac{3 + j4}{3^2 + (-4)^2} = \frac{3 + j4}{25} = 0,12 + j0,16 \text{ См}\] \[Y_C = \frac{1}{Z_C} = \frac{1}{10 - j8} = \frac{10 + j8}{10^2 + (-8)^2} = \frac{10 + j8}{164} \approx 0,061 + j0,049 \text{ См}\] \[2. \text{ Суммарная проводимость цепи:}\] \[Y_\Sigma = Y_A + Y_B + Y_C = (0,1 + 0,12 + 0,061) + j(-0,1 + 0,16 + 0,049)\] \[Y_\Sigma = 0,281 + j0,109 \text{ См}\] \[3. \text{ Фазные напряжения источника (ЭДС):}\] Примем \(U_л = 220\) В, тогда фазное \(U_ф = \frac{220}{\sqrt{3}} \approx 127\) В. \[\dot{U}_A = 127 + j0 \text{ В}\] \[\dot{U}_B = 127 \cdot e^{-j120^\circ} = 127 \cdot (\cos(-120^\circ) + j\sin(-120^\circ)) = -63,5 - j110 \text{ В}\] \[\dot{U}_C = 127 \cdot e^{j120^\circ} = 127 \cdot (\cos(120^\circ) + j\sin(120^\circ)) = -63,5 + j110 \text{ В}\] \[4. \text{ Расчет напряжения смещения нейтрали } \dot{U}_n:\] Формула метода узловых потенциалов: \[\dot{U}_n = \frac{\dot{U}_A Y_A + \dot{U}_B Y_B + \dot{U}_C Y_C}{Y_\Sigma}\] Числитель: \[\dot{U}_A Y_A = 127 \cdot (0,1 - j0,1) = 12,7 - j12,7\] \[\dot{U}_B Y_B = (-63,5 - j110) \cdot (0,12 + j0,16) = -7,62 - j10,16 - j13,2 + 17,6 = 9,98 - j23,36\] \[\dot{U}_C Y_C = (-63,5 + j110) \cdot (0,061 + j0,049) = -3,87 - j3,11 + j6,71 - 5,39 = -9,26 + j3,6\] Сумма числителя: \[\Sigma \dot{U}Y = (12,7 + 9,98 - 9,26) + j(-12,7 - 23,36 + 3,6) = 13,42 - j32,46\] Итоговое смещение: \[\dot{U}_n = \frac{13,42 - j32,46}{0,281 + j0,109} = \frac{(13,42 - j32,46)(0,281 - j0,109)}{0,281^2 + 0,109^2} = \frac{3,77 - j1,46 - j9,12 - 3,54}{0,0789 + 0,0119}\] \[\dot{U}_n = \frac{0,23 - j10,58}{0,0908} \approx 2,53 - j116,5 \text{ В}\] \[5. \text{ Напряжения на фазах нагрузки:}\] \[\dot{U}_{An} = \dot{U}_A - \dot{U}_n = 127 - (2,53 - j116,5) = 124,47 + j116,5 \text{ В}\] \[\dot{U}_{Bn} = \dot{U}_B - \dot{U}_n = (-63,5 - j110) - (2,53 - j116,5) = -66,03 + j6,5 \text{ В}\] \[\dot{U}_{Cn} = \dot{U}_C - \dot{U}_n = (-63,5 + j110) - (2,53 - j116,5) = -66,03 + j226,5 \text{ В}\] \[6. \text{ Фазные (линейные) токи:}\] \[\dot{I}_A = \dot{U}_{An} \cdot Y_A = (124,47 + j116,5)(0,1 - j0,1) = 12,45 - j12,45 + j11,65 + 11,65 = 24,1 - j0,8 \text{ А}\] \[\dot{I}_B = \dot{U}_{Bn} \cdot Y_B = (-66,03 + j6,5)(0,12 + j0,16) = -7,92 - j10,56 + j0,78 - 1,04 = -8,96 - j9,78 \text{ А}\] \[\dot{I}_C = \dot{U}_{Cn} \cdot Y_C = (-66,03 + j226,5)(0,061 + j0,049) = -4,03 - j3,24 + j13,82 - 11,1 = -15,13 + j10,58 \text{ А}\] \[7. \text{ Проверка по первому закону Кирхгофа:}\] \[\dot{I}_A + \dot{I}_B + \dot{I}_C = (24,1 - 8,96 - 15,13) + j(-0,8 - 9,78 + 10,58) = 0,01 + j0 \approx 0\] (Незначительная погрешность вызвана округлением). Расчет выполнен верно.