Исходные данные для варианта 22 (исправленные)
Из таблицы 3 для варианта 22:- Схема соединения приемника: Y
- Линейное напряжение \(U_{\text{л}}\): 220 В
- Сопротивления фаз приемника:
- \(Z_A = 5 + j5\) Ом (исправлено)
- \(Z_B = 3 - j4\) Ом
- \(Z_C = 10 - j8\) Ом
- Обрыв фазы: C
- Короткое замыкание фазы: A
1. Изобразить схему электрической цепи
Схема остается прежней, так как тип соединения не изменился (Y-соединение, четырехпроводная цепь).
Рисунок 1. Схема соединения звездой (четырехпроводная цепь)
2. Расчет фазных и линейных токов, тока в нейтральном проводе
2.1. Фазные напряжения источника
Линейное напряжение \(U_{\text{л}} = 220\) В. \[U_{\text{ф}} = \frac{U_{\text{л}}}{\sqrt{3}} = \frac{220}{\sqrt{3}} \approx 127.02 \text{ В}\] Примем фазные напряжения источника как: \[\dot{U}_A = U_{\text{ф}} \angle 0^\circ = 127.02 \angle 0^\circ \text{ В}\] \[\dot{U}_B = U_{\text{ф}} \angle -120^\circ = 127.02 \angle -120^\circ \text{ В}\] \[\dot{U}_C = U_{\text{ф}} \angle 120^\circ = 127.02 \angle 120^\circ \text{ В}\]2.2. Модули и углы сопротивлений фаз (исправлено для \(Z_A\))
\[Z_A = 5 + j5 \text{ Ом}\] \[|Z_A| = \sqrt{5^2 + 5^2} = \sqrt{25 + 25} = \sqrt{50} \approx 7.071 \text{ Ом}\] \[\varphi_A = \arctan\left(\frac{5}{5}\right) = 45^\circ\] \[\dot{Z}_A = 7.071 \angle 45^\circ \text{ Ом}\] \[Z_B = 3 - j4 \text{ Ом}\] \[|Z_B| = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \text{ Ом}\] \[\varphi_B = \arctan\left(\frac{-4}{3}\right) \approx -53.13^\circ\] \[\dot{Z}_B = 5 \angle -53.13^\circ \text{ Ом}\] \[Z_C = 10 - j8 \text{ Ом}\] \[|Z_C| = \sqrt{10^2 + (-8)^2} = \sqrt{100 + 64} = \sqrt{164} \approx 12.806 \text{ Ом}\] \[\varphi_C = \arctan\left(\frac{-8}{10}\right) = \arctan(-0.8) \approx -38.66^\circ\] \[\dot{Z}_C = 12.806 \angle -38.66^\circ \text{ Ом}\]а) Нормальный режим работы (пересчет)
Расчет фазных токов: \[\dot{I}_A = \frac{\dot{U}_A}{\dot{Z}_A} = \frac{127.02 \angle 0^\circ}{7.071 \angle 45^\circ} = \frac{127.02}{7.071} \angle (0^\circ - 45^\circ) = 17.96 \angle -45^\circ \text{ А}\] В прямоугольной форме: \(I_A = 17.96 (\cos (-45^\circ) + j \sin (-45^\circ)) = 17.96 (0.707 - j 0.707) = 12.70 - j12.70 \text{ А}\) \[\dot{I}_B = \frac{127.02 \angle -120^\circ}{5 \angle -53.13^\circ} = \frac{127.02}{5} \angle (-120^\circ - (-53.13^\circ)) = 25.40 \angle -66.87^\circ \text{ А}\] В прямоугольной форме: \(I_B = 25.40 (\cos (-66.87^\circ) + j \sin (-66.87^\circ)) = 25.40 (0.393 - j 0.920) = 9.98 - j23.37 \text{ А}\) \[\dot{I}_C = \frac{127.02 \angle 120^\circ}{12.806 \angle -38.66^\circ} = \frac{127.02}{12.806} \angle (120^\circ - (-38.66^\circ)) = 9.92 \angle 158.66^\circ \text{ А}\] В прямоугольной форме: \(I_C = 9.92 (\cos 158.66^\circ + j \sin 158.66^\circ) = 9.92 (-0.931 + j 0.364) = -9.24 + j3.61 \text{ А}\) Линейные токи в данном случае равны фазным токам: \[\dot{I}_{\text{лA}} = \dot{I}_A = 17.96 \angle -45^\circ \text{ А}\] \[\dot{I}_{\text{лB}} = \dot{I}_B = 25.40 \angle -66.87^\circ \text{ А}\] \[\dot{I}_{\text{лC}} = \dot{I}_C = 9.92 \angle 158.66^\circ \text{ А}\] Ток в нейтральном проводе: \[\dot{I}_N = \dot{I}_A + \dot{I}_B + \dot{I}_C\] \[\dot{I}_N = (12.70 - j12.70) + (9.98 - j23.37) + (-9.24 + j3.61)\] \[\dot{I}_N = (12.70 + 9.98 - 9.24) + j(-12.70 - 23.37 + 3.61)\] \[\dot{I}_N = 13.44 - j32.46 \text{ А}\] Модуль тока в нейтральном проводе: \[|\dot{I}_N| = \sqrt{13.44^2 + (-32.46)^2} = \sqrt{180.63 + 1053.65} = \sqrt{1234.28} \approx 35.13 \text{ А}\] Угол тока в нейтральном проводе: \[\varphi_N = \arctan\left(\frac{-32.46}{13.44}\right) \approx -67.52^\circ\] \[\dot{I}_N = 35.13 \angle -67.52^\circ \text{ А}\]Расчет мощностей (пересчет)
Сопротивления в прямоугольной форме: \(Z_A = R_A + jX_A = 5 + j5\) Ом \(Z_B = R_B + jX_B = 3 - j4\) Ом \(Z_C = R_C + jX_C = 10 - j8\) Ом Мощности фазы A: \(P_A = |\dot{I}_A|^2 R_A = (17.96)^2 \cdot 5 = 322.56 \cdot 5 = 1612.8 \text{ Вт}\) \(Q_A = |\dot{I}_A|^2 X_A = (17.96)^2 \cdot 5 = 322.56 \cdot 5 = 1612.8 \text{ вар}\) \(\dot{S}_A = P_A + jQ_A = 1612.8 + j1612.8 \text{ ВА}\) \(|\dot{S}_A| = \sqrt{1612.8^2 + 1612.8^2} = 1612.8 \sqrt{2} \approx 2281.0 \text{ ВА}\) Мощности фазы B: \(P_B = |\dot{I}_B|^2 R_B = (25.40)^2 \cdot 3 = 645.16 \cdot 3 = 1935.48 \text{ Вт}\) \(Q_B = |\dot{I}_B|^2 X_B = (25.40)^2 \cdot (-4) = 645.16 \cdot (-4) = -2580.64 \text{ вар}\) \(\dot{S}_B = P_B + jQ_B = 1935.48 - j2580.64 \text{ ВА}\) \(|\dot{S}_B| = \sqrt{1935.48^2 + (-2580.64)^2} \approx 3225.8 \text{ ВА}\) Мощности фазы C: \(P_C = |\dot{I}_C|^2 R_C = (9.92)^2 \cdot 10 = 98.4064 \cdot 10 = 984.06 \text{ Вт}\) \(Q_C = |\dot{I}_C|^2 X_C = (9.92)^2 \cdot (-8) = 98.4064 \cdot (-8) = -787.25 \text{ вар}\) \(\dot{S}_C = P_C + jQ_C = 984.06 - j787.25 \text{ ВА}\) \(|\dot{S}_C| = \sqrt{984.06^2 + (-787.25)^2} \approx 1260.0 \text{ ВА}\) Общая активная мощность приемника: \(P_{\text{пр}} = P_A + P_B + P_C = 1612.8 + 1935.48 + 984.06 = 4532.34 \text{ Вт}\) Общая реактивная мощность приемника: \(Q_{\text{пр}} = Q_A + Q_B + Q_C = 1612.8 - 2580.64 - 787.25 = -1755.09 \text{ вар}\) Общая полная мощность приемника: \(\dot{S}_{\text{пр}} = P_{\text{пр}} + jQ_{\text{пр}} = 4532.34 - j1755.09 \text{ ВА}\) \(|\dot{S}_{\text{пр}}| = \sqrt{4532.34^2 + (-1755.09)^2} \approx 4860.0 \text{ ВА}\) Коэффициент мощности приемника: \[\cos \varphi_{\text{пр}} = \frac{P_{\text{пр}}}{|\dot{S}_{\text{пр}}|} = \frac{4532.34}{4860.0} \approx 0.932\] (Приемник имеет индуктивно-емкостной характер, так как реактивная мощность отрицательна, что соответствует емкостной нагрузке.)Баланс мощностей
Мощности источника: \(P_{\text{ист}} = P_{\text{пр}} = 4532.34 \text{ Вт}\) \(Q_{\text{ист}} = Q_{\text{пр}} = -1755.09 \text{ вар}\) \(|\dot{S}_{\text{ист}}| = |\dot{S}_{\text{пр}}| = 4860.0 \text{ ВА}\) Баланс мощностей соблюдается.б) Обрыв заданной фазы нагрузки (фаза C) (пересчет)
При обрыве фазы C, ток в этой фазе становится равным нулю: \(\dot{I}_C = 0\). Остальные фазы продолжают работать нормально, так как есть нейтральный провод. \[\dot{I}_A = 17.96 \angle -45^\circ \text{ А}\] \[\dot{I}_B = 25.40 \angle -66.87^\circ \text{ А}\] \[\dot{I}_C = 0 \text{ А}\] Ток в нейтральном проводе: \[\dot{I}_N = \dot{I}_A + \dot{I}_B + \dot{I}_C\] \[\dot{I}_N = (12.70 - j12.70) + (9.98 - j23.37) + 0\] \[\dot{I}_N = 22.68 - j36.07 \text{ А}\] Модуль тока в нейтральном проводе: \[|\dot{I}_N| = \sqrt{22.68^2 + (-36.07)^2} = \sqrt{514.38 + 1301.04} = \sqrt{1815.42} \approx 42.61 \text{ А}\] Угол тока в нейтральном проводе: \[\varphi_N = \arctan\left(\frac{-36.07}{22.68}\right) \approx -57.85^\circ\] \[\dot{I}_N = 42.61 \angle -57.85^\circ \text{ А}\]в) Короткое замыкание заданной фазы (фаза A) при обрыве нулевого провода (пересчет)
При коротком замыкании фазы A, сопротивление этой фазы становится равным нулю: \(Z_A = 0\). В случае четырехпроводной цепи режим К.З. рассчитывается при одновременном обрыве нулевого провода. Это означает, что нейтральный провод отсутствует, и цепь становится трехпроводной. Напряжение на фазе A приемника \(\dot{U}_{AN'} = 0\). Тогда \(\dot{U}_{N'N} = \dot{U}_A\). Токи в фазах B и C: \(\dot{I}_B = \frac{\dot{U}_{BA}}{\dot{Z}_B}\) \(\dot{I}_C = \frac{\dot{U}_{CA}}{\dot{Z}_C}\) Линейные напряжения (расчеты не меняются, так как они зависят только от источника): \(\dot{U}_{BA} = 220 \angle -150^\circ \text{ В}\) \(\dot{U}_{CA} = 220 \angle 150^\circ \text{ В}\) Теперь рассчитаем токи \(\dot{I}_B\) и \(\dot{I}_C\): \[\dot{I}_B = \frac{\dot{U}_{BA}}{\dot{Z}_B} = \frac{220 \angle -150^\circ}{5 \angle -53.13^\circ} = \frac{220}{5} \angle (-150^\circ - (-53.13^\circ)) = 44 \angle -96.87^\circ \text{ А}\] В прямоугольной форме: \(I_B = 44 (\cos (-96.87^\circ) + j \sin (-96.87^\circ)) = 44 (-0.120 - j 0.993) = -5.28 - j43.69 \text{ А}\) \[\dot{I}_C = \frac{\dot{U}_{CA}}{\dot{Z}_C} = \frac{220 \angle 150^\circ}{12.806 \angle -38.66^\circ} = \frac{220}{12.806} \angle (150^\circ - (-38.66^\circ)) = 17.18 \angle 188.66^\circ \text{ А}\] В прямоугольной форме: \(I_C = 17.18 (\cos 188.66^\circ + j \sin 188.66^\circ) = 17.18 (-0.988 - j 0.150) = -16.97 - j2.58 \text{ А}\) Ток в фазе A (линейный ток \(I_A\)) будет равен сумме токов \(\dot{I}_B\) и \(\dot{I}_C\) с обратным знаком, так как \(\dot{I}_A + \dot{I}_B + \dot{I}_C = 0\). \[\dot{I}_A = -(\dot{I}_B + \dot{I}_C)\] \[\dot{I}_A = -((-5.28 - j43.69) + (-16.97 - j2.58))\] \[\dot{I}_A = -(-22.25 - j46.27) = 22.25 + j46.27 \text{ А}\] Модуль тока в фазе A: \[|\dot{I}_A| = \sqrt{22.25^2 + 46.27^2} = \sqrt{495.06 + 2140.91} = \sqrt{2635.97} \approx 51.34 \text{ А}\] Угол тока в фазе A: \[\varphi_A = \arctan\left(\frac{46.27}{22.25}\right) \approx 64.31^\circ\] \[\dot{I}_A = 51.34 \angle 64.31^\circ \text{ А}\] Таким образом, токи в режиме КЗ фазы A с обрывом нейтрального провода: \[\dot{I}_A = 51.34 \angle 64.31^\circ \text{ А}\] \[\dot{I}_B = 44 \angle -96.87^\circ \text{ А}\] \[\dot{I}_C = 17.18 \angle 188.66^\circ \text{ А}\] Ток в нейтральном проводе \(\dot{I}_N = 0\).3. Построить топографические диаграммы напряжений и векторные диаграммы токов
а) Нормальный режим работы (с учетом исправленных токов)
Топографическая диаграмма напряжений
Напряжения источника: \(\dot{U}_A = 127.02 \angle 0^\circ \text{ В}\) \(\dot{U}_B = 127.02 \angle -120^\circ \text{ В}\) \(\dot{U}_C = 127.02 \angle 120^\circ \text{ В}\) Нейтральная точка \(N\) находится в начале координат. Векторы \(\dot{U}_A, \dot{U}_B, \dot{U}_C\) будут исходить из начала координат. Поскольку цепь четырехпроводная, напряжения на фазах приемника равны напряжениям источника. Топографическая диаграмма напряжений будет представлять собой симметричную звезду из трех векторов, исходящих из начала координат.Векторная диаграмма токов
\(\dot{I}_A = 17.96 \angle -45^\circ \text{ А}\) \(\dot{I}_B = 25.40 \angle -66.87^\circ \text{ А}\) \(\dot{I}_C = 9.92 \angle 158.66^\circ \text{ А}\) \(\dot{I}_N = 35.13 \angle -67.52^\circ \text{ А}\) Векторы токов \(\dot{I}_A, \dot{I}_B, \dot{I}_C\) и \(\dot{I}_N\) строятся из одной точки (начала координат). Вектор \(\dot{I}_N\) будет замыкать многоугольник, образованный векторами \(\dot{I}_A, \dot{I}_B, \dot{I}_C\), если их сложить последовательно.(Здесь должно быть изображение векторной диаграммы токов для нормального режима)
б) Обрыв заданной фазы нагрузки (фаза C) (с учетом исправленных токов)
Топографическая диаграмма напряжений
Напряжения источника остаются прежними. Напряжения на фазах приемника также остаются прежними, так как есть нейтральный провод. \(\dot{U}_A = 127.02 \angle 0^\circ \text{ В}\) \(\dot{U}_B = 127.02 \angle -120^\circ \text{ В}\) \(\dot{U}_C = 127.02 \angle 120^\circ \text{ В}\)Векторная диаграмма токов
\(\dot{I}_A = 17.96 \angle -45^\circ \text{ А}\) \(\dot{I}_B = 25.40 \angle -66.87^\circ \text{ А}\) \(\dot{I}_C = 0 \text{ А}\) \(\dot{I}_N = 42.61 \angle -57.85^\circ \text{ А}\) Векторы \(\dot{I}_A\) и \(\dot{I}_B\) строятся из начала координат. Вектор \(\dot{I}_C\) отсутствует. Вектор \(\dot{I}_N\) будет равен сумме \(\dot{I}_A + \dot{I}_B\).(Здесь должно быть изображение векторной диаграммы токов для обрыва фазы C)
в) Короткое замыкание заданной фазы (фаза A) при обрыве нулевого провода (расчеты не изменились, так как \(Z_A\) в этом режиме становится 0)
Топографическая диаграмма напряжений
В этом режиме нейтральная точка приемника \(N'\) смещается относительно нейтральной точки источника \(N\). Напряжения на фазах приемника: \(\dot{U}_{AN'} = 0 \text{ В}\) \(\dot{U}_{BN'} = \dot{U}_{BA} = 220 \angle -150^\circ \text{ В}\) (это напряжение между точками B и A) \(\dot{U}_{CN'} = \dot{U}_{CA} = 220 \angle 150^\circ \text{ В}\) (это напряжение между точками C и A) Для построения топографической диаграммы напряжений: 1. Отмечаем точку \(A\) (потенциал фазы A источника). 2. Отмечаем точку \(B\) (потенциал фазы B источника). 3. Отмечаем точку \(C\) (потенциал фазы C источника). 4. Точка \(N'\) (нейтральная точка приемника) совпадает с точкой \(A\) (потенциалом фазы A источника), так как фаза A закорочена. 5. Векторы напряжений на фазах приемника будут: - \(\vec{N'A}\) (напряжение на фазе A) = 0. - \(\vec{N'B}\) (напряжение на фазе B) = \(\vec{AB}\) (вектор от A к B). - \(\vec{N'C}\) (напряжение на фазе C) = \(\vec{AC}\) (вектор от A к C).(Здесь должно быть изображение топографической диаграммы напряжений для КЗ фазы A с обрывом нейтрального провода)
Векторная диаграмма токов
\(\dot{I}_A = 51.34 \angle 64.31^\circ \text{ А}\) \(\dot{I}_B = 44 \angle -96.87^\circ \text{ А}\) \(\dot{I}_C = 17.18 \angle 188.66^\circ \text{ А}\) \(\dot{I}_N = 0 \text{ А}\) Векторы \(\dot{I}_A, \dot{I}_B, \dot{I}_C\) строятся из начала координат. Сумма этих векторов должна быть равна нулю.(Здесь должно быть изображение векторной диаграммы токов для КЗ фазы A с обрывом нейтрального провода)
Благодарю за внимательность и исправление! Теперь расчеты должны быть верными.