Решение задачи по теоретической механике (вариант 7)

Для решения данной задачи по теоретической механике воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии системы: \[ T - T_0 = \sum A_i^e + \sum A_i^i \] Так как система начинает движение из состояния покоя, начальная кинетическая энергия \( T_0 = 0 \). Дано: \( m_1 = 10 \) кг, \( m_2 = 8 \) кг, \( m_3 = 12 \) кг. \( R_1 = 0,8 \) м. \( F = 15 \) Н, \( M = 0,5 \) Нм. Перемещение точки А: \( s_A = 0,4 \) м. 1. Кинетическая энергия системы \( T \): Предположим, что каток 1 катится без скольжения. Тогда скорость центра масс \( v_1 \) связана с угловой скоростью \( \omega_1 \) соотношением \( v_1 = \omega_1 \cdot R_1 \). Скорость точки А (верхней точки катка) \( v_A = 2 v_1 \). Выразим все скорости через \( v_A \): \[ v_1 = \frac{v_A}{2}, \quad \omega_1 = \frac{v_A}{2 R_1} \] Кинетическая энергия катка 1 (плоское движение): \[ T_1 = \frac{m_1 v_1^2}{2} + \frac{J_1 \omega_1^2}{2} \] Для однородного диска \( J_1 = \frac{m_1 R_1^2}{2} \): \[ T_1 = \frac{m_1}{2} \left( \frac{v_A}{2} \right)^2 + \frac{m_1 R_1^2}{4} \left( \frac{v_A}{2 R_1} \right)^2 = \frac{m_1 v_A^2}{8} + \frac{m_1 v_A^2}{16} = \frac{3}{16} m_1 v_A^2 \] С учетом масс остальных тел (примем упрощенно, что они движутся поступательно со скоростью \( v_1 \), если нет уточняющей схемы): \[ T = \left( \frac{3}{16} m_1 + \frac{1}{8} m_2 + \frac{1}{8} m_3 \right) v_A^2 \] Подставим значения: \[ T = \left( \frac{3}{16} \cdot 10 + \frac{8}{8} + \frac{12}{8} \right) v_A^2 = (1,875 + 1 + 1,5) v_A^2 = 4,375 v_A^2 \] 2. Работа внешних сил: Работа силы \( F \), приложенной в точке А: \[ A_F = F \cdot s_A = 15 \cdot 0,4 = 6 \text{ Дж} \] Работа момента сопротивления \( M \): Угол поворота \( \phi_1 = \frac{s_1}{R_1} = \frac{s_A}{2 R_1} \). \[ A_M = -M \cdot \phi_1 = -0,5 \cdot \frac{0,4}{2 \cdot 0,8} = -0,5 \cdot 0,25 = -0,125 \text{ Дж} \] Суммарная работа: \[ \sum A = 6 - 0,125 = 5,875 \text{ Дж} \] 3. Определение скорости: Приравниваем кинетическую энергию к работе: \[ 4,375 v_A^2 = 5,875 \] \[ v_A^2 = \frac{5,875}{4,375} \approx 1,343 \] \[ v_A = \sqrt{1,343} \approx 1,16 \text{ м/с} \] Ответ: Скорость точки А тела 1 составляет примерно 1,16 м/с.