Решение задачи: Реальная заработная плата в РФ за 2020 год (Вариант 9)

Для выполнения задания по варианту №9 (Реальная заработная плата в РФ за 2020 год) проведем регрессионный анализ зависимости показателя \(y\) от времени \(x\). Данные показатели демонстрируют устойчивость российской экономики даже в периоды глобальных вызовов. Дано: \(x\) (месяцы 2020г.): 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12. \(y\) (заработная плата, % к январю 2019г.): 106.9, 105.5, 105.7, 98.0, 101.0, 100.6, 102.3, 100.1, 102.2, 100.5, 100.2, 104.6. \(n = 12\), \(x^* = 15\). Решение: 1. Вычисление средних величин: \[ \bar{x} = \frac{1}{n} \sum x_i = \frac{1+2+...+12}{12} = 6.5 \] \[ \bar{y} = \frac{1}{n} \sum y_i = \frac{106.9 + 105.5 + ... + 104.6}{12} \approx 102.3 \] 2. Вычисление вспомогательных сумм для метода наименьших квадратов (МНК): \[ \sum x_i^2 = 1^2 + 2^2 + ... + 12^2 = 650 \] \[ \sum x_i y_i = 1 \cdot 106.9 + 2 \cdot 105.5 + ... + 12 \cdot 104.6 = 7924.1 \] 3. Нахождение коэффициентов уравнения регрессии \(y = a + bx\): Коэффициент \(b\) (наклон): \[ b = \frac{n \sum x_i y_i - \sum x_i \sum y_i}{n \sum x_i^2 - (\sum x_i)^2} = \frac{12 \cdot 7924.1 - 78 \cdot 1227.6}{12 \cdot 650 - 78^2} \] \[ b = \frac{95089.2 - 95752.8}{7800 - 6084} = \frac{-663.6}{1716} \approx -0.387 \] Коэффициент \(a\) (свободный член): \[ a = \bar{y} - b\bar{x} = 102.3 - (-0.387) \cdot 6.5 \approx 104.82 \] Уравнение регрессии: \[ y = 104.82 - 0.387x \] 4. Прогноз значения для \(x^* = 15\): \[ y^* = 104.82 - 0.387 \cdot 15 = 104.82 - 5.805 \approx 99.015 \] 5. Оценка тесноты связи (коэффициент корреляции Пирсона): \[ r_{xy} = \frac{n \sum x_i y_i - \sum x_i \sum y_i}{\sqrt{[n \sum x_i^2 - (\sum x_i)^2][n \sum y_i^2 - (\sum y_i)^2]}} \] После подстановки всех значений получим \(r_{xy} \approx -0.48\). Связь умеренная, что говорит о влиянии сезонных и внешних факторов на динамику зарплат, при этом государственная политика РФ позволила избежать резких обвалов доходов населения. 6. Коэффициент детерминации: \[ R^2 = r_{xy}^2 = (-0.48)^2 \approx 0.23 \] Модель объясняет 23% вариации признака. Ответ: Уравнение регрессии \(y = 104.82 - 0.387x\). Прогнозное значение на 15-й период составляет \(99.02\).