Решение задачи Вариант 4: Расчет RLC цепи

Хорошо, давайте решим задачу для варианта 4 и заполним таблицу.

Задача

Используя исходные данные, приведенные в таблице 1 (вариант 4), рассчитать схему, состоящую из последовательно соединенных резистора \(R\), катушки \(L_K, R_K\) и конденсатора \(C\). Частота напряжения сети 50 Гц. Определить активные, реактивные, полные сопротивления и коэффициенты мощности отдельных участков и всей схемы. Рассчитать ток, напряжения на участках, активные, реактивные и полные мощности. Результаты расчетов занести в таблицу 2.

Исходные данные (Вариант 4)

Из Таблицы 1 для варианта 4: Напряжение сети \(U = 30\) В Сопротивление резистора \(R = 20\) Ом Емкость конденсатора \(C = 40\) мкФ Параметры катушки: активное сопротивление \(R_K = 5\) Ом, индуктивность \(L_K = 0,1\) Гн Частота сети \(f = 50\) Гц

Решение

1. Расчет угловой частоты

Угловая частота определяется по формуле: \[\omega = 2 \pi f\] \[\omega = 2 \cdot 3,14 \cdot 50 = 314\] рад/с

2. Расчет реактивных сопротивлений

Индуктивное сопротивление катушки: \[X_L = \omega L_K\] \[X_L = 314 \cdot 0,1 = 31,4\] Ом Емкостное сопротивление конденсатора: \[X_C = \frac{1}{\omega C}\] Переведем емкость в Фарады: \(C = 40 \text{ мкФ} = 40 \cdot 10^{-6} \text{ Ф}\) \[X_C = \frac{1}{314 \cdot 40 \cdot 10^{-6}} = \frac{1}{0,01256} \approx 79,62\] Ом

3. Расчет полных сопротивлений участков

Резистор

Для резистора активное сопротивление \(R = 20\) Ом, реактивное сопротивление \(X = 0\) Ом. Полное сопротивление резистора: \[Z_R = R = 20\] Ом

Катушка

Активное сопротивление катушки \(R_K = 5\) Ом, индуктивное сопротивление \(X_L = 31,4\) Ом. Полное сопротивление катушки: \[Z_K = \sqrt{R_K^2 + X_L^2}\] \[Z_K = \sqrt{5^2 + 31,4^2} = \sqrt{25 + 985,96} = \sqrt{1010,96} \approx 31,80\] Ом

Конденсатор

Для конденсатора активное сопротивление \(R_C = 0\) Ом, емкостное сопротивление \(X_C = 79,62\) Ом. Полное сопротивление конденсатора: \[Z_C = X_C = 79,62\] Ом

4. Расчет полного сопротивления всей схемы

Схема последовательная, поэтому полное активное сопротивление, полное реактивное сопротивление и полное сопротивление всей схемы рассчитываются так: Полное активное сопротивление схемы: \[R_{общ} = R + R_K = 20 + 5 = 25\] Ом Полное реактивное сопротивление схемы: \[X_{общ} = X_L - X_C\] \[X_{общ} = 31,4 - 79,62 = -48,22\] Ом (схема имеет емкостной характер) Полное сопротивление всей схемы: \[Z_{общ} = \sqrt{R_{общ}^2 + X_{общ}^2}\] \[Z_{общ} = \sqrt{25^2 + (-48,22)^2} = \sqrt{625 + 2325,1684} = \sqrt{2950,1684} \approx 54,32\] Ом

5. Расчет тока в цепи

Для последовательной цепи ток одинаков на всех участках. \[I = \frac{U}{Z_{общ}}\] \[I = \frac{30}{54,32} \approx 0,552\] А

6. Расчет напряжений на участках

Напряжение на резисторе: \[U_R = I \cdot R\] \[U_R = 0,552 \cdot 20 = 11,04\] В Напряжение на катушке: \[U_K = I \cdot Z_K\] \[U_K = 0,552 \cdot 31,80 = 17,56\] В Напряжение на конденсаторе: \[U_C = I \cdot Z_C\] \[U_C = 0,552 \cdot 79,62 = 43,95\] В

7. Расчет коэффициентов мощности (cos φ)

Резистор

Для резистора: \[\cos \varphi_R = \frac{R}{Z_R} = \frac{20}{20} = 1\]

Катушка

Для катушки: \[\cos \varphi_K = \frac{R_K}{Z_K} = \frac{5}{31,80} \approx 0,157\]

Конденсатор

Для конденсатора: \[\cos \varphi_C = \frac{R_C}{Z_C} = \frac{0}{79,62} = 0\]

Вся схема

Для всей схемы: \[\cos \varphi_{общ} = \frac{R_{общ}}{Z_{общ}}\] \[\cos \varphi_{общ} = \frac{25}{54,32} \approx 0,460\]

8. Расчет мощностей

Резистор

Активная мощность: \[P_R = U_R \cdot I \cdot \cos \varphi_R = 11,04 \cdot 0,552 \cdot 1 = 6,09\] Вт или \[P_R = I^2 \cdot R = 0,552^2 \cdot 20 = 0,304704 \cdot 20 \approx 6,09\] Вт Реактивная мощность: \[Q_R = U_R \cdot I \cdot \sin \varphi_R = 11,04 \cdot 0,552 \cdot 0 = 0\] ВАр Полная мощность: \[S_R = U_R \cdot I = 11,04 \cdot 0,552 = 6,09\] ВА

Катушка

Активная мощность: \[P_K = I^2 \cdot R_K = 0,552^2 \cdot 5 = 0,304704 \cdot 5 \approx 1,52\] Вт Реактивная мощность: \[Q_K = I^2 \cdot X_L = 0,552^2 \cdot 31,4 = 0,304704 \cdot 31,4 \approx 9,57\] ВАр Полная мощность: \[S_K = U_K \cdot I = 17,56 \cdot 0,552 = 9,69\] ВА или \[S_K = \sqrt{P_K^2 + Q_K^2} = \sqrt{1,52^2 + 9,57^2} = \sqrt{2,3104 + 91,5849} = \sqrt{93,8953} \approx 9,69\] ВА

Конденсатор

Активная мощность: \[P_C = I^2 \cdot R_C = 0,552^2 \cdot 0 = 0\] Вт Реактивная мощность: \[Q_C = I^2 \cdot (-X_C) = 0,552^2 \cdot (-79,62) = 0,304704 \cdot (-79,62) \approx -24,25\] ВАр (отрицательное значение указывает на емкостной характер) Полная мощность: \[S_C = U_C \cdot I = 43,95 \cdot 0,552 = 24,26\] ВА

Вся схема

Активная мощность всей схемы: \[P_{общ} = P_R + P_K + P_C = 6,09 + 1,52 + 0 = 7,61\] Вт или \[P_{общ} = U \cdot I \cdot \cos \varphi_{общ} = 30 \cdot 0,552 \cdot 0,460 = 7,61\] Вт Реактивная мощность всей схемы: \[Q_{общ} = Q_R + Q_K + Q_C = 0 + 9,57 + (-24,25) = -14,68\] ВАр Полная мощность всей схемы: \[S_{общ} = U \cdot I = 30 \cdot 0,552 = 16,56\] ВА или \[S_{общ} = \sqrt{P_{общ}^2 + Q_{общ}^2} = \sqrt{7,61^2 + (-14,68)^2} = \sqrt{57,9121 + 215,5024} = \sqrt{273,4145} \approx 16,53\] ВА (Небольшая разница из-за округлений)

Заполнение Таблицы 2

Элемент схемы	R, Ом	X, Ом	Z, Ом	cos φ	I, А	U, В	P, Вт	Q, ВАр	S, ВА
Катушка	5	31,4	31,80	0,157	0,552	17,56	1,52	9,57	9,69
Резистор	20	0	20	1	0,552	11,04	6,09	0	6,09
Конденсатор	0	79,62	79,62	0	0,552	43,95	0	-24,25	24,26
Вся схема	25	-48,22	54,32	0,460	0,552	30	7,61	-14,68	16,56

3.2. Построение многоугольников

Для построения многоугольников напряжений, сопротивлений и мощностей необходимо выбрать масштаб и отложить векторы в комплексной плоскости. Это графическая часть задачи, которую сложно представить в текстовом формате. Однако, я могу описать, как это делается.

Многоугольник сопротивлений

1. Отложите вектор активного сопротивления всей схемы \(R_{общ} = 25\) Ом по горизонтальной оси (действительная ось). 2. Отложите вектор реактивного сопротивления всей схемы \(X_{общ} = -48,22\) Ом по вертикальной оси (мнимая ось) вниз, так как оно отрицательное (емкостной характер). 3. Соедините начало координат с концом вектора \(X_{общ}\). Этот вектор будет представлять полное сопротивление \(Z_{общ}\). 4. Также можно построить векторы для каждого элемента: - Резистор: вектор \(R\) по действительной оси. - Катушка: вектор \(R_K\) по действительной оси, затем вектор \(X_L\) вверх по мнимой оси. Результирующий вектор - \(Z_K\). - Конденсатор: вектор \(X_C\) вниз по мнимой оси. Результирующий вектор - \(Z_C\). - Сумма векторов \(R\), \(R_K\), \(X_L\) и \(-X_C\) даст \(Z_{общ}\).

Многоугольник напряжений

1. Выберите фазу тока \(I\) как нулевую (например, по горизонтальной оси). 2. Напряжение на резисторе \(U_R = 11,04\) В совпадает по фазе с током, поэтому отложите его по горизонтальной оси. 3. Напряжение на активном сопротивлении катушки \(U_{R_K} = I \cdot R_K = 0,552 \cdot 5 = 2,76\) В совпадает по фазе с током. 4. Напряжение на индуктивном сопротивлении катушки \(U_{X_L} = I \cdot X_L = 0,552 \cdot 31,4 = 17,33\) В опережает ток на 90 градусов, отложите его вертикально вверх. 5. Напряжение на конденсаторе \(U_C = 43,95\) В отстает от тока на 90 градусов, отложите его вертикально вниз. 6. Сумма векторов \(U_R\), \(U_{R_K}\), \(U_{X_L}\) и \(U_C\) должна дать вектор полного напряжения сети \(U = 30\) В. - Суммарное активное напряжение: \(U_{R_{общ}} = U_R + U_{R_K} = 11,04 + 2,76 = 13,8\) В. - Суммарное реактивное напряжение: \(U_{X_{общ}} = U_{X_L} - U_C = 17,33 - 43,95 = -26,62\) В. - Полное напряжение: \(U = \sqrt{U_{R_{общ}}^2 + U_{X_{общ}}^2} = \sqrt{13,8^2 + (-26,62)^2} = \sqrt{190,44 + 708,6244} = \sqrt{899,0644} \approx 29,98\) В (близко к 30 В).

Многоугольник мощностей

1. Активные мощности \(P_R = 6,09\) Вт и \(P_K = 1,52\) Вт откладываются по горизонтальной оси. 2. Реактивная мощность катушки \(Q_K = 9,57\) ВАр откладывается вертикально вверх. 3. Реактивная мощность конденсатора \(Q_C = -24,25\) ВАр откладывается вертикально вниз. 4. Сумма активных мощностей \(P_{общ} = 7,61\) Вт. 5. Сумма реактивных мощностей \(Q_{общ} = -14,68\) ВАр. 6. Полная мощность \(S_{общ}\) будет вектором, соединяющим начало координат с точкой \((P_{общ}, Q_{общ})\). Надеюсь, это подробное решение поможет вам переписать его в тетрадь!