Хорошо, давайте решим задачу для варианта 4 и заполним таблицу.
Задача
Используя исходные данные, приведенные в таблице 1 (вариант 4), рассчитать схему, состоящую из последовательно соединенных резистора \(R\), катушки \(L_K, R_K\) и конденсатора \(C\). Частота напряжения сети 50 Гц. Определить активные, реактивные, полные сопротивления и коэффициенты мощности отдельных участков и всей схемы. Рассчитать ток, напряжения на участках, активные, реактивные и полные мощности. Результаты расчетов занести в таблицу 2.
Исходные данные (Вариант 4)
Из Таблицы 1 для варианта 4:
Напряжение сети \(U = 30\) В
Сопротивление резистора \(R = 20\) Ом
Емкость конденсатора \(C = 40\) мкФ
Параметры катушки: активное сопротивление \(R_K = 5\) Ом, индуктивность \(L_K = 0,1\) Гн
Частота сети \(f = 50\) Гц
Решение
1. Расчет угловой частоты
Угловая частота определяется по формуле:
\[\omega = 2 \pi f\]
\[\omega = 2 \cdot 3,14 \cdot 50 = 314\] рад/с
2. Расчет реактивных сопротивлений
Индуктивное сопротивление катушки:
\[X_L = \omega L_K\]
\[X_L = 314 \cdot 0,1 = 31,4\] Ом
Емкостное сопротивление конденсатора:
\[X_C = \frac{1}{\omega C}\]
Переведем емкость в Фарады: \(C = 40 \text{ мкФ} = 40 \cdot 10^{-6} \text{ Ф}\)
\[X_C = \frac{1}{314 \cdot 40 \cdot 10^{-6}} = \frac{1}{0,01256} \approx 79,62\] Ом
3. Расчет полных сопротивлений участков
Резистор
Для резистора активное сопротивление \(R = 20\) Ом, реактивное сопротивление \(X = 0\) Ом.
Полное сопротивление резистора:
\[Z_R = R = 20\] Ом
Катушка
Активное сопротивление катушки \(R_K = 5\) Ом, индуктивное сопротивление \(X_L = 31,4\) Ом.
Полное сопротивление катушки:
\[Z_K = \sqrt{R_K^2 + X_L^2}\]
\[Z_K = \sqrt{5^2 + 31,4^2} = \sqrt{25 + 985,96} = \sqrt{1010,96} \approx 31,80\] Ом
Конденсатор
Для конденсатора активное сопротивление \(R_C = 0\) Ом, емкостное сопротивление \(X_C = 79,62\) Ом.
Полное сопротивление конденсатора:
\[Z_C = X_C = 79,62\] Ом
4. Расчет полного сопротивления всей схемы
Схема последовательная, поэтому полное активное сопротивление, полное реактивное сопротивление и полное сопротивление всей схемы рассчитываются так:
Полное активное сопротивление схемы:
\[R_{общ} = R + R_K = 20 + 5 = 25\] Ом
Полное реактивное сопротивление схемы:
\[X_{общ} = X_L - X_C\]
\[X_{общ} = 31,4 - 79,62 = -48,22\] Ом (схема имеет емкостной характер)
Полное сопротивление всей схемы:
\[Z_{общ} = \sqrt{R_{общ}^2 + X_{общ}^2}\]
\[Z_{общ} = \sqrt{25^2 + (-48,22)^2} = \sqrt{625 + 2325,1684} = \sqrt{2950,1684} \approx 54,32\] Ом
5. Расчет тока в цепи
Для последовательной цепи ток одинаков на всех участках.
\[I = \frac{U}{Z_{общ}}\]
\[I = \frac{30}{54,32} \approx 0,552\] А
6. Расчет напряжений на участках
Напряжение на резисторе:
\[U_R = I \cdot R\]
\[U_R = 0,552 \cdot 20 = 11,04\] В
Напряжение на катушке:
\[U_K = I \cdot Z_K\]
\[U_K = 0,552 \cdot 31,80 = 17,56\] В
Напряжение на конденсаторе:
\[U_C = I \cdot Z_C\]
\[U_C = 0,552 \cdot 79,62 = 43,95\] В
7. Расчет коэффициентов мощности (cos φ)
Резистор
Для резистора:
\[\cos \varphi_R = \frac{R}{Z_R} = \frac{20}{20} = 1\]
Катушка
Для катушки:
\[\cos \varphi_K = \frac{R_K}{Z_K} = \frac{5}{31,80} \approx 0,157\]
Конденсатор
Для конденсатора:
\[\cos \varphi_C = \frac{R_C}{Z_C} = \frac{0}{79,62} = 0\]
Вся схема
Для всей схемы:
\[\cos \varphi_{общ} = \frac{R_{общ}}{Z_{общ}}\]
\[\cos \varphi_{общ} = \frac{25}{54,32} \approx 0,460\]
8. Расчет мощностей
Резистор
Активная мощность:
\[P_R = U_R \cdot I \cdot \cos \varphi_R = 11,04 \cdot 0,552 \cdot 1 = 6,09\] Вт
или
\[P_R = I^2 \cdot R = 0,552^2 \cdot 20 = 0,304704 \cdot 20 \approx 6,09\] Вт
Реактивная мощность:
\[Q_R = U_R \cdot I \cdot \sin \varphi_R = 11,04 \cdot 0,552 \cdot 0 = 0\] ВАр
Полная мощность:
\[S_R = U_R \cdot I = 11,04 \cdot 0,552 = 6,09\] ВА
Катушка
Активная мощность:
\[P_K = I^2 \cdot R_K = 0,552^2 \cdot 5 = 0,304704 \cdot 5 \approx 1,52\] Вт
Реактивная мощность:
\[Q_K = I^2 \cdot X_L = 0,552^2 \cdot 31,4 = 0,304704 \cdot 31,4 \approx 9,57\] ВАр
Полная мощность:
\[S_K = U_K \cdot I = 17,56 \cdot 0,552 = 9,69\] ВА
или
\[S_K = \sqrt{P_K^2 + Q_K^2} = \sqrt{1,52^2 + 9,57^2} = \sqrt{2,3104 + 91,5849} = \sqrt{93,8953} \approx 9,69\] ВА
Конденсатор
Активная мощность:
\[P_C = I^2 \cdot R_C = 0,552^2 \cdot 0 = 0\] Вт
Реактивная мощность:
\[Q_C = I^2 \cdot (-X_C) = 0,552^2 \cdot (-79,62) = 0,304704 \cdot (-79,62) \approx -24,25\] ВАр (отрицательное значение указывает на емкостной характер)
Полная мощность:
\[S_C = U_C \cdot I = 43,95 \cdot 0,552 = 24,26\] ВА
Вся схема
Активная мощность всей схемы:
\[P_{общ} = P_R + P_K + P_C = 6,09 + 1,52 + 0 = 7,61\] Вт
или
\[P_{общ} = U \cdot I \cdot \cos \varphi_{общ} = 30 \cdot 0,552 \cdot 0,460 = 7,61\] Вт
Реактивная мощность всей схемы:
\[Q_{общ} = Q_R + Q_K + Q_C = 0 + 9,57 + (-24,25) = -14,68\] ВАр
Полная мощность всей схемы:
\[S_{общ} = U \cdot I = 30 \cdot 0,552 = 16,56\] ВА
или
\[S_{общ} = \sqrt{P_{общ}^2 + Q_{общ}^2} = \sqrt{7,61^2 + (-14,68)^2} = \sqrt{57,9121 + 215,5024} = \sqrt{273,4145} \approx 16,53\] ВА
(Небольшая разница из-за округлений)
Заполнение Таблицы 2
| Элемент схемы |
R, Ом |
X, Ом |
Z, Ом |
cos φ |
I, А |
U, В |
P, Вт |
Q, ВАр |
S, ВА |
| Катушка |
5 |
31,4 |
31,80 |
0,157 |
0,552 |
17,56 |
1,52 |
9,57 |
9,69 |
| Резистор |
20 |
0 |
20 |
1 |
0,552 |
11,04 |
6,09 |
0 |
6,09 |
| Конденсатор |
0 |
79,62 |
79,62 |
0 |
0,552 |
43,95 |
0 |
-24,25 |
24,26 |
| Вся схема |
25 |
-48,22 |
54,32 |
0,460 |
0,552 |
30 |
7,61 |
-14,68 |
16,56 |
3.2. Построение многоугольников
Для построения многоугольников напряжений, сопротивлений и мощностей необходимо выбрать масштаб и отложить векторы в комплексной плоскости. Это графическая часть задачи, которую сложно представить в текстовом формате. Однако, я могу описать, как это делается.
Многоугольник сопротивлений
1. Отложите вектор активного сопротивления всей схемы \(R_{общ} = 25\) Ом по горизонтальной оси (действительная ось).
2. Отложите вектор реактивного сопротивления всей схемы \(X_{общ} = -48,22\) Ом по вертикальной оси (мнимая ось) вниз, так как оно отрицательное (емкостной характер).
3. Соедините начало координат с концом вектора \(X_{общ}\). Этот вектор будет представлять полное сопротивление \(Z_{общ}\).
4. Также можно построить векторы для каждого элемента:
- Резистор: вектор \(R\) по действительной оси.
- Катушка: вектор \(R_K\) по действительной оси, затем вектор \(X_L\) вверх по мнимой оси. Результирующий вектор - \(Z_K\).
- Конденсатор: вектор \(X_C\) вниз по мнимой оси. Результирующий вектор - \(Z_C\).
- Сумма векторов \(R\), \(R_K\), \(X_L\) и \(-X_C\) даст \(Z_{общ}\).
Многоугольник напряжений
1. Выберите фазу тока \(I\) как нулевую (например, по горизонтальной оси).
2. Напряжение на резисторе \(U_R = 11,04\) В совпадает по фазе с током, поэтому отложите его по горизонтальной оси.
3. Напряжение на активном сопротивлении катушки \(U_{R_K} = I \cdot R_K = 0,552 \cdot 5 = 2,76\) В совпадает по фазе с током.
4. Напряжение на индуктивном сопротивлении катушки \(U_{X_L} = I \cdot X_L = 0,552 \cdot 31,4 = 17,33\) В опережает ток на 90 градусов, отложите его вертикально вверх.
5. Напряжение на конденсаторе \(U_C = 43,95\) В отстает от тока на 90 градусов, отложите его вертикально вниз.
6. Сумма векторов \(U_R\), \(U_{R_K}\), \(U_{X_L}\) и \(U_C\) должна дать вектор полного напряжения сети \(U = 30\) В.
- Суммарное активное напряжение: \(U_{R_{общ}} = U_R + U_{R_K} = 11,04 + 2,76 = 13,8\) В.
- Суммарное реактивное напряжение: \(U_{X_{общ}} = U_{X_L} - U_C = 17,33 - 43,95 = -26,62\) В.
- Полное напряжение: \(U = \sqrt{U_{R_{общ}}^2 + U_{X_{общ}}^2} = \sqrt{13,8^2 + (-26,62)^2} = \sqrt{190,44 + 708,6244} = \sqrt{899,0644} \approx 29,98\) В (близко к 30 В).
Многоугольник мощностей
1. Активные мощности \(P_R = 6,09\) Вт и \(P_K = 1,52\) Вт откладываются по горизонтальной оси.
2. Реактивная мощность катушки \(Q_K = 9,57\) ВАр откладывается вертикально вверх.
3. Реактивная мощность конденсатора \(Q_C = -24,25\) ВАр откладывается вертикально вниз.
4. Сумма активных мощностей \(P_{общ} = 7,61\) Вт.
5. Сумма реактивных мощностей \(Q_{общ} = -14,68\) ВАр.
6. Полная мощность \(S_{общ}\) будет вектором, соединяющим начало координат с точкой \((P_{общ}, Q_{общ})\).
Надеюсь, это подробное решение поможет вам переписать его в тетрадь!
