Хорошо, давайте решим задачу для варианта 4 и заполним таблицу.
Задача
Используя исходные данные, приведенные в табл. 1 (вариант 4), рассчитать схему, состоящую из соединенных последовательно: резистора \(R\), катушки \(L_K, R_K\) и конденсатора \(C\). Частота напряжения сети 50 Гц. Определить активные, реактивные, полные сопротивления и коэффициенты мощности отдельных участков и всей схемы. Рассчитать ток, напряжения на участках, активные, реактивные и полные мощности. Результаты расчетов занести в табл. 2.
Исходные данные (Вариант 4 из Таблицы 1)
Напряжение сети \(U = 30\) В
Сопротивление резистора \(R = 20\) Ом
Емкость конденсатора \(C = 40\) мкФ
Сопротивление катушки \(R_K = 5\) Ом
Индуктивность катушки \(L_K = 0,1\) Гн
Частота сети \(f = 50\) Гц
Решение
1. Расчет угловой частоты
Угловая частота \(\omega\) рассчитывается по формуле:
\[\omega = 2 \pi f\]
\[\omega = 2 \cdot 3,14 \cdot 50 \text{ Гц} = 314 \text{ рад/с}\]
2. Расчет реактивных сопротивлений
Индуктивное сопротивление катушки \(X_L\)
\[X_L = \omega L_K\]
\[X_L = 314 \text{ рад/с} \cdot 0,1 \text{ Гн} = 31,4 \text{ Ом}\]
Емкостное сопротивление конденсатора \(X_C\)
\[X_C = \frac{1}{\omega C}\]
Переведем емкость в Фарады: \(C = 40 \text{ мкФ} = 40 \cdot 10^{-6} \text{ Ф}\)
\[X_C = \frac{1}{314 \text{ рад/с} \cdot 40 \cdot 10^{-6} \text{ Ф}} = \frac{1}{0,01256} \text{ Ом} \approx 79,62 \text{ Ом}\]
3. Расчет полных сопротивлений участков
Резистор
Активное сопротивление: \(R = 20\) Ом
Реактивное сопротивление: \(X = 0\) Ом
Полное сопротивление: \(Z_R = R = 20\) Ом
Катушка
Активное сопротивление: \(R_K = 5\) Ом
Реактивное сопротивление: \(X_L = 31,4\) Ом
Полное сопротивление катушки \(Z_K\) рассчитывается по формуле:
\[Z_K = \sqrt{R_K^2 + X_L^2}\]
\[Z_K = \sqrt{5^2 + 31,4^2} = \sqrt{25 + 985,96} = \sqrt{1010,96} \approx 31,80 \text{ Ом}\]
Конденсатор
Активное сопротивление: \(R_C = 0\) Ом
Реактивное сопротивление: \(X_C = 79,62\) Ом
Полное сопротивление: \(Z_C = X_C = 79,62\) Ом
4. Расчет полного сопротивления всей схемы
Так как элементы соединены последовательно, общее активное сопротивление \(R_{общ}\) и общее реактивное сопротивление \(X_{общ}\) равны сумме сопротивлений каждого элемента:
\[R_{общ} = R + R_K + R_C = 20 \text{ Ом} + 5 \text{ Ом} + 0 \text{ Ом} = 25 \text{ Ом}\]
\[X_{общ} = X_L - X_C = 31,4 \text{ Ом} - 79,62 \text{ Ом} = -48,22 \text{ Ом}\]
Полное сопротивление всей схемы \(Z_{общ}\) рассчитывается по формуле:
\[Z_{общ} = \sqrt{R_{общ}^2 + X_{общ}^2}\]
\[Z_{общ} = \sqrt{25^2 + (-48,22)^2} = \sqrt{625 + 2325,1684} = \sqrt{2950,1684} \approx 54,32 \text{ Ом}\]
5. Расчет тока в цепи
Ток в последовательной цепи одинаков для всех элементов. Он рассчитывается по закону Ома для всей цепи:
\[I = \frac{U}{Z_{общ}}\]
\[I = \frac{30 \text{ В}}{54,32 \text{ Ом}} \approx 0,552 \text{ А}\]
6. Расчет напряжений на участках
Напряжение на резисторе \(U_R\)
\[U_R = I \cdot R\]
\[U_R = 0,552 \text{ А} \cdot 20 \text{ Ом} = 11,04 \text{ В}\]
Напряжение на катушке \(U_K\)
\[U_K = I \cdot Z_K\]
\[U_K = 0,552 \text{ А} \cdot 31,80 \text{ Ом} = 17,56 \text{ В}\]
Напряжение на конденсаторе \(U_C\)
\[U_C = I \cdot X_C\]
\[U_C = 0,552 \text{ А} \cdot 79,62 \text{ Ом} = 43,94 \text{ В}\]
7. Расчет коэффициентов мощности (cos \(\varphi\))
Для резистора
\[\cos \varphi_R = \frac{R}{Z_R} = \frac{20}{20} = 1\]
Для катушки
\[\cos \varphi_K = \frac{R_K}{Z_K} = \frac{5}{31,80} \approx 0,157\]
Для конденсатора
\[\cos \varphi_C = \frac{R_C}{Z_C} = \frac{0}{79,62} = 0\]
Для всей схемы
\[\cos \varphi_{общ} = \frac{R_{общ}}{Z_{общ}}\]
\[\cos \varphi_{общ} = \frac{25 \text{ Ом}}{54,32 \text{ Ом}} \approx 0,460\]
8. Расчет мощностей
Активная мощность \(P\)
\[P = U I \cos \varphi\]
или
\[P = I^2 R\]
Реактивная мощность \(Q\)
\[Q = U I \sin \varphi\]
или
\[Q = I^2 X\]
Полная мощность \(S\)
\[S = U I\]
или
\[S = I^2 Z\]
или
\[S = \sqrt{P^2 + Q^2}\]
Для резистора
Активная мощность: \(P_R = I^2 R = (0,552 \text{ А})^2 \cdot 20 \text{ Ом} = 0,304704 \cdot 20 \approx 6,09 \text{ Вт}\)
Реактивная мощность: \(Q_R = 0\) ВАр (так как резистор не накапливает реактивную энергию)
Полная мощность: \(S_R = I^2 Z_R = (0,552 \text{ А})^2 \cdot 20 \text{ Ом} \approx 6,09 \text{ ВА}\)
Для катушки
Активная мощность: \(P_K = I^2 R_K = (0,552 \text{ А})^2 \cdot 5 \text{ Ом} = 0,304704 \cdot 5 \approx 1,52 \text{ Вт}\)
Реактивная мощность: \(Q_K = I^2 X_L = (0,552 \text{ А})^2 \cdot 31,4 \text{ Ом} = 0,304704 \cdot 31,4 \approx 9,57 \text{ ВАр}\)
Полная мощность: \(S_K = I^2 Z_K = (0,552 \text{ А})^2 \cdot 31,80 \text{ Ом} = 0,304704 \cdot 31,80 \approx 9,69 \text{ ВА}\)
Для конденсатора
Активная мощность: \(P_C = 0\) Вт (так как конденсатор не потребляет активную мощность)
Реактивная мощность: \(Q_C = I^2 X_C = (0,552 \text{ А})^2 \cdot 79,62 \text{ Ом} = 0,304704 \cdot 79,62 \approx 24,25 \text{ ВАр}\) (отрицательная, так как конденсатор генерирует реактивную мощность)
Полная мощность: \(S_C = I^2 Z_C = (0,552 \text{ А})^2 \cdot 79,62 \text{ Ом} = 0,304704 \cdot 79,62 \approx 24,25 \text{ ВА}\)
Для всей схемы
Общая активная мощность: \(P_{общ} = P_R + P_K + P_C = 6,09 \text{ Вт} + 1,52 \text{ Вт} + 0 \text{ Вт} = 7,61 \text{ Вт}\)
Проверка: \(P_{общ} = I^2 R_{общ} = (0,552 \text{ А})^2 \cdot 25 \text{ Ом} = 0,304704 \cdot 25 \approx 7,62 \text{ Вт}\) (небольшая разница из-за округлений)
Общая реактивная мощность: \(Q_{общ} = Q_R + Q_K - Q_C = 0 \text{ ВАр} + 9,57 \text{ ВАр} - 24,25 \text{ ВАр} = -14,68 \text{ ВАр}\)
Проверка: \(Q_{общ} = I^2 X_{общ} = (0,552 \text{ А})^2 \cdot (-48,22 \text{ Ом}) = 0,304704 \cdot (-48,22) \approx -14,70 \text{ ВАр}\)
Полная мощность всей схемы: \(S_{общ} = U \cdot I = 30 \text{ В} \cdot 0,552 \text{ А} = 16,56 \text{ ВА}\)
Проверка: \(S_{общ} = \sqrt{P_{общ}^2 + Q_{общ}^2} = \sqrt{7,61^2 + (-14,68)^2} = \sqrt{57,9121 + 215,5024} = \sqrt{273,4145} \approx 16,53 \text{ ВА}\) (небольшая разница из-за округлений)
Заполнение Таблицы 2
| Элемент схемы |
R, Ом |
X, Ом |
Z, Ом |
cos φ |
I, А |
U, В |
P, Вт |
Q, ВАр |
S, ВА |
| Катушка |
5 |
31,4 |
31,80 |
0,157 |
0,552 |
17,56 |
1,52 |
9,57 |
9,69 |
| Резистор |
20 |
0 |
20 |
1 |
0,552 |
11,04 |
6,09 |
0 |
6,09 |
| Конденсатор |
0 |
79,62 |
79,62 |
0 |
0,552 |
43,94 |
0 |
-24,25 |
24,25 |
| Вся схема |
25 |
-48,22 |
54,32 |
0,460 |
0,552 |
30 |
7,62 |
-14,70 |
16,56 |
3.2. Построение многоугольников напряжений, сопротивлений и мощностей
Для построения многоугольников необходимо использовать векторные диаграммы. Это графическое представление, которое сложно выполнить в текстовом формате. Однако, я могу описать, как их построить.
Многоугольник сопротивлений
1. Отложите по горизонтальной оси (действительной оси) активные сопротивления: \(R_{общ} = 25\) Ом.
2. Отложите по вертикальной оси (мнимой оси) реактивные сопротивления: \(X_{общ} = -48,22\) Ом (отрицательное значение означает, что вектор направлен вниз).
3. Вектор полного сопротивления \(Z_{общ}\) будет идти от начала координат до точки с координатами \((R_{общ}, X_{общ})\).
4. Угол между вектором \(Z_{общ}\) и горизонтальной осью будет \(\varphi_{общ}\).
Многоугольник напряжений
1. Выберите начальную точку.
2. Отложите вектор напряжения на резисторе \(U_R = 11,04\) В по горизонтальной оси (так как ток и напряжение на резисторе совпадают по фазе).
3. От конца вектора \(U_R\) отложите вектор напряжения на катушке \(U_L = I \cdot X_L = 0,552 \cdot 31,4 = 17,33\) В, направленный вверх (опережает ток на 90 градусов).
4. От конца вектора \(U_L\) отложите вектор напряжения на конденсаторе \(U_C = 43,94\) В, направленный вниз (отстает от тока на 90 градусов).
5. Вектор напряжения на активном сопротивлении катушки \(U_{R_K} = I \cdot R_K = 0,552 \cdot 5 = 2,76\) В будет сонаправлен с током.
6. Вектор напряжения на индуктивности катушки \(U_{L_K} = I \cdot X_L = 17,33\) В будет опережать ток на 90 градусов.
7. Вектор напряжения на катушке \(U_K\) будет суммой \(U_{R_K}\) и \(U_{L_K}\).
8. Результирующий вектор, соединяющий начало первого вектора и конец последнего, будет вектором полного напряжения сети \(U = 30\) В.
Многоугольник мощностей
1. Отложите по горизонтальной оси активные мощности: \(P_{общ} = 7,62\) Вт.
2. Отложите по вертикальной оси реактивные мощности: \(Q_{общ} = -14,70\) ВАр (отрицательное значение означает, что вектор направлен вниз).
3. Вектор полной мощности \(S_{общ}\) будет идти от начала координат до точки с координатами \((P_{общ}, Q_{общ})\).
4. Угол между вектором \(S_{общ}\) и горизонтальной осью будет \(\varphi_{общ}\).
Эти многоугольники позволяют наглядно представить фазовые соотношения и величины напряжений, сопротивлений и мощностей в цепи.
