Решение задачи: Определение типа уравнения в частных производных

Задание №2. Дано уравнение в частных производных второго порядка: \[ U_{xy}^2 + U_{xx}U_{yy} + U_{yy}^2 = 8 \] Для определения типа уравнения вида \( a_{11}U_{xx} + 2a_{12}U_{xy} + a_{22}U_{yy} + F(x, y, U, U_x, U_y) = 0 \) используется дискриминант \( D = a_{12}^2 - a_{11}a_{22} \). Однако данное уравнение является нелинейным относительно вторых производных. В таких случаях тип уравнения определяется в конкретной точке или вдоль конкретного решения путем линеаризации. Рассмотрим каждое решение по отдельности. 1) Для решения \( u = x^2 + y^2 \): Находим вторые частные производные: \[ u_x = 2x, \quad u_{xx} = 2 \] \[ u_y = 2y, \quad u_{yy} = 2 \] \[ u_{xy} = 0 \] Подставим эти значения в исходное уравнение для проверки: \[ 0^2 + 2 \cdot 2 + 2^2 = 0 + 4 + 4 = 8 \] Равенство верно, функция является решением. Для определения типа составим матрицу коэффициентов при вторых производных в линеаризованном уравнении. В общем виде для уравнения \( \Phi(u_{xx}, u_{xy}, u_{yy}) = 0 \) коэффициенты определяются как \( a_{11} = \frac{\partial \Phi}{\partial u_{xx}} \), \( 2a_{12} = \frac{\partial \Phi}{\partial u_{xy}} \), \( a_{22} = \frac{\partial \Phi}{\partial u_{yy}} \). Вычислим частные производные функции \( \Phi = u_{xy}^2 + u_{xx}u_{yy} + u_{yy}^2 - 8 \): \[ a_{11} = \frac{\partial \Phi}{\partial u_{xx}} = u_{yy} = 2 \] \[ 2a_{12} = \frac{\partial \Phi}{\partial u_{xy}} = 2u_{xy} = 2 \cdot 0 = 0 \implies a_{12} = 0 \] \[ a_{22} = \frac{\partial \Phi}{\partial u_{yy}} = u_{xx} + 2u_{yy} = 2 + 2 \cdot 2 = 6 \] Вычисляем дискриминант: \[ D = a_{12}^2 - a_{11}a_{22} = 0^2 - 2 \cdot 6 = -12 \] Так как \( D < 0 \), то вдоль решения \( u = x^2 + y^2 \) уравнение имеет эллиптический тип. 2) Для решения \( u = 2\sqrt{2}xy \): Находим вторые частные производные: \[ u_x = 2\sqrt{2}y, \quad u_{xx} = 0 \] \[ u_y = 2\sqrt{2}x, \quad u_{yy} = 0 \] \[ u_{xy} = 2\sqrt{2} \] Подставим в уравнение: \[ (2\sqrt{2})^2 + 0 \cdot 0 + 0^2 = 4 \cdot 2 = 8 \] Равенство верно, функция является решением. Определим коэффициенты линеаризованного уравнения: \[ a_{11} = u_{yy} = 0 \] \[ 2a_{12} = 2u_{xy} = 2 \cdot 2\sqrt{2} \implies a_{12} = 2\sqrt{2} \] \[ a_{22} = u_{xx} + 2u_{yy} = 0 + 2 \cdot 0 = 0 \] Вычисляем дискриминант: \[ D = a_{12}^2 - a_{11}a_{22} = (2\sqrt{2})^2 - 0 \cdot 0 = 8 \] Так как \( D > 0 \), то вдоль решения \( u = 2\sqrt{2}xy \) уравнение имеет гиперболический тип. Ответ: Вдоль решения \( u = x^2 + y^2 \) — эллиптический тип. Вдоль решения \( u = 2\sqrt{2}xy \) — гиперболический тип.