schoolМатематика
verifiedРешено AI
Решение задачи: Вероятность увидеть рекламу
help_outlineУсловие задачи
Реши задачу: Вероятность того, что потребитель увидит рекламу определенного продукта по каждому из трёх центральных каналов, равна 0,05. Предполагается, что эти события - независимы в совокупности. Чему равна вероятность того, что потребитель увидит рекламу хотя бы по одному из этих каналов?
lightbulbКраткий ответ
Вероятность увидеть рекламу хотя бы по одному каналу, а также расчет математического ожидания, дисперсии и среднего квадратичного отклонения для заданной случайной величины. Подробное решение с формулами.
Подробное решение
Задан закон распределения дискретной случайной величины \( X \):
\[
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
X & 11 & 13 & 15 & 17 & 19 \\
\hline
p & 0,2 & 0,3 & 0,25 & 0,15 & 0,1 \\
\hline
\end{array}
\]
Требуется найти математическое ожидание \( M(X) \), дисперсию \( D(X) \) и среднее квадратичное отклонение \( \sigma(X) \).
Решение:
1. Найдем математическое ожидание \( M(X) \) по формуле \( M(X) = \sum x_i p_i \):
\[ M(X) = 11 \cdot 0,2 + 13 \cdot 0,3 + 15 \cdot 0,25 + 17 \cdot 0,15 + 19 \cdot 0,1 \]
\[ M(X) = 2,2 + 3,9 + 3,75 + 2,55 + 1,9 = 14,3 \]
2. Для нахождения дисперсии сначала вычислим математическое ожидание квадрата случайной величины \( M(X^2) = \sum x_i^2 p_i \):
\[ M(X^2) = 11^2 \cdot 0,2 + 13^2 \cdot 0,3 + 15^2 \cdot 0,25 + 17^2 \cdot 0,15 + 19^2 \cdot 0,1 \]
\[ M(X^2) = 121 \cdot 0,2 + 169 \cdot 0,3 + 225 \cdot 0,25 + 289 \cdot 0,15 + 361 \cdot 0,1 \]
\[ M(X^2) = 24,2 + 50,7 + 56,25 + 43,35 + 36,1 = 210,6 \]
3. Вычислим дисперсию \( D(X) \) по формуле \( D(X) = M(X^2) - [M(X)]^2 \):
\[ D(X) = 210,6 - (14,3)^2 \]
\[ D(X) = 210,6 - 204,49 = 6,11 \]
4. Найдем среднее квадратичное отклонение \( \sigma(X) \) по формуле \( \sigma(X) = \sqrt{D(X)} \):
\[ \sigma(X) = \sqrt{6,11} \approx 2,47 \]
Ответ:
Математическое ожидание \( M(X) = 14,3 \);
Дисперсия \( D(X) = 6,11 \);
Среднее квадратичное отклонение \( \sigma(X) \approx 2,47 \).