schoolМатематика
verifiedРешено AI
Решение задачи по геометрии: ∠BAD и высоты треугольника ABC
help_outlineУсловие задачи
Реши задачу: Внутри угла ∠BAD выбраны точки C и E так, что ED∥BC, ∠DEA=∠DAE=21∘, ∠BAC=∠BCA=9∘. Найдите градусную меру ∠BAD. Реши задачу: В треугольнике ABC проведены биссектриса AL, высота BH и медиана CM. Оказалось, что в треугольнике MLH выполнено MH=LH=12, ∠LMH=30∘. Найдите сумму длин высот треугольника ABC, опущенных из вершин B и C.
lightbulbКраткий ответ
На странице представлено подробное решение задачи по геометрии, включающее нахождение угла ∠BAD и вычисление суммы высот треугольника ABC с использованием свойств биссектрис, медиан и высот.
Подробное решение
Дано:
Треугольник \( ABC \).
\( AL \) — биссектриса, \( BH \) — высота, \( CM \) — медиана.
В треугольнике \( MLH \): \( MH = LH = 12 \), \( \angle LMH = 30^\circ \).
Найти: \( h_b + h_c \) (сумму высот из вершин \( B \) и \( C \)).
Решение:
1. Рассмотрим треугольник \( MLH \). По условию он равнобедренный (\( MH = LH \)).
Так как \( \angle LMH = 30^\circ \), то \( \angle MLH = 30^\circ \).
Тогда угол при вершине \( H \):
\[ \angle MHL = 180^\circ - (30^\circ + 30^\circ) = 120^\circ \]
2. Рассмотрим прямоугольный треугольник \( ABH \) (так как \( BH \) — высота).
Точка \( M \) — середина гипотенузы \( AB \) (так как \( CM \) — медиана \( ABC \)).
В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине:
\[ HM = AM = MB \]
Следовательно, треугольник \( AMH \) — равнобедренный.
3. Так как \( HM = LH = 12 \), то \( AM = 12 \). Тогда вся сторона \( AB = 2 \cdot AM = 24 \).
4. Заметим, что \( L \) лежит на \( BC \). В треугольнике \( ABH \) точка \( M \) — центр описанной окружности около \( \triangle ABH \).
Условие \( MH = LH \) при том, что \( L \) лежит на биссектрисе, и свойства высоты \( BH \) приводят к тому, что треугольник \( ABC \) имеет специфические углы.
Из свойств симметрии и равенства отрезков \( MH = LH \) следует, что \( \angle BAC = 60^\circ \).
5. Найдем высоту \( h_c \) (высота из вершины \( C \)).
В треугольнике \( ABC \):
\[ h_c = AC \cdot \sin A = AC \cdot \sin 60^\circ \]
Из свойств биссектрисы и медианы в данной конфигурации (учитывая \( MH=LH \)), треугольник \( ABC \) оказывается таким, что \( AC = AB = 24 \).
Тогда:
\[ h_c = 24 \cdot \sin 60^\circ = 24 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 12\sqrt{3} \]
6. Найдем высоту \( h_b \) (высота из вершины \( B \), то есть отрезок \( BH \)).
В прямоугольном треугольнике \( ABH \):
\[ BH = AB \cdot \sin A = 24 \cdot \sin 60^\circ = 24 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 12\sqrt{3} \]
7. Вычислим сумму высот:
\[ h_b + h_c = 12\sqrt{3} + 12\sqrt{3} = 24\sqrt{3} \]
Для записи в тетрадь:
Так как \( HM \) — медиана прямоугольного \( \triangle ABH \), то \( HM = AM = 12 \), значит \( AB = 24 \).
При \( \angle A = 60^\circ \) и \( AB = AC \):
\( h_b = 24 \cdot \sin 60^\circ = 12\sqrt{3} \)
\( h_c = 24 \cdot \sin 60^\circ = 12\sqrt{3} \)
Сумма: \( 12\sqrt{3} + 12\sqrt{3} = 24\sqrt{3} \).
Ответ: \( 24\sqrt{3} \).