schoolФизика
verifiedРешено AI
Решение задачи про водометный двигатель катера
help_outlineУсловие задачи
Реши задачу: Водометный двигатель патрульного катера это насос, который разгоняет каждую порцию воды от состояния покоя в лабораторной системе отсчета до скорости u=18 м/с относительно катера. Площадь поперечного сечения канала, по которому движется вода, S=0,01 $${\mathrm{м}}^{2}$$. Найдите установившуюся скорость v прямолинейного движения катера. Силу сопротивления считайте пропорциональной квадрату скорости v катера $$F=k{v}^{2}$$, здесь k=8 ("Н"*"с"^2)/"м"^2. Плотность воды rho=1000 "кг"//"м"^3.
lightbulbКраткий ответ
Установившаяся скорость катера зависит от скорости выброса воды, площади поперечного сечения канала, плотности воды и коэффициента пропорциональности силы сопротивления. Решение основано на втором законе Ньютона в импульсной форме.
Подробное решение
Дано:
u = 18 м/с
S = 0,01 \( \text{м}^2 \)
k = 8 \( \text{Н} \cdot \text{с}^2 / \text{м}^2 \)
\( \rho \) = 1000 \( \text{кг}/\text{м}^3 \)
Найти: v — ?
Решение:
1. Рассмотрим принцип работы водометного двигателя. Насос забирает воду, которая изначально покоится относительно берега, и выбрасывает её назад со скоростью u относительно катера.
2. Скорость выбрасываемой воды относительно берега (в лабораторной системе отсчета) равна разности скорости выброса относительно катера и скорости самого катера:
\[ v_{отн} = u - v \]
3. Масса воды \( \Delta m \), выбрасываемая за промежуток времени \( \Delta t \), определяется через плотность, сечение канала и скорость воды относительно катера:
\[ \Delta m = \rho \cdot S \cdot u \cdot \Delta t \]
4. Согласно второму закону Ньютона в импульсной форме, сила тяги двигателя \( F_{тяг} \) равна изменению импульса выбрасываемой воды в единицу времени:
\[ F_{тяг} = \frac{\Delta p}{\Delta t} = \frac{\Delta m \cdot v_{отн}}{\Delta t} \]
Подставим выражения для массы и относительной скорости:
\[ F_{тяг} = \frac{(\rho S u \Delta t) \cdot (u - v)}{\Delta t} = \rho S u (u - v) \]
5. При установившемся движении катера сила тяги двигателя уравновешивается силой сопротивления воды \( F_{тяг} = F_{сопр} \). По условию \( F_{сопр} = k v^2 \). Получаем уравнение:
\[ \rho S u (u - v) = k v^2 \]
6. Раскроем скобки и перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение относительно v:
\[ \rho S u^2 - \rho S u v = k v^2 \]
\[ k v^2 + \rho S u v - \rho S u^2 = 0 \]
7. Подставим численные значения:
\[ 8 \cdot v^2 + 1000 \cdot 0,01 \cdot 18 \cdot v - 1000 \cdot 0,01 \cdot 18^2 = 0 \]
\[ 8 v^2 + 180 v - 3240 = 0 \]
Разделим уравнение на 4 для упрощения:
\[ 2 v^2 + 45 v - 810 = 0 \]
8. Решим квадратное уравнение через дискриминант:
\[ D = 45^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-810) = 2025 + 6480 = 8505 \]
\[ \sqrt{D} = \sqrt{8505} \approx 92,22 \]
9. Находим корни уравнения:
\[ v = \frac{-45 \pm 92,22}{2 \cdot 2} \]
Так как скорость не может быть отрицательной, берем только положительный корень:
\[ v = \frac{-45 + 92,22}{4} = \frac{47,22}{4} \approx 11,8 \text{ м/с} \]
Ответ: v \approx 11,8 м/с.