Решение задачи: Вопросы к дифференцированному зачету

Отлично, давайте разберем каждый вопрос по порядку. 1. История развития научных идей и методов математики для познания и описания действительности. Математика — это одна из древнейших наук, которая развивалась вместе с человечеством. Изначально она возникла из практических потребностей: * **Счет:** Для подсчета скота, урожая, людей. Появились натуральные числа. * **Измерение:** Для строительства, земледелия. Возникли понятия длины, площади, объема, геометрия. * **Календарь:** Для определения времени посева и сбора урожая, религиозных праздников. Появилась астрономия и связанные с ней математические расчеты. **Основные этапы развития:** * **Древний мир (Египет, Вавилон, Греция):** * **Египет и Вавилон:** Развитие арифметики, геометрии (для строительства пирамид, ирригационных систем). Использовались системы счисления, решались практические задачи. * **Древняя Греция:** Математика становится теоретической наукой. Пифагор, Евклид (автор "Начал" — первого систематического изложения геометрии), Архимед (открытия в геометрии, механике). Появились доказательства, аксиомы. * **Средние века (Восток, Индия):** * **Индия:** Введение десятичной системы счисления, понятия нуля, отрицательных чисел. * **Арабский мир:** Сохранение и развитие знаний греков и индийцев. Появление алгебры (от слова "аль-джабр" — восстановление, восполнение). * **Возрождение и Новое время (Европа):** * **XVI-XVII века:** Решение уравнений высоких степеней. Появление аналитической геометрии (Декарт, Ферма), которая связала алгебру и геометрию. * **XVII век:** Исаак Ньютон и Готфрид Лейбниц независимо друг от друга создают дифференциальное и интегральное исчисление — мощнейший инструмент для описания движения, изменений, процессов. * **XVIII-XIX века:** Развитие теории чисел, теории вероятностей, математической физики. Появление неевклидовых геометрий (Лобачевский, Гаусс, Риман), что расширило представления о пространстве. * **XX-XXI века:** * Развитие функционального анализа, топологии, математической логики. * Появление компьютеров и вычислительной математики, что позволило решать сложнейшие задачи в науке и технике. * Математика становится языком для всех естественных наук (физики, химии, биологии), инженерии, экономики, информатики. **Роль математики:** Математика предоставляет универсальный язык и методы для описания, анализа и прогнозирования явлений окружающего мира. Она позволяет строить модели, проверять гипотезы, находить оптимальные решения. Без математики невозможно представить современную науку и технологии. 2. Роль математики для изучения общепрофессиональных и специальных дисциплин. Математика является фундаментом для большинства технических, естественных и даже некоторых гуманитарных наук. Ее роль огромна: * **Универсальный язык:** Математика предоставляет точный и однозначный язык для формулирования законов, принципов и теорий в других дисциплинах. Вместо расплывчатых описаний используются четкие формулы и уравнения. * **Инструмент для моделирования:** В любой науке для изучения сложных явлений строятся математические модели. Например: * **Физика:** Все законы физики (механика, электродинамика, термодинамика) выражены математически. Дифференциальные уравнения описывают движение тел, распространение волн. * **Химия:** Кинетика химических реакций, строение молекул, квантовая химия — все это требует математического аппарата. * **Биология и медицина:** Моделирование распространения эпидемий, динамики популяций, работы органов человека, анализ медицинских данных. * **Экономика:** Экономические модели, прогнозирование рынков, финансовая математика, оптимизация ресурсов. * **Инженерия (строительство, машиностроение, электроника):** Расчеты прочности конструкций, проектирование механизмов, анализ электрических цепей, обработка сигналов. * **Развитие логического мышления:** Изучение математики тренирует логику, умение анализировать, систематизировать информацию, строить доказательства, находить причинно-следственные связи. Эти навыки критически важны для успешного освоения любой сложной дисциплины. * **Решение задач:** Математические методы позволяют решать практические задачи, возникающие в профессиональной деятельности: * Оптимизация процессов (например, минимизация затрат, максимизация прибыли). * Анализ данных (статистика, обработка больших объемов информации). * Прогнозирование (например, погоды, поведения систем). * Проектирование и конструирование. * **Основа для компьютерных наук:** Информатика, программирование, искусственный интеллект, машинное обучение — все эти области базируются на математике (алгебра, логика, теория вероятностей, математическая статистика, дискретная математика). Таким образом, математика не просто "один из предметов", а мощный инструмент и методология, без которой невозможно глубокое понимание и эффективное применение знаний в большинстве современных общепрофессиональных и специальных дисциплин. 3. Понятие комплексного числа. Комплексное число — это число, которое можно представить в виде суммы действительного числа и мнимого числа. Оно возникло из необходимости решать квадратные уравнения, у которых дискриминант отрицательный, например, уравнение \(x^2 + 1 = 0\). В действительных числах у этого уравнения нет решений, так как квадрат любого действительного числа неотрицателен. Для решения таких уравнений было введено новое число, которое назвали **мнимой единицей**. * **Мнимая единица** обозначается буквой \(i\) (или \(j\) в электротехнике) и определяется как число, квадрат которого равен \(-1\): \[i^2 = -1\] Отсюда следует, что \(i = \sqrt{-1}\). * **Комплексное число** \(z\) обычно записывается в **алгебраической форме** как: \[z = a + bi\] где: * \(a\) — это **действительная часть** комплексного числа (обозначается \(\text{Re}(z)\)). * \(b\) — это **мнимая часть** комплексного числа (обозначается \(\text{Im}(z)\)). * \(a\) и \(b\) — действительные числа. **Примеры:** * \(z = 3 + 2i\) (здесь \(a=3\), \(b=2\)) * \(z = -5 + i\) (здесь \(a=-5\), \(b=1\)) * \(z = 7\) (это действительное число, но его можно записать как \(7 + 0i\), то есть \(b=0\). Значит, действительные числа являются частным случаем комплексных чисел). * \(z = -4i\) (это чисто мнимое число, его можно записать как \(0 - 4i\), то есть \(a=0\)). Множество всех комплексных чисел обозначается буквой \(\mathbb{C}\). Оно включает в себя множество действительных чисел \(\mathbb{R}\) как подмножество. 4. Алгебраическая форма комплексного числа. Алгебраическая форма комплексного числа — это способ записи комплексного числа в виде суммы его действительной и мнимой частей. Как уже было сказано в предыдущем вопросе, комплексное число \(z\) в алгебраической форме записывается как: \[z = a + bi\] где: * \(a\) — действительная часть числа \(z\), \(\text{Re}(z)\). * \(b\) — мнимая часть числа \(z\), \(\text{Im}(z)\). * \(i\) — мнимая единица, для которой \(i^2 = -1\). **Важные моменты:** * **Действительные числа:** Если \(b = 0\), то \(z = a + 0i = a\). В этом случае комплексное число является действительным числом. Например, \(5 = 5 + 0i\). * **Чисто мнимые числа:** Если \(a = 0\), то \(z = 0 + bi = bi\). В этом случае комплексное число является чисто мнимым числом. Например, \(-3i = 0 - 3i\). * **Равенство комплексных чисел:** Два комплексных числа \(z_1 = a_1 + b_1i\) и \(z_2 = a_2 + b_2i\) равны тогда и только тогда, когда равны их действительные части и равны их мнимые части: \[z_1 = z_2 \quad \text{если и только если} \quad a_1 = a_2 \quad \text{и} \quad b_1 = b_2\] **Пример:** Дано комплексное число \(z = 7 - 3i\). Здесь действительная часть \(\text{Re}(z) = 7\). Мнимая часть \(\text{Im}(z) = -3\). Алгебраическая форма удобна для выполнения основных арифметических операций (сложения, вычитания, умножения, деления), о которых пойдет речь в следующем вопросе. 5. Действия над комплексными числами в алгебраической форме. Пусть даны два комплексных числа в алгебраической форме: \(z_1 = a_1 + b_1i\) \(z_2 = a_2 + b_2i\) **1. Сложение:** Чтобы сложить два комплексных числа, нужно сложить их действительные части и отдельно сложить их мнимые части. \[z_1 + z_2 = (a_1 + a_2) + (b_1 + b_2)i\] **Пример:** \((3 + 2i) + (1 - 4i) = (3 + 1) + (2 - 4)i = 4 - 2i\) **2. Вычитание:** Чтобы вычесть одно комплексное число из другого, нужно вычесть их действительные части и отдельно вычесть их мнимые части. \[z_1 - z_2 = (a_1 - a_2) + (b_1 - b_2)i\] **Пример:** \((5 + 6i) - (2 + 3i) = (5 - 2) + (6 - 3)i = 3 + 3i\) **3. Умножение:** Умножение комплексных чисел в алгебраической форме выполняется как умножение двучленов, с учетом того, что \(i^2 = -1\). \[z_1 \cdot z_2 = (a_1 + b_1i)(a_2 + b_2i) = a_1a_2 + a_1b_2i + b_1ia_2 + b_1ib_2i\] \[= a_1a_2 + a_1b_2i + a_2b_1i + b_1b_2i^2\] Поскольку \(i^2 = -1\), то \(b_1b_2i^2 = -b_1b_2\). \[z_1 \cdot z_2 = (a_1a_2 - b_1b_2) + (a_1b_2 + a_2b_1)i\] **Пример:** \((2 + 3i)(1 - 2i) = 2 \cdot 1 + 2 \cdot (-2i) + 3i \cdot 1 + 3i \cdot (-2i)\] \[= 2 - 4i + 3i - 6i^2\] \[= 2 - i - 6(-1)\] \[= 2 - i + 6 = 8 - i\] **4. Деление:** Для деления комплексных чисел используется понятие **комплексно сопряженного числа**. Комплексно сопряженное число к \(z = a + bi\) обозначается \(\bar{z}\) и равно \(a - bi\). Важное свойство: \(z \cdot \bar{z} = (a + bi)(a - bi) = a^2 - (bi)^2 = a^2 - b^2i^2 = a^2 - b^2(-1) = a^2 + b^2\). Результат умножения числа на его сопряженное всегда является действительным числом. Чтобы разделить \(z_1\) на \(z_2\), нужно умножить числитель и знаменатель дроби \(\frac{z_1}{z_2}\) на число, сопряженное знаменателю \(z_2\). \[\frac{z_1}{z_2} = \frac{a_1 + b_1i}{a_2 + b_2i} = \frac{(a_1 + b_1i)(a_2 - b_2i)}{(a_2 + b_2i)(a_2 - b_2i)}\] \[= \frac{(a_1a_2 + b_1b_2) + (a_2b_1 - a_1b_2)i}{a_2^2 + b_2^2}\] \[= \frac{a_1a_2 + b_1b_2}{a_2^2 + b_2^2} + \frac{a_2b_1 - a_1b_2}{a_2^2 + b_2^2}i\] **Пример:** \(\frac{2 + 3i}{1 - i} = \frac{(2 + 3i)(1 + i)}{(1 - i)(1 + i)}\] Числитель: \((2 + 3i)(1 + i) = 2 \cdot 1 + 2i + 3i + 3i^2 = 2 + 5i - 3 = -1 + 5i\) Знаменатель: \((1 - i)(1 + i) = 1^2 + (-1)^2 = 1 + 1 = 2\) \[\frac{2 + 3i}{1 - i} = \frac{-1 + 5i}{2} = -\frac{1}{2} + \frac{5}{2}i\] 6. Решение квадратных уравнений с отрицательным дискриминантом. Квадратное уравнение имеет общий вид: \[ax^2 + bx + c = 0\] где \(a, b, c\) — действительные числа, и \(a \neq 0\). Для решения квадратных уравнений используется формула корней: \[x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\] где \(D\) — дискриминант, который вычисляется по формуле: \[D = b^2 - 4ac\] **Случаи для дискриминанта:** * **Если \(D > 0\):** Уравнение имеет два различных действительных корня. \[x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}, \quad x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a}\] * **Если \(D = 0\):** Уравнение имеет один действительный корень (или два совпадающих). \[x = \frac{-b}{2a}\] * **Если \(D < 0\):** Уравнение не имеет действительных корней, но имеет два различных **комплексно сопряженных** корня. **Решение при \(D < 0\):** Если \(D < 0\), то \(\sqrt{D}\) можно выразить через мнимую единицу \(i\). Пусть \(D = -|D|\), где \(|D|\) — положительное число. Тогда \(\sqrt{D} = \sqrt{-|D|} = \sqrt{|D| \cdot (-1)} = \sqrt{|D|} \cdot \sqrt{-1} = \sqrt{|D|}i\). Подставляем это в формулу корней: \[x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{|D|}i}{2a}\] Разделяем на действительную и мнимую части: \[x_1 = \frac{-b}{2a} + \frac{\sqrt{|D|}}{2a}i\] \[x_2 = \frac{-b}{2a} - \frac{\sqrt{|D|}}{2a}i\] Эти корни являются комплексно сопряженными. **Пример:** Решить уравнение \(x^2 - 4x + 13 = 0\). Здесь \(a=1\), \(b=-4\), \(c=13\). Вычислим дискриминант: \[D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 13 = 16 - 52 = -36\] Дискриминант отрицательный (\(D = -36 < 0\)), значит, уравнение имеет комплексные корни. Найдем \(\sqrt{D}\): \[\sqrt{D} = \sqrt{-36} = \sqrt{36 \cdot (-1)} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{-1} = 6i\] Теперь подставим значения в формулу корней: \[x_{1,2} = \frac{-(-4) \pm 6i}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm 6i}{2}\] Разделим на 2: \[x_1 = \frac{4 + 6i}{2} = 2 + 3i\] \[x_2 = \frac{4 - 6i}{2} = 2 - 3i\] Таким образом, корни уравнения \(x^2 - 4x + 13 = 0\) — это комплексные числа \(2 + 3i\) и \(2 - 3i\). 7. Геометрическое изображение комплексных чисел, суммы и разности комплексных чисел. **Геометрическое изображение комплексных чисел:** Каждое комплексное число \(z = a + bi\) можно изобразить как точку на плоскости с координатами \((a, b)\) или как вектор, идущий из начала координат \((0, 0)\) в эту точку. Эта плоскость называется **комплексной плоскостью** или плоскостью Аргана. * **Ось абсцисс (горизонтальная ось)** называется **действительной осью** (\(\text{Re}\)), на ней откладываются действительные части комплексных чисел. * **Ось ординат (вертикальная ось)** называется **мнимой осью** (\(\text{Im}\)), на ней откладываются мнимые части комплексных чисел. **Пример:** * Число \(z_1 = 3 + 2i\) изображается точкой с координатами \((3, 2)\) или вектором из \((0,0)\) в \((3,2)\). * Число \(z_2 = -2 + i\) изображается точкой с координатами \((-2, 1)\) или вектором из \((0,0)\) в \((-2,1)\). * Число \(z_3 = 4\) (действительное) изображается точкой \((4, 0)\) на действительной оси. * Число \(z_4 = -3i\) (чисто мнимое) изображается точкой \((0, -3)\) на мнимой оси. **Геометрическое изображение суммы комплексных чисел:** Сложение комплексных чисел \(z_1 = a_1 + b_1i\) и \(z_2 = a_2 + b_2i\) геометрически соответствует **правилу параллелограмма** для сложения векторов. Если \(z_1\) и \(z_2\) представлены векторами, исходящими из начала координат, то их сумма \(z_1 + z_2\) будет представлена вектором, являющимся диагональю параллелограмма, построенного на этих двух векторах. Пусть \(z_1\) соответствует вектору \(\vec{OP_1}\) и \(z_2\) соответствует вектору \(\vec{OP_2}\). Тогда \(z_1 + z_2 = (a_1 + a_2) + (b_1 + b_2)i\) соответствует вектору \(\vec{OP_3}\), где \(P_3\) — вершина параллелограмма, построенного на \(\vec{OP_1}\) и \(\vec{OP_2}\). **Пример:** Пусть \(z_1 = 3 + 2i\) и \(z_2 = 1 + 3i\). Тогда \(z_1 + z_2 = (3+1) + (2+3)i = 4 + 5i\). На комплексной плоскости: * \(z_1\) — вектор из \((0,0)\) в \((3,2)\). * \(z_2\) — вектор из \((0,0)\) в \((1,3)\). * \(z_1 + z_2\) — вектор из \((0,0)\) в \((4,5)\), который является диагональю параллелограмма. **Геометрическое изображение разности комплексных чисел:** Вычитание комплексных чисел \(z_1 - z_2\) можно представить как сложение \(z_1\) с числом \(-z_2\). Число \(-z_2 = -(a_2 + b_2i) = -a_2 - b_2i\) соответствует вектору, который имеет ту же длину, что и вектор \(z_2\), но направлен в противоположную сторону. Таким образом, \(z_1 - z_2\) также находится по правилу параллелограмма, но с использованием вектора \(-z_2\). Другой способ: вектор, соответствующий разности \(z_1 - z_2\), соединяет конец вектора \(z_2\) с концом вектора \(z_1\). То есть, это вектор, идущий от точки \(P_2(a_2, b_2)\) к точке \(P_1(a_1, b_1)\). **Пример:** Пусть \(z_1 = 3 + 2i\) и \(z_2 = 1 + 3i\). Тогда \(z_1 - z_2 = (3-1) + (2-3)i = 2 - i\). На комплексной плоскости: * \(z_1\) — вектор из \((0,0)\) в \((3,2)\). * \(z_2\) — вектор из \((0,0)\) в \((1,3)\). * \(-z_2\) — вектор из \((0,0)\) в \((-1,-3)\). * \(z_1 - z_2\) — вектор из \((0,0)\) в \((2,-1)\). * Также это вектор, идущий от точки \((1,3)\) к точке \((3,2)\). 8. Модуль и аргумент комплексного числа. Комплексное число \(z = a + bi\) можно изобразить на комплексной плоскости как точку с координатами \((a, b)\) или как вектор, идущий из начала координат в эту точку. **Модуль комплексного числа:** Модуль комплексного числа \(z = a + bi\) — это расстояние от начала координат до точки, изображающей это число на комплексной плоскости. Он обозначается \(|z|\) или \(r\). По теореме Пифагора, модуль вычисляется как: \[|z| = r = \sqrt{a^2 + b^2}\] Модуль всегда является неотрицательным действительным числом. **Свойства модуля:** * \(|z| \ge 0\) * \(|z| = 0\) тогда и только тогда, когда \(z = 0\) * \(|z_1 \cdot z_2| = |z_1| \cdot |z_2|\) * \(|\frac{z_1}{z_2}| = \frac{|z_1|}{|z_2|}\) (при \(z_2 \neq 0\)) * \(|z|^2 = z \cdot \bar{z}\), где \(\bar{z}\) — комплексно сопряженное число. **Пример:** Для \(z = 3 + 4i\): \[|z| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\] **Аргумент комплексного числа:** Аргумент комплексного числа \(z = a + bi\) — это угол \(\varphi\) (фи), который образует вектор, изображающий число \(z\), с положительным направлением действительной оси. Угол измеряется против часовой стрелки от положительной действительной оси. Аргумент обозначается \(\text{arg}(z)\) или \(\varphi\). Аргумент определяется из соотношений: \[\cos \varphi = \frac{a}{r} = \frac{a}{|z|}\] \[\sin \varphi = \frac{b}{r} = \frac{b}{|z|}\] Отсюда можно найти \(\varphi\) с помощью функции арктангенса: \[\tan \varphi = \frac{b}{a}\] Однако, при использовании \(\arctan(\frac{b}{a})\) нужно быть осторожным, так как функция \(\arctan\) возвращает значения только в интервале \((-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})\). Для правильного определения аргумента необходимо учитывать квадрант, в котором находится точка \((a, b)\): * **I квадрант (\(a > 0, b > 0\)):** \(\varphi = \arctan(\frac{b}{a})\) * **II квадрант (\(a < 0, b > 0\)):** \(\varphi = \arctan(\frac{b}{a}) + \pi\) * **III квадрант (\(a < 0, b < 0\)):** \(\varphi = \arctan(\frac{b}{a}) + \pi\) (или \(\arctan(\frac{b}{a}) - \pi\)) * **IV квадрант (\(a > 0, b < 0\)):** \(\varphi = \arctan(\frac{b}{a})\) Для удобства часто используют функцию \(\text{atan2}(b, a)\), которая автоматически учитывает квадрант. Аргумент не определен для \(z = 0\). Аргумент определен неоднозначно, так как при добавлении или вычитании \(2\pi k\) (где \(k\) — целое число) угол остается тем же. \[\text{arg}(z) = \varphi + 2\pi k\] Для однозначности обычно выбирают **главное значение аргумента** \(\text{Arg}(z)\), которое лежит в интервале \((-\pi, \pi]\) или \([0, 2\pi)\). Чаще всего используется \((-\pi, \pi]\). **Пример:** Для \(z = -1 + \sqrt{3}i\): 1. Найдем модуль: \[|z| = \sqrt{(-1)^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2\] 2. Найдем аргумент: \(a = -1\), \(b = \sqrt{3}\). Точка \((-1, \sqrt{3})\) находится во II квадранте. \[\cos \varphi = \frac{-1}{2}\] \[\sin \varphi = \frac{\sqrt{3}}{2}\] Из этих значений следует, что \(\varphi = \frac{2\pi}{3}\) (или \(120^\circ\)). Если бы мы использовали \(\arctan(\frac{\sqrt{3}}{-1}) = \arctan(-\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3}\), то это было бы неверно, так как \(- \frac{\pi}{3}\) находится в IV квадранте. Поэтому нужно добавить \(\pi\): \(-\frac{\pi}{3} + \pi = \frac{2\pi}{3}\). 9. Тригонометрическая форма комплексного числа. Зная модуль \(r\) и аргумент \(\varphi\) комплексного числа \(z = a + bi\), мы можем выразить его действительную и мнимую части через \(r\) и \(\varphi\): \[a = r \cos \varphi\] \[b = r \sin \varphi\] Подставим эти выражения в алгебраическую форму \(z = a + bi\): \[z = r \cos \varphi + (r \sin \varphi)i\] \[z = r(\cos \varphi + i \sin \varphi)\] Это и есть **тригонометрическая форма комплексного числа**. Здесь: * \(r = |z|\) — модуль комплексного числа. * \(\varphi = \text{arg}(z)\) — аргумент комплексного числа. **Преимущества тригонометрической формы:** * Удобна для умножения, деления, возведения в степень и извлечения корней из комплексных чисел (об этом будет в вопросе 12). * Наглядно показывает положение числа на комплексной плоскости (расстояние от начала координат и угол). **Пример:** Записать число \(z = 1 + i\) в тригонометрической форме. 1. Найдем модуль \(r\): \[r = |z| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}\] 2. Найдем аргумент \(\varphi\): \(a = 1, b = 1\). Точка \((1, 1)\) находится в I квадранте. \[\cos \varphi = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}\] \[\sin \varphi = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}\] Следовательно, \(\varphi = \frac{\pi}{4}\) (или \(45^\circ\)). 3. Запишем в тригонометрической форме: \[z = \sqrt{2}\left(\cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4}\right)\] **Пример 2:** Записать число \(z = -2\) в тригонометрической форме. 1. Найдем модуль \(r\): \[r = |-2| = \sqrt{(-2)^2 + 0^2} = \sqrt{4} = 2\] 2. Найдем аргумент \(\varphi\): \(a = -2, b = 0\). Точка \((-2, 0)\) лежит на отрицательной действительной оси. \[\cos \varphi = \frac{-2}{2} = -1\] \[\sin \varphi = \frac{0}{2} = 0\] Следовательно, \(\varphi = \pi\) (или \(180^\circ\)). 3. Запишем в тригонометрической форме: \[z = 2(\cos \pi + i \sin \pi)\] 10. Формула Эйлера. Показательная форма комплексного числа. **Формула Эйлера:** Формула Эйлера устанавливает удивительную связь между показательной функцией с мнимым показателем и тригонометрическими функциями. Она выглядит так: \[e^{i\varphi} = \cos \varphi + i \sin \varphi\] где: * \(e\) — основание натурального логарифма (число Эйлера, приблизительно \(2.71828\)). * \(i\) — мнимая единица. * \(\varphi\) — действительное число, представляющее угол в радианах. Эта формула является одной из самых красивых и важных в математике, так как связывает пять фундаментальных математических констант: \(e, i, \pi, 1, 0\) в частном случае: Если подставить \(\varphi = \pi\), то получим: \[e^{i\pi} = \cos \pi + i \sin \pi = -1 + i \cdot 0 = -1\] Отсюда: \[e^{i\pi} + 1 = 0\] Это знаменитое тождество Эйлера. **Показательная форма комплексного числа:** Используя формулу Эйлера, мы можем переписать тригонометрическую форму комплексного числа \(z = r(\cos \varphi + i \sin \varphi)\) в более компактном виде. Поскольку \(\cos \varphi + i \sin \varphi = e^{i\varphi}\), то: \[z = r e^{i\varphi}\] Это и есть **показательная форма комплексного числа**. Здесь: * \(r = |z|\) — модуль комплексного числа. * \(\varphi = \text{arg}(z)\) — аргумент комплексного числа (обязательно в радианах). **Преимущества показательной формы:** * Очень компактная запись. * Чрезвычайно удобна для умножения, деления, возведения в степень и извлечения корней, так как операции с показателями степени становятся очень простыми. **Пример:** Записать число \(z = 1 + i\) в показательной форме. Из предыдущего вопроса мы знаем, что для \(z = 1 + i\): * Модуль \(r = \sqrt{2}\). * Аргумент \(\varphi = \frac{\pi}{4}\). Тогда в показательной форме: \[z = \sqrt{2} e^{i \frac{\pi}{4}}\] **Пример 2:** Записать число \(z = -2\) в показательной форме. Из предыдущего вопроса мы знаем, что для \(z = -2\): * Модуль \(r = 2\). * Аргумент \(\varphi = \pi\). Тогда в показательной форме: \[z = 2 e^{i\pi}\] 11. Переход от алгебраической формы комплексного числа к тригонометрической, показательной и обратно. **1. Из алгебраической формы \(z = a + bi\) в тригонометрическую \(z = r(\cos \varphi + i \sin \varphi)\):** * **Шаг 1: Найти модуль \(r\).** \[r = \sqrt{a^2 + b^2}\] * **Шаг 2: Найти аргумент \(\varphi\).** Используйте соотношения: \[\cos \varphi = \frac{a}{r}\] \[\sin \varphi = \frac{b}{r}\] И определите \(\varphi\) с учетом квадранта, в котором находится точка \((a, b)\). Главное значение аргумента обычно выбирают в интервале \((-\pi, \pi]\) или \([0, 2\pi)\). * **Шаг 3: Записать число в тригонометрической форме.** \[z = r(\cos \varphi + i \sin \varphi)\] **Пример:** \(z = -1 - i\) 1. \(r = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}\) 2. \(\cos \varphi = \frac{-1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}\) \(\sin \varphi = \frac{-1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}\) Точка \((-1, -1)\) находится в III квадранте. \(\varphi = -\frac{3\pi}{4}\) (или \(\frac{5\pi}{4}\)). 3. \(z = \sqrt{2}\left(\cos\left(-\frac{3\pi}{4}\right) + i \sin\left(-\frac{3\pi}{4}\right)\right)\) **2. Из тригонометрической формы \(z = r(\cos \varphi + i \sin \varphi)\) в алгебраическую \(z = a + bi\):** * **Шаг 1: Вычислить значения \(\cos \varphi\) и \(\sin \varphi\).** * **Шаг 2: Умножить на \(r\).** \[a = r \cos \varphi\] \[b = r \sin \varphi\] * **Шаг 3: Записать число в алгебраической форме.** \[z = a + bi\] **Пример:** \(z = 4\left(\cos \frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6}\right)\) 1. \(\cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}\) \(\sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}\) 2. \(a = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}\) \(b = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2\) 3. \(z = 2\sqrt{3} + 2i\) **3. Из тригонометрической формы \(z = r(\cos \varphi + i \sin \varphi)\) в показательную \(z = r e^{i\varphi}\):** * Это прямой переход, используя формулу Эйлера. Просто замените \(\cos \varphi + i \sin \varphi\) на \(e^{i\varphi}\). Важно: аргумент \(\varphi\) должен быть в радианах. **Пример:** \(z = 2\left(\cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3}\right)\) \[z = 2 e^{i \frac{\pi}{3}}\] **4. Из показательной формы \(z = r e^{i\varphi}\) в тригонометрическую \(z = r(\cos \varphi + i \sin \varphi)\):** * Это также прямой переход, используя формулу Эйлера. Просто замените \(e^{i\varphi}\) на \(\cos \varphi + i \sin \varphi\). **Пример:** \(z = 5 e^{i \frac{3\pi}{2}}\) \[z = 5\left(\cos \frac{3\pi}{2} + i \sin \frac{3\pi}{2}\right)\] **5. Из показательной формы \(z = r e^{i\varphi}\) в алгебраическую \(z = a + bi\):** * **Шаг 1: Перевести в тригонометрическую форму.** \[z = r(\cos \varphi + i \sin \varphi)\] * **Шаг 2: Вычислить значения \(\cos \varphi\) и \(\sin \varphi\).** * **Шаг 3: Умножить на \(r\) и записать в алгебраической форме.** \[a = r \cos \varphi\] \[b = r \sin \varphi\] \[z = a + bi\] **Пример:** \(z = 3 e^{i \frac{5\pi}{6}}\) 1. \(z = 3\left(\cos \frac{5\pi}{6} + i \sin \frac{5\pi}{6}\right)\) 2. \(\cos \frac{5\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2}\) \(\sin \frac{5\pi}{6} = \frac{1}{2}\) 3. \(a = 3 \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\frac{3\sqrt{3}}{2}\) \(b = 3 \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{2}\) \[z = -\frac{3\sqrt{3}}{2} + \frac{3}{2}i\] 12. Действия над комплексными числами в тригонометрической и показательной формах. Пусть даны два комплексных числа: В тригонометрической форме: \(z_1 = r_1(\cos \varphi_1 + i \sin \varphi_1)\) \(z_2 = r_2(\cos \varphi_2 + i \sin \varphi_2)\) В показательной форме: \(z_1 = r_1 e^{i\varphi_1}\) \(z_2 = r_2 e^{i\varphi_2}\) **1. Умножение:** * **В показательной форме:** При умножении модули перемножаются, а аргументы складываются. \[z_1 \cdot z_2 = (r_1 e^{i\varphi_1})(r_2 e^{i\varphi_2}) = r_1 r_2 e^{i(\varphi_1 + \varphi_2)}\] * **В тригонометрической форме:** \[z_1 \cdot z_2 = r_1 r_2 (\cos(\varphi_1 + \varphi_2) + i \sin(\varphi_1 + \varphi_2))\] **Пример:** Пусть \(z_1 = 2(\cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3})\) и \(z_2 = 3(\cos \frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6})\). \[z_1 \cdot z_2 = (2 \cdot 3)\left(\cos\left(\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6}\right) + i \sin\left(\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6}\right)\right)\] \[= 6\left(\cos\left(\frac{2\pi}{6} + \frac{\pi}{6}\right) + i \sin\left(\frac{2\pi}{6} + \frac{\pi}{6}\right)\right)\] \[= 6\left(\cos\left(\frac{3\pi}{6}\right) + i \sin\left(\frac{3\pi}{6}\right)\right)\] \[= 6\left(\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) + i \sin\left(\frac{\pi}{2}\right)\right)\] В алгебраической форме: \(6(0 + i \cdot 1) = 6i\). **2. Деление:** * **В показательной форме:** При делении модули делятся, а аргументы вычитаются. \[\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1 e^{i\varphi_1}}{r_2 e^{i\varphi_2}} = \frac{r_1}{r_2} e^{i(\varphi_1 - \varphi_2)}\] * **В тригонометрической форме:** \[\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2} (\cos(\varphi_1 - \varphi_2) + i \sin(\varphi_1 - \varphi_2))\] **Пример:** Пусть \(z_1 = 6(\cos \frac{2\pi}{3} + i \sin \frac{2\pi}{3})\) и \(z_2 = 2(\cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3})\). \[\frac{z_1}{z_2} = \frac{6}{2}\left(\cos\left(\frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{3}\right) + i \sin\left(\frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{3}\right)\right)\] \[= 3\left(\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) + i \sin\left(\frac{\pi}{3}\right)\right)\] В алгебраической форме: \(3(\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{3}{2} + \frac{3\sqrt{3}}{2}i\). **3. Возведение в степень (Формула Муавра):** * **В показательной форме:** \[z^n = (r e^{i\varphi})^n = r^n e^{in\varphi}\] * **В тригонометрической форме (Формула Муавра):** \[z^n = (r(\cos \varphi + i \sin \varphi))^n = r^n (\cos(n\varphi) + i \sin(n\varphi))\] Эта формула справедлива для любого целого числа \(n\). **Пример:** Вычислить \((1 + i)^4\). Сначала переведем \(z = 1 + i\) в тригонометрическую форму: \(r = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}\) \(\varphi = \frac{\pi}{4}\) \(z = \sqrt{2}(\cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4})\) Теперь применим формулу Муавра для \(n=4\): \[(1 + i)^4 = (\sqrt{2})^4 \left(\cos\left(4 \cdot \frac{\pi}{4}\right) + i \sin\left(4 \cdot \frac{\pi}{4}\right)\right)\] \[= 4 (\cos \pi + i \sin \pi)\] \[= 4 (-1 + i \cdot 0) = -4\] **4. Извлечение корня \(n\)-й степени:** * **В показательной форме:** Корень \(n\)-й степени из комплексного числа \(z = r e^{i\varphi}\) имеет \(n\) различных значений, которые находятся по формуле: \[\sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{r} e^{i \frac{\varphi + 2\pi k}{n}}\] где \(k = 0, 1, 2, \dots, n-1\). \(\sqrt[n]{r}\) — это арифметический корень из действительного числа \(r\). * **В тригонометрической форме:** \[\sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{r} \left(\cos\left(\frac{\varphi + 2\pi k}{n}\right) + i \sin\left(\frac{\varphi + 2\pi k}{n}\right)\right)\] где \(k = 0, 1, 2, \dots, n-1\). **Пример:** Найти все значения \(\sqrt[3]{8i}\). Сначала переведем \(z = 8i\) в тригонометрическую форму: \(a = 0, b = 8\). \(r = \sqrt{0^2 + 8^2} = \sqrt{64} = 8\) \(\cos \varphi = \frac{0}{8} = 0\) \(\sin \varphi = \frac{8}{8} = 1\) Значит, \(\varphi = \frac{\pi}{2}\). \(z = 8\left(\cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2}\right)\) Теперь применим формулу для извлечения корня при \(n=3\): \(\sqrt[3]{8} = 2\). \[z_k = 2\left(\cos\left(\frac{\frac{\pi}{2} + 2\pi k}{3}\right) + i \sin\left(\frac{\frac{\pi}{2} + 2\pi k}{3}\right)\right)\] для \(k = 0, 1, 2\). * **Для \(k=0\):** \[z_0 = 2\left(\cos\left(\frac{\pi/2}{3}\right) + i \sin\left(\frac{\pi/2}{3}\right)\right) = 2\left(\cos \frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6}\right)\] \[= 2\left(\frac{\sqrt{3}}{2} + i \frac{1}{2}\right) = \sqrt{3} + i\] * **Для \(k=1\):** \[z_1 = 2\left(\cos\left(\frac{\pi/2 + 2\pi}{3}\right) + i \sin\left(\frac{\pi/2 + 2\pi}{3}\right)\right) = 2\left(\cos\left(\frac{5\pi/2}{3}\right) + i \sin\left(\frac{5\pi/2}{3}\right)\right)\] \[= 2\left(\cos \frac{5\pi}{6} + i \sin \frac{5\pi}{6}\right) = 2\left(-\frac{\sqrt{3}}{2} + i \frac{1}{2}\right) = -\sqrt{3} + i\] * **Для \(k=2\):** \[z_2 = 2\left(\cos\left(\frac{\pi/2 + 4\pi}{3}\right) + i \sin\left(\frac{\pi/2 + 4\pi}{3}\right)\right) = 2\left(\cos\left(\frac{9\pi/2}{3}\right) + i \sin\left(\frac{9\pi/2}{3}\right)\right)\] \[= 2\left(\cos \frac{3\pi}{2} + i \sin \frac{3\pi}{2}\right) = 2(0 + i \cdot (-1)) = -2i\] Таким образом, \(\sqrt[3]{8i}\) имеет три значения: \(\sqrt{3} + i\), \(-\sqrt{3} + i\), \(-2i\).