Решение задачи: Построение графика функции и определение значений m

Задание: Постройте график функции и определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y = m\) имеет с графиком три общие точки. В ответ запишите наибольшее целое число. Решение для записи в тетрадь: 1. Функция состоит из двух частей: \[y = \begin{cases} x^2 - 2x - 1, & x \ge -2 \\ -\frac{14}{x}, & x < -2 \end{cases}\] 2. Исследуем первую часть (парабола \(y = x^2 - 2x - 1\) при \(x \ge -2\)): - Найдем вершину параболы: \[x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1\] \[y_0 = 1^2 - 2 \cdot 1 - 1 = -2\] Вершина в точке \((1; -2)\). - Найдем значение в граничной точке \(x = -2\): \[y(-2) = (-2)^2 - 2(-2) - 1 = 4 + 4 - 1 = 7\] Точка \((-2; 7)\) — начало этого участка. 3. Исследуем вторую часть (гипербола \(y = -\frac{14}{x}\) при \(x < -2\)): - Найдем значение в граничной точке \(x = -2\): \[y = -\frac{14}{-2} = 7\] Графики смыкаются в точке \((-2; 7)\). - При \(x \to -\infty\), \(y \to 0\) (ветвь гиперболы приближается к оси \(x\) сверху). 4. Анализ количества решений (пересечений с прямой \(y = m\)): - Если \(m < -2\): решений нет (ниже вершины параболы). - Если \(m = -2\): 1 решение (вершина параболы). - Если \(-2 < m \le 0\): 2 решения (две ветви параболы). - Если \(0 < m < 7\): 3 решения (две ветви параболы и одна ветвь гиперболы). - Если \(m = 7\): 2 решения (точка стыка и правая ветвь параболы). - Если \(m > 7\): 1 решение (правая ветвь параболы). 5. Условие "три общие точки" выполняется при: \[0 < m < 7\] 6. Нам нужно найти наибольшее целое число из этого интервала. Это число \(6\). Ответ: 6