Задание:
Найти длину гамильтонова цикла S4 в полном графе K6 после четырех циклов решения задачи методом отжига по вариантам ниже.
Анализ данных для варианта 1:
1. Граф K6:
На рисунке изображен полный граф с 6 вершинами (K6). Это означает, что каждая вершина соединена с каждой другой вершиной. Вершины пронумерованы от 1 до 6.
2. Длины ребер \(L_{i,j}\):
Дана таблица с длинами ребер между вершинами. Это "стоимость" прохождения от одной вершины к другой.
| Ребро \(L_{i,j}\) | Длина |
| 1-2 | 26 |
| 1-3 | 42 |
| 1-4 | 44 |
| 1-5 | 31 |
| 1-6 | 24 |
| 2-3 | 20 |
| 2-4 | 34 |
| 2-5 | 40 |
| 2-6 | 15 |
| 3-4 | 23 |
| 3-5 | 43 |
| 3-6 | 20 |
| 4-5 | 27 |
| 4-6 | 22 |
| 5-6 | 26 |
3. Начальный Гамильтонов цикл V:
\[V = [1, 2, 3, 4, 5, 6, 1]\] Это начальный путь, который проходит через все вершины ровно один раз и возвращается в начальную вершину. Длина этого цикла будет вычислена как сумма длин ребер: \(L_{1,2} + L_{2,3} + L_{3,4} + L_{4,5} + L_{5,6} + L_{6,1}\).
4. Изменения (перестановки) Z:
\[Z = [V_3 \rightleftharpoons V_4], [V_4 \rightleftharpoons V_6], [V_5 \rightleftharpoons V_6], [V_6 \rightleftharpoons V_2]\] Это последовательность предложенных изменений (перестановок) в цикле. Каждое изменение означает обмен местами двух вершин в текущем цикле. Например, \(V_3 \rightleftharpoons V_4\) означает, что третья и четвертая вершины в текущем цикле меняются местами.
5. Вероятности P:
\[P = 90, 45, 43, 31\] Это вероятности (в процентах), с которыми принимается худшее решение на каждом шаге метода отжига. Если новое решение хуже текущего, оно может быть принято с этой вероятностью. Если лучше, то принимается всегда.
Метод отжига (объяснение для школьника):
Метод отжига - это способ найти наилучший (или очень хороший) путь в графе, когда есть много возможных путей. Он работает так:
- Начинаем с какого-то пути: Берем любой Гамильтонов цикл (V).
- Предлагаем изменение: Случайно меняем местами две вершины в пути (это Z).
- Считаем новую длину: Вычисляем длину нового пути.
- Принимаем решение:
- Если новый путь короче, чем старый, мы всегда его принимаем.
- Если новый путь длиннее, мы можем его принять, но только с некоторой вероятностью (это P). Эта вероятность со временем уменьшается (как "температура" при отжиге металла). Это позволяет алгоритму "выбраться" из плохих, но локально оптимальных решений.
- Повторяем: Делаем это много раз, пока не найдем достаточно хороший путь.
В нашем задании нам даны конкретные изменения Z и вероятности P для каждого из четырех циклов.
Решение задачи (пошагово):
Шаг 0: Начальный цикл V и его длина.
Начальный цикл: \(V_0 = [1, 2, 3, 4, 5, 6, 1]\)
Длина \(L(V_0)\) = \(L_{1,2} + L_{2,3} + L_{3,4} + L_{4,5} + L_{5,6} + L_{6,1}\)
Используем таблицу длин ребер:
- \(L_{1,2} = 26\)
- \(L_{2,3} = 20\)
- \(L_{3,4} = 23\)
- \(L_{4,5} = 27\)
- \(L_{5,6} = 26\)
- \(L_{6,1} = 24\)
Длина \(L(V_0) = 26 + 20 + 23 + 27 + 26 + 24 = 146\)
Текущий цикл: \(V_{current} = [1, 2, 3, 4, 5, 6, 1]\), Длина: \(L_{current} = 146\)
Цикл 1:
Предложенное изменение: \(Z_1 = [V_3 \rightleftharpoons V_4]\). Это означает, что 3-я и 4-я вершины в цикле меняются местами.
Текущий цикл: \(V_{current} = [1, 2, 3, 4, 5, 6, 1]\)
Меняем местами \(V_3\) (это 3) и \(V_4\) (это 4).
Новый цикл \(V_{new} = [1, 2, 4, 3, 5, 6, 1]\)
Вычислим длину \(L(V_{new})\):
Изменились ребра: \(L_{2,3}\) и \(L_{3,4}\) и \(L_{4,5}\) стали \(L_{2,4}\) и \(L_{4,3}\) и \(L_{3,5}\).
Старые ребра: \(L_{2,3} = 20\), \(L_{3,4} = 23\), \(L_{4,5} = 27\)
Новые ребра: \(L_{2,4} = 34\), \(L_{4,3} = 23\) (длина ребра 4-3 такая же, как 3-4), \(L_{3,5} = 43\)
Разница в длине: \((L_{2,4} + L_{4,3} + L_{3,5}) - (L_{2,3} + L_{3,4} + L_{4,5})\)
\((34 + 23 + 43) - (20 + 23 + 27) = 100 - 70 = 30\)
Длина \(L(V_{new}) = L_{current} + 30 = 146 + 30 = 176\)
Сравнение: \(L_{new} = 176\), \(L_{current} = 146\). Новый путь длиннее.
Вероятность принятия \(P_1 = 90\%\). Так как 90% - это высокая вероятность, и в условиях задачи не указано, как генерировать случайное число, мы **предполагаем**, что худшее решение принимается, если его вероятность больше или равна P. В реальном методе отжига генерируется случайное число от 0 до 100, и если оно меньше P, то решение принимается. Для простоты, если не сказано иное, мы можем считать, что если P > 50%, то принимаем.
Принимаем \(V_{new}\).
Текущий цикл: \(V_{current} = [1, 2, 4, 3, 5, 6, 1]\), Длина: \(L_{current} = 176\)
Цикл 2:
Предложенное изменение: \(Z_2 = [V_4 \rightleftharpoons V_6]\). Это означает, что 4-я и 6-я вершины в текущем цикле меняются местами.
Текущий цикл: \(V_{current} = [1, 2, 4, 3, 5, 6, 1]\)
Меняем местами \(V_4\) (это 3) и \(V_6\) (это 6).
Новый цикл \(V_{new} = [1, 2, 4, 6, 5, 3, 1]\)
Вычислим длину \(L(V_{new})\):
Изменились ребра: \(L_{2,4}\), \(L_{4,3}\), \(L_{3,5}\), \(L_{5,6}\), \(L_{6,1}\) стали \(L_{2,4}\), \(L_{4,6}\), \(L_{6,5}\), \(L_{5,3}\), \(L_{3,1}\).
Старые ребра, связанные с 3 и 6: \(L_{2,4}=34\), \(L_{4,3}=23\), \(L_{3,5}=43\), \(L_{5,6}=26\), \(L_{6,1}=24\)
Новые ребра: \(L_{2,4}=34\), \(L_{4,6}=22\), \(L_{6,5}=26\) (длина 6-5 такая же, как 5-6), \(L_{5,3}=43\) (длина 5-3 такая же, как 3-5), \(L_{3,1}=42\) (длина 3-1 такая же, как 1-3)
Разница в длине: \((L_{2,4} + L_{4,6} + L_{6,5} + L_{5,3} + L_{3,1}) - (L_{2,4} + L_{4,3} + L_{3,5} + L_{5,6} + L_{6,1})\)
\((34 + 22 + 26 + 43 + 42) - (34 + 23 + 43 + 26 + 24) = 167 - 150 = 17\)
Длина \(L(V_{new}) = L_{current} + 17 = 176 + 17 = 193\)
Сравнение: \(L_{new} = 193\), \(L_{current} = 176\). Новый путь длиннее.
Вероятность принятия \(P_2 = 45\%\). Так как 45% < 50%, мы **предполагаем**, что худшее решение **не принимается**.
Не принимаем \(V_{new}\).
Текущий цикл остается: \(V_{current} = [1, 2, 4, 3, 5, 6, 1]\), Длина: \(L_{current} = 176\)
Цикл 3:
Предложенное изменение: \(Z_3 = [V_5 \rightleftharpoons V_6]\). Это означает, что 5-я и 6-я вершины в текущем цикле меняются местами.
Текущий цикл: \(V_{current} = [1, 2, 4, 3, 5, 6, 1]\)
Меняем местами \(V_5\) (это 5) и \(V_6\) (это 6).
Новый цикл \(V_{new} = [1, 2, 4, 3, 6, 5, 1]\)
Вычислим длину \(L(V_{new})\):
Изменились ребра: \(L_{3,5}\), \(L_{5,6}\), \(L_{6,1}\) стали \(L_{3,6}\), \(L_{6,5}\), \(L_{5,1}\).
Старые ребра: \(L_{3,5} = 43\), \(L_{5,6} = 26\), \(L_{6,1} = 24\)
Новые ребра: \(L_{3,6} = 20\), \(L_{6,5} = 26\) (длина 6-5 такая же, как 5-6), \(L_{5,1} = 31\) (длина 5-1 такая же, как 1-5)
Разница в длине: \((L_{3,6} + L_{6,5} + L_{5,1}) - (L_{3,5} + L_{5,6} + L_{6,1})\)
\((20 + 26 + 31) - (43 + 26 + 24) = 77 - 93 = -16\)
Длина \(L(V_{new}) = L_{current} - 16 = 176 - 16 = 160\)
Сравнение: \(L_{new} = 160\), \(L_{current} = 176\). Новый путь короче.
Принимаем \(V_{new}\).
Текущий цикл: \(V_{current} = [1, 2, 4, 3, 6, 5, 1]\), Длина: \(L_{current} = 160\)
Цикл 4:
Предложенное изменение: \(Z_4 = [V_6 \rightleftharpoons V_2]\). Это означает, что 6-я и 2-я вершины в текущем цикле меняются местами.
Текущий цикл: \(V_{current} = [1, 2, 4, 3, 6, 5, 1]\)
Меняем местами \(V_6\) (это 5) и \(V_2\) (это 2).
Новый цикл \(V_{new} = [1, 5, 4, 3, 6, 2, 1]\)
Вычислим длину \(L(V_{new})\):
Изменились ребра: \(L_{1,2}\), \(L_{2,4}\), \(L_{6,5}\), \(L_{5,1}\) стали \(L_{1,5}\), \(L_{5,4}\), \(L_{6,2}\), \(L_{2,1}\).
Старые ребра: \(L_{1,2} = 26\), \(L_{2,4} = 34\), \(L_{6,5} = 26\), \(L_{5,1} = 31\)
Новые ребра: \(L_{1,5} = 31\), \(L_{5,4} = 27\) (длина 5-4 такая же, как 4-5), \(L_{6,2} = 15\) (длина 6-2 такая же, как 2-6), \(L_{2,1} = 26\) (длина 2-1 такая же, как 1-2)
Разница в длине: \((L_{1,5} + L_{5,4} + L_{6,2} + L_{2,1}) - (L_{1,2} + L_{2,4} + L_{6,5} + L_{5,1})\)
\((31 + 27 + 15 + 26) - (26 + 34 + 26 + 31) = 99 - 117 = -18\)
Длина \(L(V_{new}) = L_{current} - 18 = 160 - 18 = 142\)
Сравнение: \(L_{new} = 142\), \(L_{current} = 160\). Новый путь короче.
Принимаем \(V_{new}\).
Текущий цикл: \(V_{current} = [1, 5, 4, 3, 6, 2, 1]\), Длина: \(L_{current} = 142\)
Итоговый ответ:
Длина гамильтонова цикла S4 после четырех циклов решения задачи методом отжига составляет 142.
Как это переписать в тетрадь школьнику:
Задание: Найти длину гамильтонова цикла S4 в полном графе K6 после четырех циклов решения задачи методом отжига.
1. Что такое Гамильтонов цикл?
Это путь в графе, который проходит через каждую вершину ровно один раз и возвращается в начальную вершину. Наша задача - найти такой путь с наименьшей общей длиной.
2. Что такое метод отжига?
Это способ найти хороший (короткий) Гамильтонов цикл. Мы начинаем с какого-то пути, потом немного его меняем. Если новый путь короче, мы его берем. Если длиннее, то можем взять, но только с некоторой вероятностью. Эта вероятность со временем уменьшается.
3. Исходные данные:
- Граф: K6 (6 вершин, все соединены).
- Длины ребер: (переписать таблицу из задания).
- Начальный цикл \(V_0\): \[V_0 = [1, 2, 3, 4, 5, 6, 1]\]
- Предложенные изменения (перестановки вершин):
- \(Z_1 = [V_3 \rightleftharpoons V_4]\)
- \(Z_2 = [V_4 \rightleftharpoons V_6]\)
- \(Z_3 = [V_5 \rightleftharpoons V_6]\)
- \(Z_4 = [V_6 \rightleftharpoons V_2]\)
- Вероятности принятия худшего решения:
- \(P_1 = 90\%\)
- \(P_2 = 45\%\)
- \(P_3 = 43\%\)
- \(P_4 = 31\%\)
(Принимаем худшее решение, если \(P \ge 50\%\). Не принимаем, если \(P < 50\%\).)
4. Пошаговое решение:
Шаг 0: Начальный цикл
Цикл: \(V_{current} = [1, 2, 3, 4, 5, 6, 1]\)
Длина: \(L_{current} = L_{1,2} + L_{2,3} + L_{3,4} + L_{4,5} + L_{5,6} + L_{6,1}\)
\(= 26 + 20 + 23 + 27 + 26 + 24 = 146\)
Цикл 1:
Изменение: \(V_3 \rightleftharpoons V_4\) (меняем 3 и 4 местами)
Новый цикл: \(V_{new} = [1, 2, 4, 3, 5, 6, 1]\)
Изменившиеся ребра: \(L_{2,3}, L_{3,4}, L_{4,5}\) на \(L_{2,4}, L_{4,3}, L_{3,5}\)
Старая сумма: \(20 + 23 + 27 = 70\)
Новая сумма: \(34 + 23 + 43 = 100\)
Разница: \(100 - 70 = 30\)
Длина \(L_{new} = 146 + 30 = 176\)
Сравнение: \(176 > 146\) (длиннее). Вероятность \(P_1 = 90\%\). Принимаем.
Текущий цикл: \(V_{current} = [1, 2, 4, 3, 5, 6, 1]\), Длина: \(L_{current} = 176\)
Цикл 2:
Изменение: \(V_4 \rightleftharpoons V_6\) (меняем 3 и 6 местами)
Новый цикл: \(V_{new} = [1, 2, 4, 6, 5, 3, 1]\)
Изменившиеся ребра: \(L_{2,4}, L_{4,3}, L_{3,5}, L_{5,6}, L_{6,1}\) на \(L_{2,4}, L_{4,6}, L_{6,5}, L_{5,3}, L_{3,1}\)
Старая сумма: \(34 + 23 + 43 + 26 + 24 = 150\)
Новая сумма: \(34 + 22 + 26 + 43 + 42 = 167\)
Разница: \(167 - 150 = 17\)
Длина \(L_{new} = 176 + 17 = 193\)
Сравнение: \(193 > 176\) (длиннее). Вероятность \(P_2 = 45\%\). Не принимаем.
Текущий цикл: \(V_{current} = [1, 2, 4, 3, 5, 6, 1]\), Длина: \(L_{current} = 176\)
Цикл 3:
Изменение: \(V_5 \rightleftharpoons V_6\) (меняем 5 и 6 местами)
Новый цикл: \(V_{new} = [1, 2, 4, 3, 6, 5, 1]\)
Изменившиеся ребра: \(L_{3,5}, L_{5,6}, L_{6,1}\) на \(L_{3,6}, L_{6,5}, L_{5,1}\)
Старая сумма: \(43 + 26 + 24 = 93\)
Новая сумма: \(20 + 26 + 31 = 77\)
Разница: \(77 - 93 = -16\)
Длина \(L_{new} = 176 - 16 = 160\)
Сравнение: \(160 < 176\) (короче). Принимаем.
Текущий цикл: \(V_{current} = [1, 2, 4, 3, 6, 5, 1]\), Длина: \(L_{current} = 160\)
Цикл 4:
Изменение: \(V_6 \rightleftharpoons V_2\) (меняем 5 и 2 местами)
Новый цикл: \(V_{new} = [1, 5, 4, 3, 6, 2, 1]\)
Изменившиеся ребра: \(L_{1,2}, L_{2,4}, L_{6,5}, L_{5,1}\) на \(L_{1,5}, L_{5,4}, L_{6,2}, L_{2,1}\)
Старая сумма: \(26 + 34 + 26 + 31 = 117\)
Новая сумма: \(31 + 27 + 15 + 26 = 99\)
Разница: \(99 - 117 = -18\)
Длина \(L_{new} = 160 - 18 = 142\)
Сравнение: \(142 < 160\) (короче). Принимаем.
Текущий цикл: \(V_{current} = [1, 5, 4, 3, 6, 2, 1]\), Длина: \(L_{current} = 142\)
5. Окончательный ответ:
Длина гамильтонова цикла S4 после четырех циклов решения задачи методом отжига составляет 142.