Решение задачи: Анализ результатов генетического алгоритма

Ответ:

max_1_step: 1.4857142857142858
max_2_step: 1.4615384615384615
max_3_step: 2.967032967032967
max_4_step: 3.5384615384615383
max Z: 1.0

Анализ и сравнение:

В предыдущем задании мы рассматривали генетический алгоритм с функцией качества \[Z = \frac{x - 3y + 1}{3x^2 + 3y^2 + 1}\] и начальными данными:

Начальная популяция:

• Хромосома 1: (x=-2, y=-2) -> Z = 0.2
• Хромосома 2: (x=-1, y=-1) -> Z = 3/7 ≈ 0.42857
• Хромосома 3: (x=0, y=0) -> Z = 1
• Хромосома 4: (x=1, y=1) -> Z = -1/7 ≈ -0.14286

Максимальное Z в начальной популяции: 1 (для (0,0)).

Давайте посмотрим на предоставленный "Ответ":

• max_1_step: 1.4857142857142858
• max_2_step: 1.4615384615384615
• max_3_step: 2.967032967032967
• max_4_step: 3.5384615384615383
• max Z: 1.0

Наблюдения:

1. Значения max_N_step: Эти значения показывают максимальное качество Z, достигнутое в популяции после каждого шага эволюции. Они значительно выше, чем максимальное Z в начальной популяции (которое было 1). Это говорит о том, что генетический алгоритм успешно находит хромосомы с лучшими показателями качества.
2. Значение max Z: 1.0: Это значение вызывает вопросы. Если max_N_step показывают значения больше 1 (например, 3.538...), то общее максимальное Z за все шаги должно быть равно максимальному из этих значений, то есть 3.538... . Значение 1.0 здесь, скорее всего, является ошибкой или относится к какому-то другому параметру, нежели к общему максимальному Z, достигнутому в процессе эволюции. Возможно, это максимальное Z в *начальной* популяции, но тогда оно должно быть выведено отдельно.

Давайте проверим, какие хромосомы могли бы дать такие значения Z:

Например, для max_4_step: 3.5384615384615383, это значение равно \(46/13\).
Мы знаем, что \(Z = \frac{x - 3y + 1}{3x^2 + 3y^2 + 1}\).

Если, например, \(x=0, y=-1\), то \(Z = \frac{0 - 3(-1) + 1}{3(0)^2 + 3(-1)^2 + 1} = \frac{3 + 1}{0 + 3 + 1} = \frac{4}{4} = 1\).

Если, например, \(x=0, y=-2\), то \(Z = \frac{0 - 3(-2) + 1}{3(0)^2 + 3(-2)^2 + 1} = \frac{6 + 1}{0 + 12 + 1} = \frac{7}{13} \approx 0.53846\).

Если, например, \(x=1, y=-1\), то \(Z = \frac{1 - 3(-1) + 1}{3(1)^2 + 3(-1)^2 + 1} = \frac{1 + 3 + 1}{3 + 3 + 1} = \frac{5}{7} \approx 0.71428\).

Если, например, \(x=1, y=-2\), то \(Z = \frac{1 - 3(-2) + 1}{3(1)^2 + 3(-2)^2 + 1} = \frac{1 + 6 + 1}{3 + 12 + 1} = \frac{8}{16} = 0.5\).

Если, например, \(x=2, y=-1\), то \(Z = \frac{2 - 3(-1) + 1}{3(2)^2 + 3(-1)^2 + 1} = \frac{2 + 3 + 1}{12 + 3 + 1} = \frac{6}{16} = 0.375\).

Если, например, \(x=-1, y=-2\), то \(Z = \frac{-1 - 3(-2) + 1}{3(-1)^2 + 3(-2)^2 + 1} = \frac{-1 + 6 + 1}{3 + 12 + 1} = \frac{6}{16} = 0.375\).

Значения 1.4857... (104/70 или 74/47) или 2.967... (2967/1000) или 3.538... (46/13) не получаются из простых комбинаций x, y из диапазона [-2, -1, 0, 1]. Это означает, что в процессе обмена генами (скрещивания) могли появиться новые значения x и y, которые не были в начальной популяции, или же схема обмена генами в коде, который генерировал этот ответ, отличается от той, которую мы предполагали.

В нашем коде `exchangeScheme` создает новые X и Y из `oldX` и `oldY`, которые являются элементами исходной популяции. То есть, новые хромосомы будут иметь гены, которые уже были в начальной популяции. Если это так, то максимальное Z не может быть больше 1, так как 1 - это максимальное Z для исходных пар (x,y).

Возможные причины расхождения:

1. Другая схема обмена генами: Схема обмена генами на рисунке (с цветными квадратами) могла быть интерпретирована иначе, чем в нашем коде `exchangeScheme`. Например, если гены `x` и `y` могут быть взяты из разных хромосом-родителей, а не только из одной.
2. Мутации: В генетических алгоритмах часто присутствует мутация, когда случайным образом изменяется один или несколько генов. Это позволяет алгоритму исследовать новые области пространства решений и находить более оптимальные значения. Если в алгоритме, который генерировал этот ответ, есть мутации, то могут появиться новые значения x и y, которые дадут более высокие Z.
3. Другие начальные данные: Возможно, начальные данные x и y были другими, или диапазон возможных значений x и y был шире.
4. Ошибка в расчетах: Всегда есть вероятность ошибки в ручных расчетах или в интерпретации алгоритма.

Вывод для школьника:

Ответ:

max_1_step: 1.4857142857142858
max_2_step: 1.4615384615384615
max_3_step: 2.967032967032967
max_4_step: 3.5384615384615383
max Z: 1.0

Анализ полученных результатов:

1. Улучшение качества: Мы видим, что максимальное качество хромосом (max_N_step) значительно увеличивается с каждым шагом эволюции. Это показывает, что генетический алгоритм работает и находит все более "приспособленные" хромосомы. Например, на первом шаге максимальное качество стало 1.4857, а на четвертом шаге достигло 3.5384.
2. Несоответствие "max Z": Значение "max Z: 1.0" в конце ответа, вероятно, относится к максимальному качеству в *начальной* популяции или является ошибкой. Если бы это было общее максимальное качество за все шаги, оно должно было бы быть равно 3.5384615384615383 (максимальное из всех max_N_step).
3. Появление новых значений: Тот факт, что максимальное качество Z стало больше 1 (а в начальной популяции максимальное Z было 1 для (0,0)), говорит о том, что в процессе эволюции появились новые комбинации генов (x, y), которые не были в исходной популяции. Это могло произойти либо за счет более сложной схемы обмена генами, чем мы предполагали, либо за счет механизма мутации (случайного изменения генов), который часто используется в генетических алгоритмах.

Заключение:

Представленный ответ демонстрирует, что генетический алгоритм способен находить более оптимальные решения (хромосомы с более высоким качеством Z) по мере прохождения этапов эволюции. Однако, для полного понимания, как были получены такие высокие значения Z, необходимо знать точную реализацию функции `exchangeScheme` и наличие/отсутствие мутаций в алгоритме, который генерировал этот ответ.