Решение задачи Вариант 22: Подробный разбор

Ниже представлено подробное решение задач Варианта 22, оформленное для удобного переписывания в тетрадь. Вариант 22 Задача 1. Составить формулу общего члена ряда и исследовать на сходимость. \[ \frac{3}{1 \cdot 2 \cdot 3} + \frac{7}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4} + \frac{11}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5} + \frac{15}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6} + \dots \] Решение: 1) Заметим закономерность в числителях: 3, 7, 11, 15... Это арифметическая прогрессия с первым членом \( a_1 = 3 \) и разностью \( d = 4 \). Формула числителя: \( 3 + 4(n-1) = 4n - 1 \). 2) Знаменатели представляют собой факториалы. Для первого члена (\( n=1 \)) это \( 3! \), для второго (\( n=2 \)) это \( 4! \). Значит, формула знаменателя: \( (n+2)! \). Общий член ряда: \[ a_n = \frac{4n - 1}{(n+2)!} \] 3) Исследуем на сходимость по признаку Даламбера: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{4(n+1)-1}{(n+3)!} \cdot \frac{(n+2)!}{4n-1} = \lim_{n \to \infty} \frac{4n+3}{(n+3)(n+2)!} \cdot \frac{(n+2)!}{4n-1} = \lim_{n \to \infty} \frac{4n+3}{(n+3)(4n-1)} = 0 \] Так как \( 0 < 1 \), ряд сходится. Задача 2. Исследовать ряд \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2+2}{n^3+2^n} \) на сходимость. Решение: При больших \( n \) знаменатель растет как показательная функция \( 2^n \), которая значительно быстрее степенной \( n^3 \). Сравним данный ряд с геометрической прогрессией \( \sum \frac{n^2}{2^n} \). Еще проще сравнить с рядом \( \sum \frac{1}{2^{n/2}} \), но воспользуемся признаком Даламбера для исходного ряда: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^2+2}{(n+1)^3+2^{n+1}} \cdot \frac{n^3+2^n}{n^2+2} = \frac{1}{2} \] Так как \( \frac{1}{2} < 1 \), ряд сходится. Задача 3. Исследовать ряд \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n^2-2n+5} \) на сходимость. Решение: Применим признак сравнения. При \( n \to \infty \) общий член ряда ведет себя как: \[ a_n \approx \frac{n}{n^2} = \frac{1}{n} \] Ряд \( \sum \frac{1}{n} \) — это гармонический ряд (ряд Дирихле при \( p=1 \)), который расходится. Так как \( \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{1/n} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^2}{n^2-2n+5} = 1 \neq 0 \), то по предельному признаку сравнения исходный ряд также расходится. Задача 4. Применяя признак Даламбера, исследовать ряд \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^n}{(n+2)! \cdot 4^{n+1}} \). Решение: \[ a_n = \frac{3^n}{(n+2)! \cdot 4^{n+1}} \] \[ a_{n+1} = \frac{3^{n+1}}{(n+3)! \cdot 4^{n+2}} \] Находим предел отношения: \[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{3^{n+1}}{(n+3)! \cdot 4^{n+2}} \cdot \frac{(n+2)! \cdot 4^{n+1}}{3^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{3 \cdot (n+2)! \cdot 4^{n+1}}{(n+3)(n+2)! \cdot 4 \cdot 4^{n+1}} = \lim_{n \to \infty} \frac{3}{4(n+3)} = 0 \] Так как \( L = 0 < 1 \), ряд сходится. Задача 5. Применяя радикальный признак Коши, исследовать ряд \( \sum_{n=1}^{\infty} 2^{n+1} \cdot e^{-n} \). Решение: \[ a_n = 2 \cdot 2^n \cdot e^{-n} = 2 \cdot \left(\frac{2}{e}\right)^n \] Вычисляем предел: \[ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{2} \cdot \frac{2}{e} = 1 \cdot \frac{2}{e} = \frac{2}{e} \] Так как \( e \approx 2.71 \), то \( \frac{2}{2.71} < 1 \). Следовательно, ряд сходится. Задача 6. Исследовать на сходимость знакочередующийся ряд \( \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{1}{n \sqrt[3]{n}} \). Решение: Запишем общий член как \( a_n = (-1)^{n-1} \frac{1}{n^{4/3}} \). 1) Проверим абсолютную сходимость. Рассмотрим ряд из модулей: \( \sum \frac{1}{n^{4/3}} \). Это ряд Дирихле с \( p = 4/3 \). Так как \( 4/3 > 1 \), ряд сходится абсолютно. 2) По признаку Лейбница ряд также сходится. Ответ: ряд сходится абсолютно. Задача 7. Отыскать область сходимости функционального ряда \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x+3)^n}{n \sqrt{n}} \). Решение: Это степенной ряд относительно \( (x+3) \). Коэффициент \( c_n = \frac{1}{n^{3/2}} \). Радиус сходимости \( R \): \[ R = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{c_n}{c_{n+1}} \right| = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^{3/2}}{n^{3/2}} = 1 \] Интервал сходимости: \( |x+3| < 1 \), то есть \( -4 < x < -2 \). Исследуем концы: При \( x = -2 \): ряд \( \sum \frac{1}{n^{3/2}} \) сходится (\( p = 1.5 > 1 \)). При \( x = -4 \): ряд \( \sum \frac{(-1)^n}{n^{3/2}} \) сходится абсолютно. Область сходимости: \( x \in [-4, -2] \). Задача 8. Разложить функцию \( \frac{1}{\sqrt{1-x^4}} \) в ряд Тейлора. Решение: Используем биномиальное разложение \( (1+t)^\alpha = 1 + \alpha t + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!} t^2 + \dots \) Здесь \( t = -x^4 \), \( \alpha = -1/2 \). \[ \frac{1}{\sqrt{1-x^4}} = 1 + \frac{1}{2}x^4 + \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4}x^8 + \frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{2 \cdot 4 \cdot 6}x^{12} + \dots \] Общий член: \( 1 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!} x^{4n} \). Задача 9. Вычислить приближенно \( arctg(0.3) \). Решение: Используем ряд \( arctg(x) = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \dots \) Подставим \( x = 0.3 \): \[ arctg(0.3) \approx 0.3 - \frac{(0.3)^3}{3} + \frac{(0.3)^5}{5} = 0.3 - \frac{0.027}{3} + \frac{0.00243}{5} = 0.3 - 0.009 + 0.000486 = 0.291486 \] Задача 10. Вычислить приближенно \( \int_{0}^{0.5} e^{-x} \sqrt{x} dx \). Решение: Разложим \( e^{-x} \) в ряд: \( e^{-x} = 1 - x + \frac{x^2}{2} - \dots \) Умножим на \( \sqrt{x} \): \( \sqrt{x} e^{-x} = x^{1/2} - x^{3/2} + \frac{x^{5/2}}{2} \) Интегрируем: \[ \int_{0}^{0.5} (x^{1/2} - x^{3/2} + \frac{x^{5/2}}{2}) dx = \left[ \frac{2}{3}x^{3/2} - \frac{2}{5}x^{5/2} + \frac{x^{7/2}}{7} \right]_0^{0.5} \] Подставляем \( 0.5 \): \[ \approx \frac{2}{3}(0.5)^{1.5} - \frac{2}{5}(0.5)^{2.5} \approx 0.2357 - 0.0707 = 0.165 \] Задача 11. Найти частное решение \( y'' = yy' + x^2 - e^x \), \( y(0)=1, y'(0)=0 \). Решение: Ищем решение в виде \( y(x) = y(0) + y'(0)x + \frac{y''(0)}{2}x^2 + \frac{y'''(0)}{6}x^3 + \dots \) 1) \( y(0) = 1, y'(0) = 0 \). 2) Из уравнения: \( y''(0) = y(0)y'(0) + 0^2 - e^0 = 1 \cdot 0 + 0 - 1 = -1 \). 3) Дифференцируем уравнение: \( y''' = y'y' + yy'' + 2x - e^x \). \( y'''(0) = (0)^2 + 1 \cdot (-1) + 0 - 1 = -2 \). Итого: \( y(x) \approx 1 - \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{3}x^3 \). Задача 12. Разложить в ряд Фурье \( f(x) = 0 \) при \( -\pi \le x < 0 \) и \( f(x) = x \) при \( 0 \le x < \pi \). Решение: Период \( T = 2\pi \). \[ a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} x dx = \frac{\pi}{2} \] \[ a_n = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} x \cos(nx) dx = \frac{1}{\pi n^2} (\cos(n\pi) - 1) = \frac{(-1)^n - 1}{\pi n^2} \] \[ b_n = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} x \sin(nx) dx = -\frac{\pi \cos(n\pi)}{\pi n} = \frac{(-1)^{n+1}}{n} \] Ряд Фурье: \[ f(x) = \frac{\pi}{4} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{(-1)^n - 1}{\pi n^2} \cos(nx) + \frac{(-1)^{n+1}}{n} \sin(nx) \right) \]